2024-2025学年北师大版九年级数学上册第6周数学学科素养训练

绝密★启用前

北师大版九年级上册数学第6周数学学科素养训练

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列说法中不正确的是（）

A.四边相等的四边形是菱形B.对角线垂直的平行四边形是菱形

C.菱形的对角线互相垂直且相等D.菱形的邻边相等

2.下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（）

A.3x2+^-1=0B.5/-6”3=0

C.ax2—x+2=0D.（a2+l）x2+bx+c=0

3.如图，菱形A8CD的对角线AC=5,BD=10,则该菱形的面积为（）

A.50B.25C.yA<3D.12.5

4.已知一元二次方程/+kx-3=0有一个根为1,贝心的值为（）

A.-2B.2C.-4D.4

5.解一元二次方程a/+b%+c=0,其中一个根为“土？贝Uc=（）

A.1B.-1C.0D.2

6.三角形两边的长分别是8和6,第三边的长是方程/一12%+20=0的一个实数根，则此三角形的周长是

)

A.24B.24或16C.16D.22

7.用配方法解一元二次方程2/-3x-l=0,配方正确的是（

（第3题图）（第8题图）

8.如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12nl的墙,另外三边用25机长的篱笆围成，为方

便进出，在垂直于墙的一边留一个1小宽的门，花圃面积为80爪2,设与墙垂直的一边长为xni,则可以列

出方程是（）

A.%(26-2%)=80B.x(24-2x)=80

C.(%-1)(26-2%)=80D.x(25-2%)=80

9.如图，已知矩形ZBCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC，交/。于E,AD=8,48=4,则DE的长

为()

A.3B.4C.5D.6

10.已知%1、&是方程-=2%+1的两个根，则5+5的值为()

11

A.*B.2CjD.-2

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.一元二次方程3x(%-2)=-4的一般形式是.

12.已知ni是关于％的方程——2%—3=0的一个根，贝!]2根2_47n=

13.若关于x的一元二次方程2/—x+6=0有两个相等的实数根，则伍的值为.

14.把一元二次方程2久2一万一1=0用配方法化成以久-/i)2+fc=0的形式(a,h,k均为常数)，贝U(h+k)的

值为.

15.定义：如果一元二次方程a/+bx+c=0(a0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”

方程.已知/+机％+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则.

三、解答题：本题共3小题，共35分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.用合适的方法解方程。(每小题各5分，共10分。)

(1)2比2—4x+1=0.(2)x(x—3)—2.

17.(10分)现有一题：“今有二人同所立,甲行率六，乙行率四.乙东行，甲男行八步而东斜北与乙会.问甲、

乙行各几行

大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6,乙的速度为4.乙一直向东走，甲先向南

走8步，后又斜向北偏东方向走了一段路后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各走了多远？

18.(15分)己知关于无，y的方程组=一与1-。、飞的解相同.

(1)求a,6的值；

(2)若一个三角形的一条边的长为2形，另外两条边的长是关于x的方程/+ax+b=0的解.试判断该三

角形的形状，并说明理由.

四、挑战题：本题共2小题，共20分。

19.(本小题6分)如图，正方形A8CD的对角线AC,8。相交于点0,4B=E为0C上一点，0E=1,

连接8E,过点力作4F1BE于点F,与BD交于点G.

⑴清BE与4G相等吗？请写出BE和AG的数量关系：

(2)AF的长度是()

DV360

D.---------C.4D.3V2+1

20.(本小题14分)已知久1，冷是关于％的一元二次方程(租+2)%2+2(m—2)x+m+10=0的两实数根.

(1)求ni的取值范围；

(2)已知等腰的底边BC=4,若打，也恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长.

(3)阅读材料：若△ABC三边的长分别为a,b,c,那么可以根据秦九韶-海伦公式可得：S.BC=

4p(p-a)(p-b)(p-c),其中「=岑上，在(2)的条件下，若ABAC和乙4BC的角平分线交于点/,根据以

上信息，求AB/C的面积.

B

答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了菱形的判定与性质，熟记菱形的性质和判定方法是解题的关键.由菱形的判定与性质即可得出

4、B、。正确，C不正确.

【解答】

解：A四边相等的四边形是菱形；正确；

A对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；

C.菱形的对角线互相垂直但不一定相等；不正确；

D菱形的邻边相等；正确；

故选C

2.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查一元二次方程的定义，注意a?+1一定是一个正数.找到只含有一个未知数，且未知数的最高次

项的次数为2,系数不为0的整式方程即可.

【解答】

解：4、不是整式方程，不合题意；

B、含有2个未知数，不合题意；

C、当a=0时，不合题意；

D,是只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为2,二次项系数不为0的整式方程，符合题意.

3.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的面积等于菱形两对角线乘积的一半是解题的关键.

利用菱形的面积等于菱形两对角线乘积的一半即可求得答案.

【解答】

解：

•.•菱形4BCD的对角线2C=5,BD=10,

11

,'1S菱形4BC。=，4'•BD=2X5X10=25,

故选：B.

4.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二

次方程的解.

根据一元二次方程的解的定义，把久=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0,然后解一次方程即

可.

【解答】解：把％=1代入方程可得1+k—3=0,解得k=2.

故选8

5.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了解一元二次方程一公式法：把x=喘叫做一元二次方程收+6久+c=0(a彳0)的求

根公式;用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.也考查了一元二次方程的一般式.

根据一元二次方程a/+法+。=。①40)的求根公式即可解答.

【解答】

解：由求根公式可知炉一4ac=匕2+4,2a=2

则c=-1

6.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了利用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程化为一般形式，然后把方程左边因式分解，

这样就把方程化为两个一元一次方程，再解一元一次方程即可.也考查了三角形三边的关系.把方程左边

因式分解得到(久-10)(%-2)=0,再把方程化为两个一元一次方程x-10=0或尤-2=0,解得/=

10,叼=2,根据三角形三边的关系得到三角形第三边的长为10,然后计算三角形的周长.

【解答】

解：x2-12x+20=0,

•••(x-10)(x-2)=0,

x-10=0或x—2=0,

X]—10,%2=2,

而三角形两边的长分别是8和6,

•.•2+6=8,不符合三角形三边关系，久=2舍去,

%=10,即三角形第三边的长为10,

三角形的周长=10+6+8=24.

故选：A.

7.【答案】A

【解析】解：由原方程，得

则（"%=芥

故选A.

先把常数项移到等号的右边，再化二次项系数为1,等式两边同时加上一次项系数-5的一半的平方，即可

解答.

本题考查了解一元二次方程-配方法.配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的

系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

8.【答案】A

【解析】解：•・•篱笆的总长度为256，与墙垂直的一边长为XM,

平行于墙的一边长为25+1—2%=（26—2x）m.

根据题意得：%（26—2%）=80.

故选：A.

根据各边之间的关系，可得出平行于墙的一边长为（26-2乃巾，结合花圃面积为80机2,即可得出关于久的

一元二次方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

9【答案】C

【解析】【分析】

本题考查的是翻折变换及勾股定理，掌握翻折变换的性质是解答此题的关键.

先根据翻折变换的性质得出CD=C'D,NC=NC'=90。，再设DE=x,贝ME=8-x,由全等三角形的判

定定理得出RtZk4BEmRt△C'DE,可得出BE=£）E=x,在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出％的值，

进而得出DE的长.

【解答】

解：•••RtADC'B由RtADBC翻折而成，

•••CD=CD=AB=4,ZC=AC'=90°,

设DE=x,则4E=8—尤，

•••NA==90。，乙AEB=乙DEC',

：.CD=AB,

在RtAABE与Rt△C'DE中，

ZX=

4AEB=WED

.AB=CD

RtAABEmRt△C'DE(AAS),

BE=DE=x,

在ABE中，AB2+AE2=BE2,

.­•42+(8-x)2=x2,

解得：x=5,

.­■DE的长为5.

故选：C.

10.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了一元二次方程a/+6尤+。=o(a力0)的根与系数的关系：X1,右是一元二次方程+bx+

hc

c=0(aH0)的两根时，％i+%2=—1%i%2=£•

先把方程化为一般式，再根据根与系数的关系得到久1+叼=2,久1久2=-1，然后把高+看通分得到

口坟，再利用整体代入的方法计算.

【解答】

解：方程化为一般式得％2—2%-1=0,

根据题意得%1+%2=2,%1%2=-1，

...原式=生母=一2.

故选D

11.【答案】3/-6X+4=0

【解析】解:3x(%-2)=-4,

去括号，得3/—6%=-4,

移项得3/一6x+4=0,

原方程的一般形式是3/—6x+4=0.

故答案为：3/一6久+4=0.

一元二次方程的一般形式是：&/+版+。=。(£13,(；是常数且。力0),直接去括号、移项得解.

本题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项

时要注意变号.

12.【答案】6

【解析】【分析】

本题考查一元二次方程的解，整体代入法，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

根据小是关于x的方程/—2x—3=0的一个根，通过变形可以得至吆小2一4小值，本题得以解决.

【解答】

解：・・・山是关于x的方程/-2久一3=0的一个根，

m2—2m—3=0,

m2—2m=3，

2m2—4m—2(m2—2m)=2x3=6,

故答案为6.

13.【答案】j

o

【解析】【分析】

根据“关于久的一元二次方程2久2一乂+爪=0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于机

的一元一次方程，解之即可.

本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键.

【解答】

解：根据题意得：4=1—4X2m=0,

整理得：1-8爪=0,解得：m=~,

O

故答案为：

O

14.【答案】一卷

【解析】【分析】

此题考查了配方法的一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)把二次项的系数化为1；

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

先将方程变形，利用完全平方公式进行配方.

【解答】

解：2%2—x—1=0,

2(/-|x)=1,

2(-一)+表)4=L

2(x-J)2-1=0.

•••”=右k=4

故九+k=

O

15.【答案】-2

【解析】【分析】

此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，关键是熟练掌握：(1)△>00方程有两个不相

等的实数根；(2)△=0=方程有两个相等的实数根；(3)△<0=方程没有实数根.同时考查了学生的阅

读理解能力.由/+血％+九=0是“凤凰”方程，可得1+租+九=0,即九=又因为方程有两

个相等的实数根，所以根的判别式△=租2一4几=0,将九=一6一1代入，求出血=一2,再求出71=1,

则nm可求.

【解答】解：?％2++九=0是“凤凰，，方程，

1+m+n=0,即九=—m—1.

又•.,方程％2+mx+n=。有两个相等的实数根，

.・.△=m2—4n=0,

将ri=-m—1代入，得血2—4(—m—1)=0,

解得血=-2,

n=1,

.・.mn=—2x1=—2.

故答案为-2.

16.【答案】解：由原方程，得

Xz2—9ZX=-1

等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得

x2-2x+1=

配方，得（x-I）2=

直接开平方，得

久一1=±T，

久1=1+—,久2=1--

【解析】本题考查用配方法解一元二次方程.

先化二次项系数为1,然后把左边配成完全平方式，右边化为常数.

17.【答案】解：•.•£（%—3）=2,

%2—3x—2=0,

a—1,b=—3,c=—2,

A=(-3)2-4x1x(-2)=17>0,

,v=-(-3)±G

"2x1

_3+/17_3-/17

'久2=

【解析】此题考查了一元二次方程的解法.注意在利用因式分解法解一元二次方程时，需首先将原方程化

为一般式再求解.

首先将原方程变形化为一般式，然后利用公式法即可求得此方程的根.

18.【答案】解：设他们相遇时用的时间为X,则有（4x）2+82=（6x-8）2

解得：xi=0（舍去），X2=4.8

.\4x=4X4.8=19.2(步)

6x=6X4.8=28.8(步)

答：甲走了28.8步，乙走了19.2步。

19.【答案】解：(1)由题意得，关于久，通方程组代学Y『=T°'瓦与的相同解，就是

方程组二;的解，

解得,g：:'

3a+2y/~3=-10V-3,3+b=15,

解得，a=—4V~3,b-12；

(2)当a=-4V~3，b=12时,关于久的方程第2++匕=0为第2_47~3x+12=0,

解得，*=2V-3,

2

又・・・(20+RO=(2<6),

・•・以2质、2/3>2幅为边的三角形是等腰直角三角形.

【解析】本题考查二元一次方程组的解法、一元二次方程的解法以及勾股定理的逆定理，掌握一元二次方

程的解法和勾股定理的逆定理是得出正确答案的关键.

(1)关于久，y的方程组产+=-10，3与『二：=2,的解相同.首先求出方程组产+y=：的解，

进而确定a、6的值；

(2)将a、6的值代入关于x的方程/+ax+b=o,求出方程的解，再根据方程的两个解为边长与2混为边

长，判断三角形的形状.

20.【答案】解：(1)BE=4G.

理由：-：AF1BE,

.­.^AFE=LOAG+NAEF=90°.

•••四边形4BCD是正方形，

•••AC1BD,AO=BO,

•*.Z-AOG=Z-OAG+Z-AGO=90。，

•••Z-AEF=Z-AGO.

在△AOG和△BOE中，

Z-AOG=乙BOE=90°,

/.AGO=Z-BEO,

、AO=B0f

AAOG=△BOE,

AG=BE.

(2)•・•△408是等腰直角三角形，且48=3/1,

•••BO—3.

•・•OE=1,

,-.AE=3+1=4,由勾股定理，得BE=V32+I2=710,

11

S©4BE=2BE,AF=2AE'0B，

|X/T0XXF=1X4X3,

.„6710

•••AF=—.

【解析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定，熟知正方形的四条边都相等，四个角都是

直角，对角线互相垂直且相等平分，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键.

(1)利用正方形的性质得。4=OB,LAOB=^BOC=90°,再利用等角的余角相等得到〃G。=NBEO,则

利用"A4S“可判断△AOGgABOE,然后根据全等三角形的性质得到结论；

(2)根据面积法列式可得力F的长.

21.【答案】解：(1)由题意得：A=b2—4ac=[2(m—2)]2—4(m+2)(m+10)>0,且m+2#=0,

化简得：64m<—64,

解得：m<一1且zn丰-2；

(2)由题意知：乂2恰好是等腰△力BC的腰长，