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文档简介
2023年河北省中考数学一轮复习一圆练习题
一、单选题
1.(2021•河北石家庄•二模)如图,A,B,。是。。上三点,ZACB=25°f则NBA。的度数是()
A.55°B.60°C.65°D.70°
2.(2022.河北廊坊•一模)如图,CD是。的直径,弦。石〃AO,若NA=25。,则"的度数为()
A.30°B.40°C.50°D.60°
3.(2022・河北・中考真题)某款“不倒翁”(图1)的主视图是图2,PA,P8分别与所在圆相切于点A,
B.若该圆半径是9cm,ZP=40°,则AMB的长是()
7
C.7万cmD.一»cm
2
4.(2021•河北石家庄•一模)如图,已知点。是正六边形A3C0Eb的中心,扇形AOE的面积是12兀,则正
六边形的边长为()
5.(2021•河北廊坊•一模)如图,四边形ABCD是。。的内接四边形,若N8OD=88。,贝iJ/BCD的度数
是
A.88°B.92°C.106°D.136°
6.(2021•河北承德•一模)如图,四边形ABCD内接于(O,AB=CD,A为BO中点,N3DC=60。,则NADB
等于()
A.40°B.50°C.60°D.70°
7.(2022•河北秦皇岛•一模)如图,48是。。的直径,弦COLAS,ZCDB=30°,CD=273,则阴影部
分图形的面积为()
A.4TTB.27rC.»D.—
3
8.(2022.河北承德•一模)如图,在单位长度为1米的平面直角坐标系中,曲线是由半径为2米,圆心角
2
2
为120°的A3多次复制并首尾连接而成.现有一点尸从A(A为坐标原点)出发,以每秒(»米的速度沿曲线
向右运动,则在第2019秒时点P的纵坐标为()
A.-2B.-1C.0D.1
9.(2022•河北张家口•一模)如图,六边形尸是正六边形,点尸是边AF的中点,PC,尸。分别与破
10.(2022•河北承德•一模)如图,AABC内接于半径为5的。。,点8在。。上,且cosB=g,则下列量
中,值会发生变化的量是()
A.—3的度数B.3c的长C.AC的长D.弧ABC的长
11.(2022.河北•宽城满族自治县教研室模拟预测)已知,在△ABC中,AB=AC,根据以下各图所保留的
作图痕迹,一定能使点。到△ABC三边距离相等的是()
A.B.
AA
12.(2021•河北•中考真题)如图,等腰一么03中,顶角NAC®=40。,用尺规按①到④的步骤操作:
①以。为圆心,为半径画圆;
②在。上任取一点P(不与点A,8重合),连接AP;
③作AB的垂直平分线与。交于M,N;
④作AP的垂直平分线与(。交于E,F.
结论I:顺次连接E,N,尸四点必能得到矩形;
结论II:,。上只有唯一■的点尸,使得S扇形OFM=S扇形OAB.
对于结论I和II,下列判断正确的是()
A.I和II都对B.I和n都不对
c.I不对n对D.I对n不对
13.(2021•河北・中考真题)如图,点。为正六边形ABCDEF对角线ED上一点,5^=8,SACD0=2,
则S正六边形ABCDEF的值是()
B.30
4
C.40D.随点。位置而变化
二、填空题
14.(2021•河北石家庄•二模)如图,正方形A3CO和正六边形AEFCG8均内接于O,连接HD;若线段
恰好是。的一个内接正〃边形的一条边,则〃=.
15.(2021・河北唐山•一模)如图,。与正五边形A2CDE的边A2、OE分别相切于点2、D,则劣弧瓦)所
对的圆心角NBOD的大小为____度.
16.(2022・河北唐山•一模)如图,已知圆。的半径。4=6,以。4为边分别作正五边形O4BCD和正六边形
OAEFGH,则/,图中阴影部分的面积为(结果保留兀).
17.(2022•河北石家庄•二模)如图,。的半径是6,48是的弦,C是A3上一点,AC=6,BC=2,
点尸是。上一动点,则点尸与点C之间的最大距离是,最小距离是
p
18.(2021・河北保定•一模)如图,扇形AOB中,半径。4在直线/上,乙4。8=120。,OA=1,矩形EFGH
的边E尸也在/上,且EH=2,小叵将扇形A08在直线/上向右滚动.
32
(1)滚动一周时得到扇形400,这时。。,=.
(2)当扇形与矩形E/GH有公共点时停止滚动,设公共点为则。E=.
19.(2022.河北保定.二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A与点B的坐标分别是(1,0)与(7,0).对
于坐标平面内的一动点P,给出如下定义:若乙4尸8=45。,则称点尸为线段的“等角点
①若点尸为线段A8在第一象限的“等角点”,且在直线x=4上,则点P的坐标为;
②若点P为线段AB的“等角点”,并且在y轴上,则点P的坐标为.
20.(2021.河北邢台•一模)如图,正六边形A8CDEF的边长为2,M点是四边形CD跖内的一个动点,
若4CFM=NMCD.
6
(1)NFMC=;
(2)动点M所经过的路线长是.
21.(2022•河北保定•一模)某厂家要设计一个装彩铅的纸盒,已知每支笔形状、大小相同,底面均为正六
边形,六边形边长为1cm.目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案,我们以6支彩铅
为例,可以设计如图的两种收纳方案:
图2
(1)如果要装6支彩铅,在以上两种方案里,你认为更小的底面积是cm.
(2)如果你要装12只彩铅,要求相邻彩铅拼接无空隙,请设计一种最佳的布局,并使用圆形来设计底面,
则底面半径的最小值为cm.
三、解答题
22.(2021.河北保定.一模)如图,在AA8C中,AB^AC,。是边AC上的点,以OC为半径的圆分别交边
BC、AC于点。、E,过点D作DF1.AB于点F.
(1)求证:直线。尸是。。的切线;
(2)若OC=1,ZA=45°,求劣弧。E的长.
DB
23.(2022•河北•宽城满族自治县教研室模拟预测)已知。。的半径和正方形ABC。的边长均为1,把正方
形ABC。放在。。中,使顶点A,D落在。。上,此时点A的位置记为4,如图1,按下列步骤操作:
如图2,将正方形ABCD在。。中绕点A顺时针旋转,使点2落到。。上,
完成第一次旋转;再绕点B顺时针旋转,使点C落到0O上,完成第二次旋转;
(1)正方形ABC。每次旋转的度数为°;
(2)将正方形ABC。连续旋转6次,在旋转的过程中,点B与4之间的距离的最小值为
24.(2022•河北唐山・二模)如图,A8是半圆形量角器的直径,点。为半圆的圆心,D4与半圆。相切于点
A,点尸在半圆上,且点尸对应的示数为120。(60。),点C是尸8上一点(不与点P重合).连接。。交半
圆。于点E,点E对应的示数为60°(120。).
D
(1)连接PC,AC,求NPCA的度数;
(2)连接AP,PB,求证:4DAO义AAPB;
(3)已知半圆。的半径是3,若直径AB上存在一点使得EM+PM的值最小,请直接写出EM+RW的最
小值.
25.(2021.河北沧州•一模)如图,射线。是蜀/上的一点,以。为圆心,长为半径,在AM
上方作半圆AOC,BE与半圆相切于点。,交40于点E,EFLBO于点F.
8
⑴求证:BA=BD;
⑵若ZABE=60。,
①判断点F与半圆AOC所在圆的位置关系,并说明理由;
②若AB=6直接写出阴影部分的面积.
26.(2021.河北邯郸.一模)如图,在ABC中,AB=C3=10,NABC=90。,点。为直线上一点,点E为
A3延长线上一点,且BE=BD,连接AD,EC.
(1)求证:
⑵当NC4D=20时,求/£1的度数;
(3)点尸是一C4D的外心,当点。在直线BC上运动,且点尸恰好在ABC内部或边上时,直接写出点尸运
动的路径的长,
27.(2021・河北唐山•一模)如图,。为RtABC的外接圆,NAC3=9(r,BC=4百,AC=4,点。是O
上的动点,且点C、£)分别位于的两侧.
(1)求,。的半径;
(2)当CD=4夜时,求—ACD的度数;
(3)设AO的中点为M,在点。的运动过程中,线段CM是否存在最大值?若存在,求出CM的最大值;
若不存在,请说明理由.
28.(2022•河北石家庄•三模)如图1,已知是半圆。的直径,AB=4,点。是线段A8延长线上的一
个动点,直线垂直于射线AB于点。,在直线。尸上选取一点C(点C在点。的上方),使CD=6M,
将射线CD绕点D逆时针旋转,旋转角为打(0°<«<90°).
图1图2
⑴若。。=5,求点C与点。之间距离的最小值;
(2)当射线0c与。。相切于点C时,求劣弧BC的长度;
(3)如图2,当射线CO与半圆。相交于点C,另一交点为E时,连接AE,OC,若AE//OC.
①猜想AE与0D的数量关系,并说明理由;
②求此时旋转角的度数.
29.(2022.河北保定.三模)请阅读以下材料,并完成相应的任务.
在《阿基米德全集》中的《引理集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的六
个有关圆的引理,其中第二个引理是:如图1,点尸是上的任意一点,尸C,AB于点C,点。在弦AB
上且AC=CD,在A8上取一点。,使哈PA,连接8。,则有3=3,
10
A
图1
(1)如图2,小明同学尝试说明"8。=8£>",于是他连接了R4,PB,PD,PQ,请根据小明的思路完
成后续证明过程;
Q
图2
⑵如图3,以为直径的半圆上有一点尸,AP=6,AB=10,直线/与工。相切于点尸,过点B作板口
于点E,交。于点。,则BQ=.
图3
30.(2022•河北承德•一模)如图,R4是。的切线,切点为A,AC是。的直径,连接。尸交1。于E.过
A点作于点O,交。于8,连接BC,PB.
BC
⑴求证:PB是「O的切线;
⑵求证:E为AR4B的内心;
(3)若cos/PAB=巫,BC=1,求P0的长.
10
31.(2022•河北邯郸・一模)如图,在AABC中,ZACB=90°,NABC=45。,BC=l2cm,半圆。的直径
DE=12cm.点E与点C重合,半圆。以2cm/s的速度从左向右移动,在运动过程中,点。、E始终在BC
所在的直线上.设运动时间为x(s),半圆。与AABC的重叠部分的面积为5卜病).
(1)当x=0时,设点"是半圆。上一点,点N是线段AB上一点,则的最大值为;的
最小值为.
(2)在平移过程中,当点。与BC的中点重合时,求半圆。与AABC重叠部分的面积S;
(3)当x为何值时,半圆。与AABC的边所在的直线相切?
12
参考答案:
1.c
【解析】连接05,要求NA40的度数,只要在等腰三角形043中求得一个角的度数即可得到答案,利用
同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得NAO5=50。,然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理
即可求得.
解:连接。5,
ZACB=25°,
:.ZAOB=2x25°=50°,
由0A=0B,
:.ZBAO=ZABO,
:.ZBAO=^(180°-50°)=65°.
故选C.
考点:圆周角定理.
2.C
【解析】由04=0。,得NC=NA=25。,再由三角形外角性质得NAOZ>50。,然后根据平行线的性质可求解.
解:・・・8是。的直径,
:.OA=OC,
:.ZC=ZA=25°,
:.ZAOD=ZC+ZA=50°,
U:OA//DE,
:.ZD=ZAOD=50°,
故选:C.
本题考查圆的性质,等腰三角形的性质,三角形外角的性质,平行线的性质,本题属基础题目,难度不大.
3.A
13
【解析】如图,根据切线的性质可得NB4O=NPBO=90。,根据四边形内角和可得/AO3的角度,进而
可得403所对的圆心角,根据弧长公式进行计算即可求解.
解:如图,
图2
尸8分别与所在圆相切于点A,B.
ZPAO=ZPBO=90°,
ZP=40°,
ZAOB=360°-90°-90°-40°=140°,
该圆半径是9cm,
/.AMB=^^~^^-7ix9=117icm,
180
故选:A.
本题考查了切线的性质,求弧长,牢记弧长公式是解题的关键.
4.A
【解析】先求出中心角NAO石-120。,证得△Q4F是等边三角形,得到=根据扇形的面积求出圆的
半径,即可得到正六边形的边长.
解:连接OF,
设。。的半径为R,
丁O是正六边形ABCDEF的中心,
360°
ZAOF=ZEOF=——=60°,
6
ZAOE=120°,
•:OA=OF,
**•aaF是等边三角形,
・•・AF=OA=R,
•扇形AOE的面积是1271,
14
.120万收
,•一1LlC,
360
/.R2=36,
AF=R=6,
正六边形的边长是6,
故选:A.
本题考查了正多边形与圆,扇形的面积计算,解题的关键是求出正多边形的边长等于圆的半径.
5.D
【解析】首先根据NBOD=88。,应用圆周角定理,求出/BAD的度数;然后根据圆内接四边形的性质,
可得NBAD+/BCD=180。,据此求出/BCD的度数
由圆周角定理可得NBAD=WZBOD=44°,
根据圆内接四边形对角互补可得/BCD=180。-NBAD=180°-44°=136°,
故答案选D.
考点:圆周角定理;圆内接四边形对角互补.
6.A
【解析】根据AB=CD,A为中点求出/CBD=/ADB=NABD,再根据圆内接四边形的性质得到
ZABC+ZADC=180°,即可求出答案.
A为8。中点,
••AB=AD,
.*.ZADB=ZABD,AB=AD,
AB=CD,
:.ZCBD=ZADB=ZABD,
:四边形ABC。内接于I
.,.ZABC+ZADC=180°,
.".3ZADB+60°=180°,
J^ADB=4Q°,
15
故选:A.
此题考查圆周角定理:在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等,圆内接四边形的性
质:对角互补.
7.D
【解析】根据垂径定理求得CE=E£>=相;然后由圆周角定理知/COE=60。.然后通过解直角三角形求得线
段。C,然后证明△OCEgZXBDE,得到“»EB=ZCE。求出扇形COB面积,即可得出答案.
解:设AB与CD交于点E,
是。。的直径,弦COLAB,CD=2后,如图,
ZCDB=30°,
:.ZCOB=2ZCDB=60°,
.,.ZOCE=30°,
:.OE=-OC,
2
BE^OE=-OB=-OC
22f
XVOC2=CE2+OE2,BPOC2=-OC2+3
4
・・・OC=2,
在^OCE^ABOE中,
ZOCE=ZBDE
<ZCEO=/DEB,
OE=BE
•・•△OCE咨ABDE(A4S),
,,SADEB-SACEO
阴影部分的面积S=S扇形COB=迎上工=—,
16
故选D.
本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质,全等三角形的性质与判定,圆周角定理,扇形面
积的计算等知识点,能知道阴影部分的面积=扇形C08的面积是解此题的关键.
8.B
【解析】先计算点P走一个的时间,得到点P纵坐标的规律:以1,0,-1,0四个数为一个周期依次
循环,再用2019+4=504...3,得出在第2019秒时点P的纵坐标为是-1.
解:点运动一个AB用时为⑵匹2一%=2秒.
lot)3
如图,作CDLAB于D,与知交于点E.
在RtAACD中,VZADC=9Q°,ZACD=-ZACB=6(),
2
ZG4D=30°,
CD=-AC=-x2=l
22f
:.DE=CE-CD=2-1=1,
・•・第1秒时点P运动到点E,纵坐标为1;
第2秒时点P运动到点B,纵坐标为0;
第3秒时点P运动到点F,纵坐标为-1;
第4秒时点P运动到点G,纵坐标为0;
第5秒时点P运动到点H,纵坐标为1;
.•.,
...点P的纵坐标以1,0,-b0四个数为一个周期依次循环,
20194-4=504...3,
.•.第2019秒时点P的纵坐标为是-1.
本题考查了规律型中的点的坐标,解题的关键是找出点P纵坐标的规律:以1,0,-1,0四个数为一个周
期依次循环.也考查了垂径定理.
9.D
【解析】设正六边形的边长为必想办法求出APA/N,的面积即可.
17
解:设正六边形的边长为a.则必尸(力=2义"。2=也/,S承1形BCDE=3又昱。2=空a2,
4244
由题意MN是APCD的中位线,
SAPMN=-SAPCD=昱a2,
48
S举形MNDC=Ba2-2a2=记a2,
28
2
a2_bHa)=在“2
S^BMC=SADNE=I(—
•;PM=CM,
:.Si^PBM=SLBMC=—a2,
16
:.SAPMN:S^PBM=—a2:
8
故选:D.
本题考查正多边形与圆,三角形的面积,三角形的中位线定理,等腰三角形的性质,勾股定理等知识,解
题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
10.B
【解析】连接AO并延长交(O于BI连接BC,OC,根据已知条件得到的度数一定;解直角三角形
得到AC=10-sinB,故AC的长一定;根据弧长公式得到A百c的长度=("。一?个-B的度数上一一定;
于是得到结论.
解:连接AO并延长交।。于B,连接BC,OC,
.../ACB'=90,
.•.NB的度数一定;
.\AC=10sinB,故AC的长一定;
,AOC=2”,
(36。-2个/B的度数)“5一定;故选B
/.ABC的长度=
本题考查了三角形的外接圆与外心,圆周角定理,解直角三角形,正确的作出辅助线是解题的关键.
11.D
18
【解析】根据到三角形三边距离相等的点是三角形角平分线的交点,判断各选项所给的射线是角的平分线
即可.
解:A.以B为端点的射线不是-3的平分线,故此选项不符合题意;
B.交点。到三角形的三个顶点距离相等,故此选项不符合题意;
C.射线80不是23的平分线,,故此选项不符合题意;
D.两条射线均为角的平分线,交点。到AA8C三边距离相等,故此选项符合题意;
故选:D
本题主要考查了三角形的内心,明确三角形的内心是三角形角平分线的交点是解答本题的关键.
12.D
【解析】I、根据“弦的垂直平分线经过圆心”,可证四边形MEN尸的形状;
II、在确定点P的过程中,看NMOG40。是否唯一即可.
是的垂直平分线,EF是AP的垂直平分线,
和所都经过圆心0,线段和川是。。的直径.
?.OM=ON,OE=OF.
四边形MENF是平行四边形.
:线段MN是。。的直径,
ZMEN=90°.
:.平行四边形MENF是矩形.
.••结论I正确;
II、如图2,当点尸在直线左侧且AP=AB时,
':AP=AB,
AB=AP-
":MN±AB,EFLAP,
19
・•・AE=-APAN=-AB.
22f
•*-AE=AN.
:.ZAOE=ZAON=-ZAOB=20.
2
:・NEON=44.
ZMOF=ZEON=40.
・・•扇形。尸M与扇形。43的半径、圆心角度数都分别相等,
,,S扇形。FM=S扇形OAB•
如图,
当点尸在直线MN右侧且BP=AB时,
问理可证:§扇形F0”=S扇形AOB-
结论n错误.
故选:D
本题考查了圆的有关性质、矩形的判定、扇形面积等知识点,熟知圆的有关性质、矩形的判定方法及扇形
面积公式是解题的关键.
13.B
【解析】连接AC、AD、CF,与CP交于点M,可知M是正六边形ABCDEF的中心,根据矩形的性质
求出SMF“=5,再求出正六边形面积即可.
解:连接AC、AD,CF,AO与CF交于点可知/是正六边形ABCDEF的中心,
多边形ABCDEF是正六边形,
J.AB^BC,NB=NBAF=120°,
:.ZBAC=3Q°,
:.ZMC=90°,
20
同理,ZDCA=ZFDC=ZDFA=90°,
.,•四边形ACD尸是矩形,
SAAFO+^ACDO=万S矩形"0c一1°,^AAFM=^矩形4ra>C=,
S正六边形ABOTEk—6s一3°,
故选:B.
本题考查了正六边形的性质,解题关键是连接对角线,根据正六边形的面积公式求解.
14.12.
【解析】连接。4、OD,OH,利用正多边形与圆,分别计算。的内接正四边形与内接正六边形的中心角
得至!JNAOD=90°,ZAOH=60°,相减算出NZ)OH=30°,然后算出小
解:如图所示,连接。4、OD、OH,
•••正方形ABC。和正六边形AEFCGH均内接于O,
360°
.・・ZAOD=——=90。,
4
360°
ZAOH=——=60。,
6
:.ZDOH=ZAOD-ZAOH=90°-60°=30°,
."=*2,
30°
21
故答案为:12.
本题考查了正多边形与圆,根据中心角=型360-°得到相应的中心角,关键还要灵活运用公式求出加
n
15.144
【解析】根据正多边形内角和公式可求出NE、ND,根据切线的性质可求出/OAE、ZOCD,从而可求
出NAOC,然后根据圆弧长公式即可解决问题.
解:五边形A8CDE是正五边形,
08。.
5
45、OE与一O相切,
ZOBA=ZODE=90°,
ZBOD=(5-2)x180°-90°-108°-108°-90°=144°,
故答案为144.
本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的
关键.
16.12°
【解析】先根据多边形内角和公式计算出48、N2O”的度数,再求出-HOD,利用扇形面积公式计
算即可.
fC-O'jy180°
解:由题意得,;=108。,
(6—2)x180。
ZAOH==120°
6
NDOH=ZAOH-ZAOD=120。—108。=12。,
,阴影部分的面积:比£=色兀,
3605
故答案为:12。,
本题考查了正多边形和圆,熟练运用多边形内角和公式和扇形面积公式是解题的关键.
17.6+2A/66-25/6
【解析】过点。作。GLA8于点G,连接。P、OC、OB、PC,根据勾股定理求得OC=2«,进一步得到
尸C的取值范围得出结果.
解:过点。作OGLAB于点G,连接0尸、OC、OB、PC,
:.BG=-AB=-7S4,
22
22
GC=BG-BC=2,
由勾股定理得:OG1=OB--BG1=OC--CG1,
即36-16=OC2-4,
解得OC=2灰,
又•/OP+OC>PC>PO-OC,
/.6+2V6>PC>6-2V6,
故答案为6+2#,6-2A/6.
本题考查垂径定理、勾股定理以及三角形三边关系,解决问题的关键是是遇弦作弦心距构造直角三角形.
18.—+2交
32
【解析】(1)利用扇形弧长公式求出AB,滚动一周,则OO,=A2+2OA;
(2)求得0E与OO'的关系,可知扇形滚动5周后,。与E相距走,继续滚动,8点与HE相交,
2
即公共点。点,根据勾股定理求出OE的长.
(1)扇形AOB滚动一周得到扇形400,
VZAOB=120°,OA=\
OO'=AB+20A=——+2
3
(2)VQE=—+20+y^,OO'=—+2
323
.c口10^^20+7210万上20工应</2万工。)工友scN
32322^3)22
23
即扇形A08滚动5周后,。与E相距正,继续滚动,B点与HE相交,即公共点。点,
2
AOD=OB=OA=i,OE=—,ZHEO=90°
2
DE=yJOD2-OE2=.I2-f—=—
VI2J2
本题考查扇形弧长的计算、利用勾股定理解几何题.本题的关键在于理解扇形滚动的规律.
19.①(4,3+3加),②(0,3±0)或(0,-3土血)
【解析】①根据尸在直线尤=4上画图1,作AAPB的外接圆C,连接AC,BC,可知:AB—6,G>C的半
径为3后,最后计算产。的长可得点尸的坐标;
②同理作AAPB的外接圆C,计算OP和OB的长,可得点尸的坐标,注意不要丢解.
解:①如图1,作△APB的外接圆,设圆心为C,连接AC,BC,
二,点A与点B的坐标分别是(1,0)与(7,0),
:.AB=l-l=6,
':ZAPB=45°,
ZACB=90°,
VAC=BC,
.♦.△ABC是等腰直角三角形,AC2+BC2=AB2
:.AC=BC=3®,
:.PC=3也,
:点P在直线x=4上,
:.AD=4-1=3,
24
:.AD=BD,
':CD±AB,
:.CD=AD=3,
:.P(4,3拒+3);
故答案为:(4,3应+3);
②如图2,同理作A4PB的外接圆,设圆心为C,过C作无轴于。,作CE,。尸于E,连接PC,P〕C,
在y轴上存在/AP8=/AP/B=45。,
则①知:CD=OE=3,OD=CE=4,PC=3后,
由勾股定理得:尸£=J(30『一4?=0,
."0=3+0,
同理得:OP尸3-叵,
:.P(0,3±72),
同理在y轴的负半轴上,存在符合条件的点P的坐标为(0,-3+72),
综上,点尸的坐标为(0,3土◎)或(0,-3±£).
故答案为:(0,3土加)或(0,-3土正).
此题主要考查坐标和图形的性质,圆周角定理,勾股定理等知识,作AAP8的外接圆是本题的关键.
Q
20.120°一岛:
9
【解析】(1)由题意结合正六边形的性质可求出/S=60。.再根据三角形内角和定理结合
Z.CFM=ZMCD,即可求出/加。=180。-/尸8=120。.
(2)如图,延长CB、FA,交于点N,由题意可知点〃在_@叫的外接圆上的劣弧C歹上.设该外接圆圆
25
心为。,作CW-LCF.易证NQVF=60。,即可求出/CO尸=120。,从而求出NOCH=30。.由题意易求出
CF=4,即可求出CO=逑,即该圆的半径为生叵,最后由弧长公式即可求出结果.
33
(1)由题意结合正六边形的性质可知CF平分/BCD,且4CD=120。.
/.ZFCD=-ZBCD=60°.
2
ZFMC=180°-ZCFM-ZFCM,ZCFM=ZMCD.
:.NFMC=180°—NA/CD—NFO/=180°—NFCD=120°.
故答案为:120°.
(2)如图,延长CB、FA,交于点N,
由(1)ZFMC^120°,可知点M在。N的外接圆上的劣弧CF上.
设该外接圆圆心为。,作OHLCF.
由题意可知NNCF=ZNFC=60°,
即一C/W为等边三角形,
ZCNF=60°,
zcoF=no°.
:.AOCH=30°.
由正六边形的性质可知CF=2CD=4.
CH=-CF=2,
2
・8一2若”_46
••CCz=-------C/1=-------•
33
・,•圆。的直径为2。0=更.
3
・120X%X£300
•*/=_________3_8^3^•
'弧b一。(八一C〃
26
故答案为:晅兀.
9
本题考查正六边形的性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定和性质、含30。角的直角三角形的性质、
圆周角定理、弧长公式等知识,综合性强,较难.理解点M在.CFN的外接圆上的劣弧CF上是解答本题
的关键.
21.1273V13
【解析】(1)利用圆的面积、等边三角形的面积.即可判断;
(2)设计方案如图,利用勾股定理求出半径即可.
解:(1)如图1,在正六边形中,过点8作过C作CALLOA,
(6-2)x180。50。,
:正六边形的边长为1,ZABC=ZBCO=
6
.".ZBAM=-xl20°=60°,
2
ZABM=3Q°,ZMBC=9Q°,
:.AM=^AB=^,四边形BMNC是矩形,
:.MN=BC=\,
同理ON=3,
:.OA=AM+MN+ON=2,
如图2中,圆的半径为3,
如图3中,连接。4,OD,OB
27
B
图3
V0D=2cmfZOAD=30°,ZADO=90°
/.OA=OB=2OD=4cm,
AD=4OJ^-OD1=2A/3(cm),
,等边三角形的边长AO4石cm,
二底面积=;*(4+2»46=12百(cm2)<9%(cm1)
等边三角形作为底面积时,面积较小,底面积为126°加;
(2)如图4中,设计方案如图4所示,过点G作GXLOE于X,
在RtXGHE中,ZHGE=-xl20°=60°,G£=lcm
2
:.GH=^-cm,HE=,ll2-(-)2=—(cm)
2V22
;.OE=4x走=2括(cm)
2
在E/TkOET中,ET=lcmfOE=2y/3cm,
;•07=JOE?+ET?=J(26)2+产=岳(cm)
...底面半径的最小值为历cm,
故答案为:A/T3
本题考查了正多边形与圆,等边三角形的性质,勾股定理等知识,解题的关键是理解题意,学会添加常用
28
辅助线,构造直角三角形解题.
3
22.(1)详见解析;(2)-Jr.
4
【解析】⑴连结0。,根据等腰三角形的性质得到0D〃A2,根据平行线的性质得到N。。尸=90。,根据
切线的判定定理证明;
(2)根据平行线的性质得到180。-45。=135。,根据弧长公式计算即可.
证明:如图,连结O。,
\'AB=AC,
:.ZB=ZACB,
OC=OD,
:.ZODC=ZACB,
1/B=NODC,
:.OD//AB,
':DF±AB,
:.ZODF=ZBFD=90°,
为半径,
直线。尸是。。的切线;
(2)解:VZA=45°,OD//AB,
:.ZAOD=180°-45°=135°,
•••劣弧。E的长为胃/=
1804
本题主要考查了切线的判定及弧长的计算,熟练掌握切线的判定定理及弧长的计算公式是解题的关键.
23.302-72
【解析】根据题意可知△。⑦是等边三角形,每一次旋转可以转化为等边三角旋转60度,则正方形各顶
点构成正六边形,边长为1,进而求得每次旋转的角度;在正方形的旋转过程中,第三次旋转过程中点B
与4之间的距离的最小值为Q的直径减去正方形的对角线的长度
29
QO的半径和正方形ABCD的边长均为1,
OAD是正三角形
:.ZOAD=60°
根据旋转可得正方形各顶点构成正六边形,
ZBoAB=12O°-9O°=3O°
即正方形每一次旋转的角度为30。,
如图,8点的运动路径如图中为“…-线部分,
.正方形的边长为1,
正方形的对角线长为虎,
。的半径为1
•••最短距离为2-亚
故答案为:30,2-72
30
本题考查了正多边形的性质,圆的性质,旋转的性质,正三角形的性质,找到正方形旋转的规律是解题的
关键.
24.(1)60°
(2)见解析
(3)6
【解析】(1)连接OP,根据同弧所对的圆周角等于其圆心角的一半解答;
(2)连接。P,AE,由小OAE1和△。尸2为等边三角形,得到/B=60。,PB=OB,/AOE=NB,PB=OA,
由AB为圆的直径,得/AP8=90。,由切线的定义解得/D4O=90。,继而证明△D40g/XAPB(ASA);
(3)作点E关于AB的对称点E,连接OF,由垂直平分线的性质得到0E=0£,ZE'OA^ZEOA^60°,
证明/EO£+/EOP=180。,继而得到当点M与点。重合时,使得EM+PM的值最小.
(1)
解:连接0P,
D
由题意得:NAOP=120。.
NPCA=|ZAOP,
:.ZPCA=60°;
(2)
连接。尸,AE,
31
D
由题意得:ZAOP=120°,ZAOE=60°,/尸05=60。
•:OA=OE=OP=OB,
.,.△OAE^A。尸8为等边三角形
:.ZB=60°,PB=OB
・・・NAOE=NB,PB=OA
TAB为圆的直径,AZAPB=90°
〈DA与半圆。相切于点A,・・・OA_L0A
:.ZDAO=90°
:.ZAPB=ZDAO
在△D4O和△AP5中,
ZAOD=ZB=60°
<AO=PB,
ZDAO=/APB=90°
/.ADAO^AAPB(ASA)
(3)
EM+PM的最小值为6.
作点石关于AB的对称点E',连接OE',
32
D
E
则。4垂直平分线段EE,,OE=O£,,/EOA=/Ea4=60。,120。,:/EOP=180。-ZAOE
-ZPOB=60°,:.ZEOE'+ZEOP^180°,:.E',O,尸三点在一条直线上,
二当点〃与点O重合时,使得EM+PM的值最小,
/.EM+PM的最小值=EP=OE'+OP^3+3=6.
本题考查圆的性质,涉及圆周角的性质、切线的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、两
点之间线段最短等知识,是重要考点,掌握相关知识是解题关键.
25.(1)见解析;(2)①点尸在半圆AOC所在的圆上,见解析;②也-工
26
【解析】(1)根据切线长定理证明即可
(2)①先证明03=OE,在证明二.054三OE尸即可得出点尸在半圆AOC所在的圆上②先根据等腰三角
形三线合一证出AB,再利用,S阴影=SODE-S扇形coo计算即可
(1)证明:AM1AB
区4是半圆的切线切点为点A.
又BE与半圆相切于点。
BA=BD.
(2)解:①点尸在半圆AOC所在的圆上.
理由:若NAfiE=60。
.\ZBE4=30°
又,AOBA=ZOBE=-ZABE=30°
2
33
:.ZOBE=ZOEB
OB=OE.
又,ZAOB=NFOE,ZA=ZF=90°
/.OBA=OEF
:.OF=OA.
点F在半圆AOC所在的圆上.
②如图连接OD则OD±BE.
OB=OE,
DE=BD=AB=s/3.
-ZOBA=30°,
OD=OA=AB-tan30°=A/3X—=1.
3
,员」60万xF=j1/
V
..〃阴影vODEu扇形COD236026
本题考查切线长定理、全等三角形的判定、扇形的面积、灵活应用定理及角的转换是关键,熟练掌握扇形
面积公式是重点.
26.(1)见解析;(2):NE=65°或25°;(3)5A/2
【解析】(1)(1)利用“边角边”证明即可;
(2)分两种情况:点D在线段BC上时和点D在BC延长线上时,利用全等三角形对应角相等,推出
ZE=ZADB,再根据等腰直角三角形的性质求出/ACB=NCAB=45。,根据外角性质求出/ADB,即可解
答;
(3)过点B作BF垂直AC,交AC于F,作DC边的垂直平
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