2023年河北省中考数学一轮复习：圆 练习题

2023年河北省中考数学一轮复习一圆练习题

一、单选题

1.（2021•河北石家庄•二模）如图，A,B,。是。。上三点，ZACB=25°f则NBA。的度数是（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

2.（2022.河北廊坊•一模）如图，CD是。的直径，弦。石〃AO,若NA=25。，则"的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

3.（2022・河北・中考真题）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2,PA,P8分别与所在圆相切于点A,

B.若该圆半径是9cm,ZP=40°,则AMB的长是（）

7

C.7万cmD.一»cm

2

4.（2021•河北石家庄•一模）如图，已知点。是正六边形A3C0Eb的中心，扇形AOE的面积是12兀，则正

六边形的边长为（）

5.（2021•河北廊坊•一模）如图，四边形ABCD是。。的内接四边形，若N8OD=88。，贝iJ/BCD的度数

是

A.88°B.92°C.106°D.136°

6.（2021•河北承德•一模）如图，四边形ABCD内接于（O,AB=CD,A为BO中点，N3DC=60。，则NADB

等于（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

7.（2022•河北秦皇岛•一模）如图，48是。。的直径，弦COLAS,ZCDB=30°,CD=273,则阴影部

分图形的面积为（）

A.4TTB.27rC.»D.—

3

8.（2022.河北承德•一模）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角

2

2

为120°的A3多次复制并首尾连接而成.现有一点尸从A（A为坐标原点）出发，以每秒（»米的速度沿曲线

向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（）

A.-2B.-1C.0D.1

9.（2022•河北张家口•一模）如图，六边形尸是正六边形，点尸是边AF的中点，PC,尸。分别与破

10.（2022•河北承德•一模）如图，AABC内接于半径为5的。。，点8在。。上，且cosB=g,则下列量

中，值会发生变化的量是（）

A.—3的度数B.3c的长C.AC的长D.弧ABC的长

11.（2022.河北•宽城满族自治县教研室模拟预测）已知，在△ABC中，AB=AC,根据以下各图所保留的

作图痕迹，一定能使点。到△ABC三边距离相等的是（）

A.B.

AA

12.（2021•河北•中考真题）如图，等腰一么03中，顶角NAC®=40。，用尺规按①到④的步骤操作:

①以。为圆心，为半径画圆；

②在。上任取一点P（不与点A,8重合），连接AP;

③作AB的垂直平分线与。交于M,N；

④作AP的垂直平分线与（。交于E,F.

结论I：顺次连接E,N,尸四点必能得到矩形；

结论II：，。上只有唯一■的点尸，使得S扇形OFM=S扇形OAB.

对于结论I和II,下列判断正确的是（）

A.I和II都对B.I和n都不对

c.I不对n对D.I对n不对

13.（2021•河北・中考真题）如图，点。为正六边形ABCDEF对角线ED上一点，5^=8,SACD0=2,

则S正六边形ABCDEF的值是（）

B.30

4

C.40D.随点。位置而变化

二、填空题

14.（2021•河北石家庄•二模）如图，正方形A3CO和正六边形AEFCG8均内接于O,连接HD；若线段

恰好是。的一个内接正〃边形的一条边，则〃=.

15.（2021・河北唐山•一模）如图，。与正五边形A2CDE的边A2、OE分别相切于点2、D,则劣弧瓦）所

对的圆心角NBOD的大小为____度.

16.（2022・河北唐山•一模）如图，已知圆。的半径。4=6,以。4为边分别作正五边形O4BCD和正六边形

OAEFGH,则/,图中阴影部分的面积为（结果保留兀）.

17.（2022•河北石家庄•二模）如图，。的半径是6,48是的弦，C是A3上一点，AC=6,BC=2,

点尸是。上一动点，则点尸与点C之间的最大距离是,最小距离是

p

18.（2021・河北保定•一模）如图，扇形AOB中，半径。4在直线/上，乙4。8=120。，OA=1,矩形EFGH

的边E尸也在/上，且EH=2,小叵将扇形A08在直线/上向右滚动.

32

（1）滚动一周时得到扇形400,这时。。，=.

（2）当扇形与矩形E/GH有公共点时停止滚动，设公共点为则。E=.

19.（2022.河北保定.二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1,0）与（7,0）.对

于坐标平面内的一动点P,给出如下定义:若乙4尸8=45。，则称点尸为线段的“等角点

①若点尸为线段A8在第一象限的“等角点”，且在直线x=4上，则点P的坐标为；

②若点P为线段AB的“等角点”，并且在y轴上，则点P的坐标为.

20.（2021.河北邢台•一模）如图，正六边形A8CDEF的边长为2,M点是四边形CD跖内的一个动点,

若4CFM=NMCD.

6

(1)NFMC=；

(2)动点M所经过的路线长是.

21.(2022•河北保定•一模)某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六

边形，六边形边长为1cm.目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅

为例，可以设计如图的两种收纳方案：

图2

(1)如果要装6支彩铅，在以上两种方案里，你认为更小的底面积是cm.

(2)如果你要装12只彩铅，要求相邻彩铅拼接无空隙，请设计一种最佳的布局，并使用圆形来设计底面,

则底面半径的最小值为cm.

三、解答题

22.(2021.河北保定.一模)如图，在AA8C中，AB^AC,。是边AC上的点，以OC为半径的圆分别交边

BC、AC于点。、E,过点D作DF1.AB于点F.

(1)求证：直线。尸是。。的切线；

(2)若OC=1,ZA=45°,求劣弧。E的长.

DB

23.（2022•河北•宽城满族自治县教研室模拟预测）已知。。的半径和正方形ABC。的边长均为1,把正方

形ABC。放在。。中，使顶点A,D落在。。上，此时点A的位置记为4，如图1,按下列步骤操作:

如图2,将正方形ABCD在。。中绕点A顺时针旋转，使点2落到。。上，

完成第一次旋转；再绕点B顺时针旋转，使点C落到0O上，完成第二次旋转;

（1）正方形ABC。每次旋转的度数为°;

（2）将正方形ABC。连续旋转6次，在旋转的过程中，点B与4之间的距离的最小值为

24.（2022•河北唐山・二模）如图，A8是半圆形量角器的直径，点。为半圆的圆心，D4与半圆。相切于点

A,点尸在半圆上，且点尸对应的示数为120。（60。），点C是尸8上一点（不与点P重合）.连接。。交半

圆。于点E,点E对应的示数为60°（120。）.

D

（1）连接PC,AC,求NPCA的度数；

（2）连接AP,PB,求证：4DAO义AAPB；

（3）已知半圆。的半径是3,若直径AB上存在一点使得EM+PM的值最小，请直接写出EM+RW的最

小值.

25.（2021.河北沧州•一模）如图，射线。是蜀/上的一点，以。为圆心，长为半径，在AM

上方作半圆AOC,BE与半圆相切于点。，交40于点E,EFLBO于点F.

8

⑴求证：BA=BD;

⑵若ZABE=60。，

①判断点F与半圆AOC所在圆的位置关系，并说明理由；

②若AB=6直接写出阴影部分的面积.

26.（2021.河北邯郸.一模）如图，在ABC中，AB=C3=10,NABC=90。，点。为直线上一点，点E为

A3延长线上一点，且BE=BD,连接AD,EC.

（1）求证:

⑵当NC4D=20时，求/£1的度数；

（3）点尸是一C4D的外心，当点。在直线BC上运动，且点尸恰好在ABC内部或边上时，直接写出点尸运

动的路径的长，

27.（2021・河北唐山•一模）如图，。为RtABC的外接圆，NAC3=9（r,BC=4百,AC=4,点。是O

上的动点，且点C、£）分别位于的两侧.

(1)求，。的半径；

(2)当CD=4夜时，求—ACD的度数；

(3)设AO的中点为M,在点。的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值;

若不存在，请说明理由.

28.(2022•河北石家庄•三模)如图1,已知是半圆。的直径，AB=4,点。是线段A8延长线上的一

个动点，直线垂直于射线AB于点。，在直线。尸上选取一点C(点C在点。的上方)，使CD=6M,

将射线CD绕点D逆时针旋转，旋转角为打(0°<«<90°).

图1图2

⑴若。。=5,求点C与点。之间距离的最小值；

(2)当射线0c与。。相切于点C时，求劣弧BC的长度；

(3)如图2,当射线CO与半圆。相交于点C,另一交点为E时，连接AE,OC,若AE//OC.

①猜想AE与0D的数量关系，并说明理由；

②求此时旋转角的度数.

29.(2022.河北保定.三模)请阅读以下材料，并完成相应的任务.

在《阿基米德全集》中的《引理集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的六

个有关圆的引理，其中第二个引理是：如图1,点尸是上的任意一点，尸C，AB于点C,点。在弦AB

上且AC=CD,在A8上取一点。，使哈PA,连接8。，则有3=3，

10

A

图1

(1)如图2,小明同学尝试说明"8。=8£>"，于是他连接了R4,PB,PD,PQ,请根据小明的思路完

成后续证明过程;

Q

图2

⑵如图3,以为直径的半圆上有一点尸，AP=6,AB=10,直线/与工。相切于点尸，过点B作板口

于点E,交。于点。，则BQ=.

图3

30.(2022•河北承德•一模)如图，R4是。的切线，切点为A,AC是。的直径，连接。尸交1。于E.过

A点作于点O,交。于8,连接BC,PB.

BC

⑴求证：PB是「O的切线；

⑵求证：E为AR4B的内心；

(3)若cos/PAB=巫，BC=1,求P0的长.

10

31.(2022•河北邯郸・一模)如图，在AABC中，ZACB=90°,NABC=45。，BC=l2cm,半圆。的直径

DE=12cm.点E与点C重合，半圆。以2cm/s的速度从左向右移动，在运动过程中，点。、E始终在BC

所在的直线上.设运动时间为x(s)，半圆。与AABC的重叠部分的面积为5卜病).

(1)当x=0时，设点"是半圆。上一点，点N是线段AB上一点，则的最大值为；的

最小值为.

(2)在平移过程中，当点。与BC的中点重合时，求半圆。与AABC重叠部分的面积S；

(3)当x为何值时，半圆。与AABC的边所在的直线相切？

12

参考答案:

1.c

【解析】连接05,要求NA40的度数，只要在等腰三角形043中求得一个角的度数即可得到答案，利用

同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得NAO5=50。，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理

即可求得.

解：连接。5,

ZACB=25°,

：.ZAOB=2x25°=50°,

由0A=0B,

：.ZBAO=ZABO,

：.ZBAO=^(180°-50°)=65°.

故选C.

考点：圆周角定理.

2.C

【解析】由04=0。,得NC=NA=25。，再由三角形外角性质得NAOZ>50。，然后根据平行线的性质可求解.

解：・・・8是。的直径，

：.OA=OC,

：.ZC=ZA=25°,

：.ZAOD=ZC+ZA=50°,

U：OA//DE,

：.ZD=ZAOD=50°,

故选：C.

本题考查圆的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，本题属基础题目，难度不大.

3.A

13

【解析】如图，根据切线的性质可得NB4O=NPBO=90。，根据四边形内角和可得/AO3的角度，进而

可得403所对的圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解.

解：如图，

图2

尸8分别与所在圆相切于点A，B.

ZPAO=ZPBO=90°,

ZP=40°,

ZAOB=360°-90°-90°-40°=140°,

该圆半径是9cm,

/.AMB=^^~^^-7ix9=117icm,

180

故选：A.

本题考查了切线的性质，求弧长，牢记弧长公式是解题的关键.

4.A

【解析】先求出中心角NAO石-120。，证得△Q4F是等边三角形，得到=根据扇形的面积求出圆的

半径，即可得到正六边形的边长.

解：连接OF,

设。。的半径为R,

丁O是正六边形ABCDEF的中心，

360°

ZAOF=ZEOF=——=60°,

6

ZAOE=120°,

•：OA=OF,

**•aaF是等边三角形，

・•・AF=OA=R,

•扇形AOE的面积是1271,

14

.120万收

,•一1LlC,

360

/.R2=36,

AF=R=6,

正六边形的边长是6,

故选：A.

本题考查了正多边形与圆，扇形的面积计算，解题的关键是求出正多边形的边长等于圆的半径.

5.D

【解析】首先根据NBOD=88。，应用圆周角定理，求出/BAD的度数；然后根据圆内接四边形的性质,

可得NBAD+/BCD=180。，据此求出/BCD的度数

由圆周角定理可得NBAD=WZBOD=44°,

根据圆内接四边形对角互补可得/BCD=180。-NBAD=180°-44°=136°,

故答案选D.

考点：圆周角定理；圆内接四边形对角互补.

6.A

【解析】根据AB=CD,A为中点求出/CBD=/ADB=NABD,再根据圆内接四边形的性质得到

ZABC+ZADC=180°,即可求出答案.

A为8。中点,

••AB=AD,

.*.ZADB=ZABD,AB=AD,

AB=CD,

：.ZCBD=ZADB=ZABD,

:四边形ABC。内接于I

.,.ZABC+ZADC=180°,

.".3ZADB+60°=180°,

J^ADB=4Q°,

15

故选：A.

此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性

质：对角互补.

7.D

【解析】根据垂径定理求得CE=E£>=相;然后由圆周角定理知/COE=60。.然后通过解直角三角形求得线

段。C,然后证明△OCEgZXBDE,得到“»EB=ZCE。求出扇形COB面积，即可得出答案.

解:设AB与CD交于点E,

是。。的直径，弦COLAB,CD=2后,如图，

ZCDB=30°,

：.ZCOB=2ZCDB=60°,

.,.ZOCE=30°,

：.OE=-OC,

2

BE^OE=-OB=-OC

22f

XVOC2=CE2+OE2,BPOC2=-OC2+3

4

・・・OC=2,

在^OCE^ABOE中，

ZOCE=ZBDE

<ZCEO=/DEB,

OE=BE

•・•△OCE咨ABDE(A4S),

,,SADEB-SACEO

阴影部分的面积S=S扇形COB=迎上工=—,

16

故选D.

本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇形面

积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形C08的面积是解此题的关键.

8.B

【解析】先计算点P走一个的时间，得到点P纵坐标的规律：以1,0,-1,0四个数为一个周期依次

循环，再用2019+4=504...3,得出在第2019秒时点P的纵坐标为是-1.

解：点运动一个AB用时为⑵匹2一%=2秒.

lot)3

如图，作CDLAB于D,与知交于点E.

在RtAACD中，VZADC=9Q°,ZACD=-ZACB=6(),

2

ZG4D=30°,

CD=-AC=-x2=l

22f

：.DE=CE-CD=2-1=1,

・•・第1秒时点P运动到点E,纵坐标为1；

第2秒时点P运动到点B,纵坐标为0；

第3秒时点P运动到点F,纵坐标为-1；

第4秒时点P运动到点G,纵坐标为0；

第5秒时点P运动到点H,纵坐标为1；

.•.,

...点P的纵坐标以1,0,-b0四个数为一个周期依次循环，

20194-4=504...3,

.•.第2019秒时点P的纵坐标为是-1.

本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点P纵坐标的规律：以1,0,-1,0四个数为一个周

期依次循环.也考查了垂径定理.

9.D

【解析】设正六边形的边长为必想办法求出APA/N,的面积即可.

17

解：设正六边形的边长为a.则必尸（力=2义"。2=也/,S承1形BCDE=3又昱。2=空a2,

4244

由题意MN是APCD的中位线，

SAPMN=-SAPCD=昱a2,

48

S举形MNDC=Ba2-2a2=记a2,

28

2

a2_bHa)=在“2

S^BMC=SADNE=I(—

•；PM=CM,

：.Si^PBM=SLBMC=—a2,

16

：.SAPMN：S^PBM=—a2：

8

故选：D.

本题考查正多边形与圆，三角形的面积，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解

题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

10.B

【解析】连接AO并延长交（O于BI连接BC,OC,根据已知条件得到的度数一定；解直角三角形

得到AC=10-sinB,故AC的长一定；根据弧长公式得到A百c的长度=（"。一？个-B的度数上一一定;

于是得到结论.

解：连接AO并延长交।。于B,连接BC,OC,

.../ACB'=90,

.•.NB的度数一定;

.\AC=10sinB,故AC的长一定;

，AOC=2”,

（36。-2个/B的度数）“5一定;故选B

/.ABC的长度=

本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键.

11.D

18

【解析】根据到三角形三边距离相等的点是三角形角平分线的交点，判断各选项所给的射线是角的平分线

即可.

解：A.以B为端点的射线不是-3的平分线，故此选项不符合题意；

B.交点。到三角形的三个顶点距离相等，故此选项不符合题意；

C.射线80不是23的平分线，，故此选项不符合题意；

D.两条射线均为角的平分线，交点。到AA8C三边距离相等，故此选项符合题意；

故选：D

本题主要考查了三角形的内心，明确三角形的内心是三角形角平分线的交点是解答本题的关键.

12.D

【解析】I、根据“弦的垂直平分线经过圆心”，可证四边形MEN尸的形状；

II、在确定点P的过程中，看NMOG40。是否唯一即可.

是的垂直平分线，EF是AP的垂直平分线，

和所都经过圆心0,线段和川是。。的直径.

?.OM=ON,OE=OF.

四边形MENF是平行四边形.

:线段MN是。。的直径，

ZMEN=90°.

：.平行四边形MENF是矩形.

.••结论I正确；

II、如图2,当点尸在直线左侧且AP=AB时，

'：AP=AB,

AB=AP-

"：MN±AB,EFLAP,

19

・•・AE=-APAN=-AB.

22f

•*-AE=AN.

：.ZAOE=ZAON=-ZAOB=20.

2

:・NEON=44.

ZMOF=ZEON=40.

・・•扇形。尸M与扇形。43的半径、圆心角度数都分别相等,

,,S扇形。FM=S扇形OAB•

如图，

当点尸在直线MN右侧且BP=AB时，

问理可证：§扇形F0”=S扇形AOB-

结论n错误.

故选：D

本题考查了圆的有关性质、矩形的判定、扇形面积等知识点，熟知圆的有关性质、矩形的判定方法及扇形

面积公式是解题的关键.

13.B

【解析】连接AC、AD、CF,与CP交于点M,可知M是正六边形ABCDEF的中心，根据矩形的性质

求出SMF“=5,再求出正六边形面积即可.

解：连接AC、AD,CF,AO与CF交于点可知/是正六边形ABCDEF的中心，

多边形ABCDEF是正六边形，

J.AB^BC,NB=NBAF=120°,

：.ZBAC=3Q°,

：.ZMC=90°,

20

同理，ZDCA=ZFDC=ZDFA=90°,

.,•四边形ACD尸是矩形，

SAAFO+^ACDO=万S矩形"0c一1°，^AAFM=^矩形4ra>C=,

S正六边形ABOTEk—6s一3°，

故选：B.

本题考查了正六边形的性质，解题关键是连接对角线，根据正六边形的面积公式求解.

14.12.

【解析】连接。4、OD,OH,利用正多边形与圆，分别计算。的内接正四边形与内接正六边形的中心角

得至！JNAOD=90°,ZAOH=60°,相减算出NZ)OH=30°,然后算出小

解：如图所示，连接。4、OD、OH,

•••正方形ABC。和正六边形AEFCGH均内接于O,

360°

.・・ZAOD=——=90。，

4

360°

ZAOH=——=60。，

6

：.ZDOH=ZAOD-ZAOH=90°-60°=30°,

."=*2,

30°

21

故答案为：12.

本题考查了正多边形与圆，根据中心角=型360-°得到相应的中心角，关键还要灵活运用公式求出加

n

15.144

【解析】根据正多边形内角和公式可求出NE、ND,根据切线的性质可求出/OAE、ZOCD,从而可求

出NAOC,然后根据圆弧长公式即可解决问题.

解：五边形A8CDE是正五边形,

08。.

5

45、OE与一O相切,

ZOBA=ZODE=90°,

ZBOD=(5-2)x180°-90°-108°-108°-90°=144°,

故答案为144.

本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的

关键.

16.12°

【解析】先根据多边形内角和公式计算出48、N2O”的度数，再求出-HOD,利用扇形面积公式计

算即可.

fC-O'jy180°

解：由题意得，；=108。,

(6—2)x180。

ZAOH==120°

6

NDOH=ZAOH-ZAOD=120。—108。=12。,

,阴影部分的面积：比£=色兀，

3605

故答案为：12。，

本题考查了正多边形和圆，熟练运用多边形内角和公式和扇形面积公式是解题的关键.

17.6+2A/66-25/6

【解析】过点。作。GLA8于点G,连接。P、OC、OB、PC,根据勾股定理求得OC=2«,进一步得到

尸C的取值范围得出结果.

解：过点。作OGLAB于点G,连接0尸、OC、OB、PC,

：.BG=-AB=-7S4,

22

22

GC=BG-BC=2,

由勾股定理得：OG1=OB--BG1=OC--CG1,

即36-16=OC2-4,

解得OC=2灰,

又•/OP+OC>PC>PO-OC,

/.6+2V6>PC>6-2V6,

故答案为6+2#,6-2A/6.

本题考查垂径定理、勾股定理以及三角形三边关系，解决问题的关键是是遇弦作弦心距构造直角三角形.

18.—+2交

32

【解析】(1)利用扇形弧长公式求出AB，滚动一周，则OO，=A2+2OA;

(2)求得0E与OO'的关系，可知扇形滚动5周后，。与E相距走，继续滚动，8点与HE相交,

2

即公共点。点，根据勾股定理求出OE的长.

(1)扇形AOB滚动一周得到扇形400,

VZAOB=120°,OA=\

OO'=AB+20A=——+2

3

(2)VQE=—+20+y^,OO'=—+2

323

.c口10^^20+7210万上20工应</2万工。)工友scN

32322^3)22

23

即扇形A08滚动5周后，。与E相距正，继续滚动，B点与HE相交，即公共点。点，

2

AOD=OB=OA=i,OE=—,ZHEO=90°

2

DE=yJOD2-OE2=.I2-f—=—

VI2J2

本题考查扇形弧长的计算、利用勾股定理解几何题.本题的关键在于理解扇形滚动的规律.

19.①（4,3+3加），②（0,3±0）或（0,-3土血）

【解析】①根据尸在直线尤=4上画图1,作AAPB的外接圆C,连接AC,BC,可知：AB—6,G>C的半

径为3后，最后计算产。的长可得点尸的坐标；

②同理作AAPB的外接圆C,计算OP和OB的长，可得点尸的坐标，注意不要丢解.

解：①如图1,作△APB的外接圆，设圆心为C,连接AC,BC,

二,点A与点B的坐标分别是（1,0）与（7,0）,

：.AB=l-l=6,

'：ZAPB=45°,

ZACB=90°,

VAC=BC,

.♦.△ABC是等腰直角三角形，AC2+BC2=AB2

:.AC=BC=3®,

:.PC=3也,

:点P在直线x=4上，

：.AD=4-1=3,

24

：.AD=BD,

'：CD±AB,

：.CD=AD=3,

：.P（4,3拒+3）；

故答案为：（4,3应+3）；

②如图2,同理作A4PB的外接圆，设圆心为C,过C作无轴于。，作CE，。尸于E,连接PC,P〕C,

在y轴上存在/AP8=/AP/B=45。，

则①知：CD=OE=3,OD=CE=4,PC=3后,

由勾股定理得：尸£=J（30『一4?=0,

."0=3+0,

同理得：OP尸3-叵,

：.P（0,3±72）,

同理在y轴的负半轴上，存在符合条件的点P的坐标为（0,-3+72），

综上，点尸的坐标为（0,3土◎）或（0,-3±£）.

故答案为：（0,3土加）或（0,-3土正）.

此题主要考查坐标和图形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，作AAP8的外接圆是本题的关键.

Q

20.120°一岛:

9

【解析】（1）由题意结合正六边形的性质可求出/S=60。.再根据三角形内角和定理结合

Z.CFM=ZMCD,即可求出/加。=180。-/尸8=120。.

（2）如图，延长CB、FA,交于点N,由题意可知点〃在_@叫的外接圆上的劣弧C歹上.设该外接圆圆

25

心为。，作CW-LCF.易证NQVF=60。，即可求出/CO尸=120。，从而求出NOCH=30。.由题意易求出

CF=4,即可求出CO=逑，即该圆的半径为生叵，最后由弧长公式即可求出结果.

33

(1)由题意结合正六边形的性质可知CF平分/BCD,且4CD=120。.

/.ZFCD=-ZBCD=60°.

2

ZFMC=180°-ZCFM-ZFCM,ZCFM=ZMCD.

：.NFMC=180°—NA/CD—NFO/=180°—NFCD=120°.

故答案为：120°.

(2)如图，延长CB、FA,交于点N,

由(1)ZFMC^120°,可知点M在。N的外接圆上的劣弧CF上.

设该外接圆圆心为。，作OHLCF.

由题意可知NNCF=ZNFC=60°,

即一C/W为等边三角形，

ZCNF=60°,

zcoF=no°.

：.AOCH=30°.

由正六边形的性质可知CF=2CD=4.

CH=-CF=2,

2

・8一2若”_46

••CCz=-------C/1=-------•

33

・,•圆。的直径为2。0=更.

3

・120X%X£300

•*/=_________3_8^3^•

'弧b一。（八一C〃

26

故答案为：晅兀.

9

本题考查正六边形的性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定和性质、含30。角的直角三角形的性质、

圆周角定理、弧长公式等知识，综合性强，较难.理解点M在.CFN的外接圆上的劣弧CF上是解答本题

的关键.

21.1273V13

【解析】（1）利用圆的面积、等边三角形的面积.即可判断；

（2）设计方案如图，利用勾股定理求出半径即可.

解：（1）如图1,在正六边形中，过点8作过C作CALLOA,

（6-2）x180。50。,

:正六边形的边长为1,ZABC=ZBCO=

6

.".ZBAM=-xl20°=60°,

2

ZABM=3Q°,ZMBC=9Q°,

：.AM=^AB=^,四边形BMNC是矩形,

：.MN=BC=\,

同理ON=3,

：.OA=AM+MN+ON=2,

如图2中，圆的半径为3,

如图3中，连接。4,OD,OB

27

B

图3

V0D=2cmfZOAD=30°,ZADO=90°

/.OA=OB=2OD=4cm,

AD=4OJ^-OD1=2A/3(cm),

，等边三角形的边长AO4石cm,

二底面积=；*(4+2»46=12百(cm2)<9%(cm1)

等边三角形作为底面积时，面积较小，底面积为126°加；

(2)如图4中，设计方案如图4所示，过点G作GXLOE于X,

在RtXGHE中，ZHGE=-xl20°=60°,G£=lcm

2

：.GH=^-cm,HE=,ll2-(-)2=—(cm)

2V22

；.OE=4x走=2括(cm)

2

在E/TkOET中，ET=lcmfOE=2y/3cm,

；•07=JOE?+ET?=J(26)2+产=岳(cm)

...底面半径的最小值为历cm,

故答案为：A/T3

本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用

28

辅助线，构造直角三角形解题.

3

22.(1)详见解析；(2)-Jr.

4

【解析】⑴连结0。，根据等腰三角形的性质得到0D〃A2,根据平行线的性质得到N。。尸=90。，根据

切线的判定定理证明；

(2)根据平行线的性质得到180。-45。=135。，根据弧长公式计算即可.

证明：如图，连结O。，

\'AB=AC,

：.ZB=ZACB,

OC=OD,

：.ZODC=ZACB,

1/B=NODC,

：.OD//AB,

'：DF±AB,

：.ZODF=ZBFD=90°,

为半径，

直线。尸是。。的切线；

(2)解：VZA=45°,OD//AB,

：.ZAOD=180°-45°=135°,

•••劣弧。E的长为胃/=

1804

本题主要考查了切线的判定及弧长的计算，熟练掌握切线的判定定理及弧长的计算公式是解题的关键.

23.302-72

【解析】根据题意可知△。⑦是等边三角形，每一次旋转可以转化为等边三角旋转60度，则正方形各顶

点构成正六边形，边长为1,进而求得每次旋转的角度；在正方形的旋转过程中，第三次旋转过程中点B

与4之间的距离的最小值为Q的直径减去正方形的对角线的长度

29

QO的半径和正方形ABCD的边长均为1,

OAD是正三角形

:.ZOAD=60°

根据旋转可得正方形各顶点构成正六边形，

ZBoAB=12O°-9O°=3O°

即正方形每一次旋转的角度为30。，

如图，8点的运动路径如图中为“…-线部分,

.正方形的边长为1,

正方形的对角线长为虎,

。的半径为1

•••最短距离为2-亚

故答案为：30,2-72

30

本题考查了正多边形的性质，圆的性质，旋转的性质，正三角形的性质，找到正方形旋转的规律是解题的

关键.

24.(1)60°

(2)见解析

(3)6

【解析】(1)连接OP,根据同弧所对的圆周角等于其圆心角的一半解答；

(2)连接。P,AE,由小OAE1和△。尸2为等边三角形，得到/B=60。，PB=OB,/AOE=NB,PB=OA,

由AB为圆的直径，得/AP8=90。，由切线的定义解得/D4O=90。，继而证明△D40g/XAPB(ASA)；

(3)作点E关于AB的对称点E,连接OF,由垂直平分线的性质得到0E=0£,ZE'OA^ZEOA^60°,

证明/EO£+/EOP=180。，继而得到当点M与点。重合时，使得EM+PM的值最小.

(1)

解:连接0P,

D

由题意得：NAOP=120。.

NPCA=|ZAOP,

：.ZPCA=60°；

(2)

连接。尸，AE,

31

D

由题意得：ZAOP=120°,ZAOE=60°,/尸05=60。

•：OA=OE=OP=OB,

.,.△OAE^A。尸8为等边三角形

：.ZB=60°,PB=OB

・・・NAOE=NB,PB=OA

TAB为圆的直径，AZAPB=90°

〈DA与半圆。相切于点A,・・・OA_L0A

：.ZDAO=90°

：.ZAPB=ZDAO

在△D4O和△AP5中，

ZAOD=ZB=60°

<AO=PB,

ZDAO=/APB=90°

/.ADAO^AAPB(ASA)

(3)

EM+PM的最小值为6.

作点石关于AB的对称点E',连接OE',

32

D

E

则。4垂直平分线段EE,，OE=O£,，/EOA=/Ea4=60。，120。，：/EOP=180。-ZAOE

-ZPOB=60°,：.ZEOE'+ZEOP^180°,：.E',O,尸三点在一条直线上，

二当点〃与点O重合时，使得EM+PM的值最小，

/.EM+PM的最小值=EP=OE'+OP^3+3=6.

本题考查圆的性质，涉及圆周角的性质、切线的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、两

点之间线段最短等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

25.(1)见解析；(2)①点尸在半圆AOC所在的圆上，见解析；②也-工

26

【解析】(1)根据切线长定理证明即可

(2)①先证明03=OE,在证明二.054三OE尸即可得出点尸在半圆AOC所在的圆上②先根据等腰三角

形三线合一证出AB,再利用，S阴影=SODE-S扇形coo计算即可

(1)证明：AM1AB

区4是半圆的切线切点为点A.

又BE与半圆相切于点。

BA=BD.

(2)解：①点尸在半圆AOC所在的圆上.

理由：若NAfiE=60。

.\ZBE4=30°

又，AOBA=ZOBE=-ZABE=30°

2

33

:.ZOBE=ZOEB

OB=OE.

又,ZAOB=NFOE,ZA=ZF=90°

/.OBA=OEF

:.OF=OA.

点F在半圆AOC所在的圆上.

②如图连接OD则OD±BE.

OB=OE,

DE=BD=AB=s/3.

-ZOBA=30°,

OD=OA=AB-tan30°=A/3X—=1.

3

，员」60万xF=j1/

V

..〃阴影vODEu扇形COD236026

本题考查切线长定理、全等三角形的判定、扇形的面积、灵活应用定理及角的转换是关键，熟练掌握扇形

面积公式是重点.

26.(1)见解析;(2)：NE=65°或25°；(3)5A/2

【解析】(1)(1)利用“边角边”证明即可;

(2)分两种情况：点D在线段BC上时和点D在BC延长线上时，利用全等三角形对应角相等，推出

ZE=ZADB,再根据等腰直角三角形的性质求出/ACB=NCAB=45。，根据外角性质求出/ADB,即可解

答；

(3)过点B作BF垂直AC,交AC于F,作DC边的垂直平