数学-湖北省汉阳一中、江夏一中、洪山高中2024-2025学年高二2月联考试题和答案

高二数学试卷考试时间：2025年2月25日上午8:00-10:00试卷满分：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线y=2x²的焦点坐标为()2.已知直线m²x+y-2=0与3mx+(m-2)y-6m=0平行，则m=()3.记S,为等比数列{a,}的前n项和，若a₁+a₃=5,S₄=15,则S,=()A.63B.64C.1274.已知直线2x-3y-1=0与双曲线C:相交于A、B两个不同点，点A.2B.√25.如图，已知平行四边形ABCD,AB=√3,AD=√7且AB⊥BD,沿对角线BD将△ABD折起，当二面角A-BD-C的余弦值时，则A与C之间距离为()高二数学试卷第1页，共4页6.已知数列{bn}的通项公式,则当b,取得最小值时，n=()7.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SA⊥平面ABCD,P为底面ABCD内的一个动点，若PB·PS=1,则动点P在()面积为()二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.,9.若方程所表示的曲线为C,则下列命题正确的是(),A.曲线C可以表示圆B.若曲线C是椭圆，则C.曲线C可以表示直线D.若,则C为双曲线10.已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2,AB⊥AC,点E为B₁C的中点下列说法正确的是()B.AB₁//平面A₁CEC.异面直线AE与A₁C所成的角的余弦值为D.直三棱柱ABC-A₁B₁C的外接球的表面积为12π高二数学试卷第2页，共4页项和为S2,数列{b,}的前n项和为T,则下列结论正确的是()A.a₃=4B.b,=n·2”C.S2n=(2n-3)·2"+¹+6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.若球O,O₂的半径分别为6和3,球心距离O₁O₂=11,则此椭圆的长轴四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步15.已知圆A经过两点B(4,-2),C(-1,3),且圆心A在直线3x-4y=0上.17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD,AB=2,BC=1,PC=PD=√2,点E在棱PB上，且PD//平面ACE.(2)求平面ACE与平面ACD夹角的正弦值.18.已知椭圆C:上的点到焦点距离最短为2√3-√6,到焦点距离最(2)过点M(-1,0)作直线l与椭圆C交于A,B两点，且椭圆C的左、右焦点分别为F,F₂,△F₁AF₂,△FBF₂的面积分别为S,S₂,求|S₁-S₂|的最大值.19.已知抛物线C:y²=2px(P为正整数),M为直线x=t(t<0)上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为A,B,记点A,M,B的纵坐标分别为y₁,yo,y₂(其中y₁<y₂).(1)证明：y₁,yo,y₂成等差数列；(2)若t=-2p,记等差数列y₁,y₀,y₂的公差为d.(ii)初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支.初等数论中有如下定理：若两个正整数的最大公约数为1,且这两个正整数的乘积是某个正整数的平方，则这两个正整数都为完全平方数.请用该定理证明下面的问题：若y。为正奇数，d为正这三个数两两之间的最大公约数都为1,证明：d一定可以表示为某两个正整数的平方之高二数学试卷第4页，共4页123456789DBCDCBBC【详解】(1)设圆心为A(4a,3a),半径为r,由r=|AB|=|AC|,∴点A的坐标为(4,3),圆半径r=|AB|=5,(2)画出圆A的图象如下图所示，由图可知，直线x=-1过点D,且与圆A相切，当过D点与圆A相切的直线斜率存在时，设切线方程为y=k(x+1),kx-y+k=0,综上所述，切线方程为或x=-1.【详解】(1)已知,3am=a,+2=3(a₁-1)=a,-1,(2)由(1)可知，答案第1页，共4页由S2025<m,可得m≥2026,m为整数，∴m的最小值为2026.【详解】(1)证明：连接BD交AC于点F,连接EF,因为底面ABCD是矩形，所以F为BD的中点，因为PD//平面ACE,PDC平面PBD,平面PBDN平面ACE=EF,所以PD//EF,又因为F为BD的中点，所以E为PB的中点.(2)解：取CD的中点O,连接PO,FO,因为底面ABCD为矩形，所以BC⊥CD,因为PC=PD,O为CD的中点，所以PO⊥CD,OF//BC,所以OF⊥CD,又因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,POc平面PCD,PO⊥CD,所以PO⊥平面ABCD,所以PO⊥OF,所以OF,OC,OP两两垂直.以O为坐标原点，OF,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意可得A(1,-1,0),C(0,1,0),B(1,1,0),由上可知OP=(0,0,1)为平面ACD的一个法向量，设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),所以所以平面ACE与平面ACD夹角的正弦值为答案第2页，共4页【详解】(1)由题意，解得a=2√3,c=所以椭圆C的方程,得(1+2k²)x²+4k²x+2k²-12=0,设(1,1),(2,2),则由于y₁,y₂异号，所以【详解】(1)由题意有，点M(t,y₀),设直线MA,MB的斜率分别为k₁,k₂(k₂>0>k₁),直线MA的方程为y-yo=k₁(x-t),代答案第3页，共4页有,有2k²-2yok+p=0,同理有2tk²-2y。k₂+p=0,可得k₁,k₂是关于x的方程2tx²-2y₀x+p=0有同理有,有,可得,可得有个数两两之间的最大公约