高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册必修第一册第三章 1.重力与弹力 第1课时　重力与弹力含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册必修第一册第三章1.重力与弹力第1课时重力与弹力含答案第三章相互作用——力1.重力与弹力第1课时重力与弹力【课程标准】1.认识重力、弹力。2.通过实验,了解胡克定律。【知识导图】情境引入2023年10月1日,杭州第19届亚运会跳水男子双人10米跳台比赛,中国组合杨昊/练俊杰夺得金牌。两位选手起跳后在空中为什么又会下落?在两位选手起跳时,受到的支持力是由谁提供的?必备知识·认知导学一、重力1.2.重心:理想化模型(1)定义:一个物体的各部分都受到重力作用,从效果上看,可以认为各部分受到的重力作用集中于一点,这一点叫作物体的重心。因此,重心可以看作是物体所受重力的作用点。(2)决定重心位置的因素:①物体的形状;②物体内质量的分布。(3)确定重心的方法:①形状规则且质量分布均匀的物体,重心在几何中心上。②对形状不规则的物体,用悬挂法。等效代替二、弹力1.接触力:物体与物体接触时发生的相互作用称为接触力。2.形变:物体在力的作用下形状或体积会发生的变化。3.弹力:发生形变的物体,要恢复原状,对与它接触的物体会产生的作用力。4.弹力的方向:与施力物体的形变方向相反。三、胡克定律1.弹性形变:物体在发生形变后,如果撤去作用力能够恢复原状的形变。极限思想2.弹性限度:如果形变过大,超过一定的限度,撤去作用力后物体不能完全恢复原来的形状,这个限度称为弹性限度。3.胡克定律:(1)内容:在弹性限度内,弹簧发生弹性形变时,弹力F的大小跟弹簧伸长(或缩短)的长度x成正比。(2)公式:F=kx,式中k为弹簧的劲度系数,单位是牛顿每米,符号是N/m。4.劲度系数:(1)意义:弹簧劲度系数的大小反映了弹簧的软硬程度。(2)弹簧劲度系数与弹簧软硬的关系:劲度系数越大,弹簧越硬;劲度系数越小,弹簧越软。探索求真工人师傅在砌墙以及检测墙壁是否竖直时,经常用到重垂线。为什么使用重垂线可以检测墙壁是否竖直?提示:重垂线沿竖直方向,如果墙壁与细线平行,就说明墙壁是竖直的。动手求真1.用手捏玻璃瓶,玻璃瓶会发生形变吗?2.用手压桌子,能看到桌子形变了吗?3.用什么办法能够让它们的形变显示出来?明辨是非1.自由下落的物体所受重力为零。 (×)提示:此时重力不变。2.重力的方向不一定指向地心。 (√)3.弹力一定产生在相互接触的物体之间。 (√)4.F=kx中“x”表示弹簧形变后的长度。 (×)提示:“x”表示弹簧的形变量。5.弹簧的形变量越大,劲度系数越大。 (×)提示:弹簧的劲度系数与弹簧的材料和弹簧的粗细有关,与弹簧的形变量无关。关键能力·探究导思学习任务一重力与重心探锚——情境创设启发设问1.如图是现实生活中一些常见的现象。地面附近的重物被释放或抛出后都会掉在地面上,熟透的苹果,绚丽多彩的喷泉,空中飞行的足球,抛出的网球,这些物体的最终归宿都是地球。物体最终都落向地面是因为受到力的作用,这个力是什么力?它是如何产生的?提示:这个力是重力。重力是由地球的吸引而产生的。2.高空走钢丝非常惊险刺激。走钢丝的演员为什么要拿一根较长的横杆?提示:要保证走钢丝表演成功,整个人(包括手中的横杆)的重心一定要在钢丝的正上方。演员手拿一根横杆,当人的重心偏离钢丝的正上方时,可以通过调节横杆的位置达到调节重心位置的目的,保证表演成功。解锚——要点归纳规律概括一、重力的理解1.地球上的物体都受到重力作用,不管质量大小,也不论有无生命,凡是由分子、原子构成的物体皆受重力作用。2.重力是由地球的吸引而产生的,但重力的大小不一定等于地球对物体的吸引力,重力一般小于地球对物体的吸引力。有的情况下,认为物体所受的重力与地球对物体的吸引力大小相等,原因是两者相差很小。重力是非接触力,重力的施力物体是地球。3.重力的测量:在实验室里,重力的大小可以用弹簧测力计测量;工业上可以用电子吊秤称更重的物体。测量原理:二力平衡时,两个力大小相等。测量条件:物体处于静止或匀速直线运动时。测量方法:用弹簧测力计将待测物体悬挂起来处于静止状态,测力计的读数在数值上等于重力的大小。4.重力的大小:由于G=mg,在同一地点,重力的大小与质量成正比;在不同地点,如从两极到赤道或离地面越高,g值均减小,从而使同一物体的重力也有所不同;物体的重力与其运动状态无关。5.重力的方向:重力总是竖直向下的。竖直向下不能说成垂直向下,垂直要看接触面,重力和水平面垂直,与斜面并不垂直。物体在自由释放后总是竖直向下运动,就说明了重力的方向。二、重心的理解1.重心的特点:重心是重力的等效作用点,并非物体的其他部分不受重力作用。2.重心的位置及决定因素:(1)位置:重心的位置可以在物体上,也可以在物体外。(2)决定因素:①物体质量分布情况。②物体的形状。3.重心与物体形状、质量分布情况的关系:4.对薄板状物体,可用支撑法或悬挂法来确定重心。如图所示,C点即为物体的重心,但该方法仅适用于薄板状物体。起锚——典题突破学以致用【典例1】(2024·济南高一检测)关于重力及重心,下列说法中正确的是 ()A.一个物体放在水中称量时弹簧测力计的示数小于物体放在空气中称量时的示数,因此物体在水中受到的重力小于在空气中受到的重力B.根据G=mg可知,两个物体相比较,质量较大的物体的重力不一定较大C.物体放于水平面上时,重力的方向垂直于水平面向下;物体静止于斜面上时,重力的方向垂直于斜面向下D.物体的形状改变后,其重心位置不会改变【解析】选B。由于物体放在水中时,受到向上的浮力,故弹簧测力计的拉力比放在空气中称量时小,但物体的重力并不改变,A错误;当两物体所处的地理位置相同时,g值相同,质量较大的物体的重力必定较大,但当两物体所处的地理位置不同时,g值不同,故质量较大的物体的重力不一定较大,B正确;重力的方向总是竖直向下的,C错误;物体重心的位置由物体的形状和质量分布情况共同决定,物体的形状改变后,其重心的位置可能发生改变,故D错误。[思维升华]理解重力和重心时的注意事项(1)重力是物体由于地球的吸引而受到的力,但并不是地球的吸引力。重力G=mg,故其大小只与m、g有关,方向与g相同,总是竖直向下。(2)重心不是重力的真实作用点,重力的作用点遍布整个物体,只是为了研究问题的方便,把物体所受的重力看成都集中在重心这一点。重心的位置与物体的形状和质量分布情况有关,但并不一定在物体上。【补偿训练】如图所示,把一个平放着的、边长为l的匀质正方体绕bc棱翻转,使对角面AbcD处于竖直平面内,则它的重心位置升高了多少?答案:2【解析】匀质正方体的重心位于其几何中心,如图中O所示(正视图)。当对角面AbcD处于竖直平面内时,直线Ab以b点为圆心从原有位置旋转到竖直位置,旋转过程如图,由几何关系可知重心上升的高度Δh=12Ab-12Aa=22l-12学习任务二弹力探锚——情境创设启发设问仔细观察下列图片,认真参与“师生互动”。活动1:日常生活中的很多相互作用,如对物体推、拉、提、举,牵引列车、锻打工件、击球、弯弓射箭等,它们有什么相同点?提示:都是在物体与物体接触时发生的。活动2:活动1中所列的相互作用都属于弹力,弹力是接触力的一种。观察甲、乙两图,试分析弹簧对小车的拉力和跳板对人的支持力是怎么产生的?提示:如图甲所示,被拉长的弹簧要恢复原状,对相连的小车产生了拉力F;如图乙所示,被人压弯的跳板要恢复原状,对人产生了支持力。活动3:拉力和支持力都是弹力。为了分析杯子所受桌面的支持力的产生原因,做如图丙所示的实验。按压两平面镜之间的桌面,看不出桌面发生了形变,但看到光点移动,这说明了什么?试总结弹力产生的原因。提示:说明桌面发生了不易被察觉的微小形变。弹力产生的原因:发生形变的物体,要恢复原状,对与它接触的物体产生了力的作用。解锚——要点归纳规律概括1.弹力产生的过程为:2.弹力的产生条件(1)物体间相互接触;(2)接触面相互作用发生形变,且要恢复原状。3.弹力有无的判断方法(1)直接法对于形变比较明显的情况,可以根据弹力产生的条件判断,两个条件都满足时才有弹力产生。(2)假设法要判断物体在某一接触位置是否受弹力作用,可假设将在此处与物体接触的另一物体去掉,看物体是否在该位置保持原来的状态,若能保持原来的状态,则说明物体间无弹力作用,否则有弹力作用。几种常见弹力的方向类型方向图示接触方式面与面垂直于公共接触面指向被支持物体点与面过点垂直于面指向被支持物体点与点垂直于公共切面指向受力物体且力的作用线一定过球(圆)心轻绳沿绳收缩方向轻杆可沿杆可不沿杆轻弹簧沿弹簧形变的反方向收缩方向伸长方向[知识拓展]判断弹力有无的方法还包括:(1)状态法除了看要研究的弹力外,还要关注物体所受的其他作用力与物体的运动状态是否满足相应的规律(目前主要应用二力平衡的规律),若满足,则无弹力存在;若不满足,则有弹力存在。(2)替换法可以将硬的、形变不明显的施力物体(假设施力)用软的、易产生明显形变的物体来替换。如将墙壁、斜面用海绵来替换,将硬杆用轻弹簧来替换。(3)判断弹力有无时应灵活选用判断方法。当用直接法不易判断时,可考虑用其他方法判断。起锚——典题突破学以致用角度1弹力有无判断【典例2】判断图甲、乙、丙中小球是否受到弹力作用,若受到弹力,请指出其施力物体。(图中各接触面均光滑)【解析】用“假设法”来判断小球是否受斜面的弹力作用:若将三个图中的斜面去掉,则图甲中小球无法在原位置静止,乙和丙两图中小球仍静止;同理,如果没有细绳,图甲、乙中小球不会静止。所以图甲中小球受到斜面和细绳的弹力,施力物体分别是斜面和细绳。图乙中小球只受到细绳的弹力,施力物体是细绳,不受斜面的弹力。图丙中小球只受水平面的弹力,施力物体是水平面,不受斜面的弹力。答案:见解析[思维升华](1)两物体接触,两者之间不一定有弹力作用。一个物体发生形变,也不一定对与它接触的物体有弹力作用。(2)相互接触和发生弹性形变是两物体间产生弹力的两个必须的条件,在无法通过直观法确定有无弹力时,可以通过假设法、状态法、转换法进行分析。角度2弹力的方向【典例3】(2024·苏州高一检测)下列图中画出的弹力N的示意图合理的是 ()【解析】选D。A图中,弹力应该过接触点、球心斜向上,故A错误;B图中,弹力应该过接触点垂直接触面竖直向上,故B错误;C图中,OB面无弹力,故C错误;D图中,B点弹力垂直杆斜向上,故D正确。[思维升华]三种情况下弹力的方向(1)平面与平面接触时,弹力的方向与接触平面垂直。(2)点与平面接触时,弹力的方向与接触平面垂直。(3)点与曲面接触时,弹力的方向与曲面的切平面垂直。对点训练1.如图为骑行者驾驶摩托车在水平地面上左拐弯的照片,下列说法正确的是 ()A.地面对摩托车的弹力斜向左上方B.地面对摩托车的弹力竖直向上C.轮胎受到的弹力是由轮胎发生形变产生的D.地面比较硬,其未发生形变【解析】选B。地面对摩托车的弹力垂直于地面竖直向上,故A错误,B正确;轮胎受到的弹力是由地面发生形变产生的,故C错误;地面发生形变,其形变为微小形变,故D错误。2.(多选)如图所示,底端置于粗糙水平地面上的杆,其顶端被一根细线用手拉住,杆处于静止状态,细线水平。下列说法正确的是 ()A.杆对细线的弹力方向为水平向右B.细线对杆的弹力方向垂直杆向左C.杆受到地面的弹力是由地面的形变产生的D.地面受到杆的弹力沿杆向左下方【解析】选A、C。细线水平,则细线对杆的弹力方向水平向左,杆对细线的弹力方向为水平向右,A正确,B错误;杆受到地面的弹力的施力物体是地面,则杆受到地面的弹力是由地面的形变产生的,C正确;地面受到杆的弹力垂直于地面向下,D错误。【补偿训练】1.如图所示四个图中,所有的球都是相同的,且形状规则、质量分布均匀。甲球放在光滑斜面和光滑水平面之间,乙球与其右侧的球相互接触并放在光滑的水平面上,丙球与其右侧的球放在另一个大的光滑球壳内部并相互接触,丁球用两根轻质细线吊在天花板上,且右侧的一根线是沿竖直方向的。关于这四个球的受力情况,下列说法正确的是 ()A.甲球受到两个弹力的作用B.乙球受到两个弹力的作用C.丙球受到两个弹力的作用D.丁球受到两个弹力的作用【解析】选C。甲球受重力和水平面给它的竖直向上的弹力两个力,斜面没有给其弹力,如果有弹力,则甲球不会静止,A错;乙球受重力和水平面给它的竖直向上的弹力两个力,与乙球接触的球不会给乙球弹力,如果有弹力,则乙球不会静止,B错;丙球受重力、大球壳内部给它的指向球心的斜向右上的弹力和与它接触的小球给它的沿它们球心连线向左的弹力,如果与它接触的小球不给它沿它们球心连线向左的弹力,则丙球不能保持静止状态,故丙球受到两个弹力的作用,C对;丁球受重力和细线给它的竖直向上的拉力,倾斜的细线不会给它弹力的作用,如果有弹力,则丁球不能保持平衡状态,故丁球只受一个向上的弹力,D错。2.在如图所示的各图中画出杆或球P所受弹力的示意图,已知杆和球均处于静止状态。【解析】题图甲中P受到的弹力有球面与球面之间的弹力,方向应垂直于两球接触点的切面向左;绳子对球力的方向沿绳斜向上,如图(a)所示。题图乙中杆对C、D两处有挤压作用,因C处为曲面,D处为支撑点,所以C处弹力垂直于其切面指向圆弧所对应的圆心,D处弹力垂直于杆斜向上,如图(b)所示。题图丙中球挤压墙壁且拉紧绳子,所以墙对球的弹力与墙面垂直;绳子对球的弹力沿绳子斜向上,如图(c)所示。题图丁中球受到的弹力与拐角和球面接触点的切面垂直,即沿着球半径的方向指向球心,如图(d)所示。答案:见解析图学习任务三胡克定律探锚——情境创设启发设问我国东汉时期的学者郑玄,在为《周礼》中的《考工记》做注解时,写道“假令弓力胜三石,引之中三尺,弛其弦,以绳缓擐之,每加物一石,则张一尺”。为了验证郑玄对《考工记》注解的真实性,请同学们用如图所示装置开展探究,图甲表示弹簧处于原长状态,图乙表示弹簧处于拉伸状态,图丙表示弹簧处于压缩状态。(1)弹簧的弹力与弹簧的长度是正比例关系吗?提示:不是,弹簧的弹力与弹簧的形变量是正比例关系。(2)图甲中弹簧的原长为l0,图乙在拉力F的作用下弹簧的长度为l1,图丙在压力F'的作用下弹簧的长度为l2,则F和F'分别等于多少?提示:图乙中的弹簧伸长量为l1-l0,图丙中的弹簧缩短量为l0-l2,所以F=k(l1-l0),F'=k(l0-l2)。解锚——要点归纳规律概括1.应用胡克定律的四个关键(1)弹簧发生形变时必须在弹性限度内。(2)x是弹簧的形变量,不是弹簧的原长,也不是弹簧形变后的长度。(3)F-x图像为一条经过原点的倾斜直线,图像斜率表示弹簧的劲度系数。同一根弹簧,劲度系数不变。(4)一个推论:ΔF=kΔx。推导:F1=kx1,F2=kx2,故ΔF=F2-F1=kx2-kx1=kΔx。因此,弹簧弹力的变化量ΔF与形变量的变化量Δx成正比关系。2.计算弹力大小的两种方法(1)公式法:利用公式F=kx计算,适用于弹簧、橡皮筋等物体的弹力的计算。(2)二力平衡法:若物体在两个力作用下处于静止状态,物体所受弹力与物体所受的其他力应为平衡力,可以利用二力平衡确定弹力的大小。起锚——典题突破学以致用【典例4】(一题多解)由实验测得某弹簧所受弹力F和弹簧的长度l的关系图像如图所示,求:(1)该弹簧的原长;(2)该弹簧的劲度系数。[思维导引]程序内容提取信息①当l=15cm时,F=0;②当l=25cm时,F=50N转化情境选择规律①当弹力为零时,弹簧处于原长;②利用胡克定律求弹簧的劲度系数k=F【解析】解法一:(1)当弹簧的弹力F=0时,弹簧的长度等于原长,由题图可知该弹簧的原长为l0=15×10-2m=0.15m。(2)根据F=kx得劲度系数k=Fx由题图可知,该弹簧伸长量x=25cm-15cm=10×10-2m时,弹力F=50N,所以k=Fx=50N解法二:根据胡克定律得F=k(l-l0),代入题图中的两点(0.25m,50N)和(0.05m,-50N),可得50N=k(0.25m-l0)-50N=k(0.05m-l0)解得l0=0.15m,k=500N/m。答案:(1)0.15m(2)500N/m对点训练(2024·南京高一检测)一轻质弹簧原长为8cm,在4N的拉力作用下伸长了2cm,弹簧未超出弹性限度,则该弹簧的劲度系数为 ()A.2.5cm/NB.40N/mC.0.5cm/N D.200N/m【解析】选D。弹簧伸长量x=2cm=0.02m,根据胡克定律可得k=Fx=4【补偿训练】拉力器是一种很好的健身器材,由脚环、两根相同的弹性绳、把手等组成。如图所示,女子拉开拉力器使其比原长伸长了40cm,此时拉力大小为120N。假设弹性绳的弹力与伸长量遵循胡克定律,且未超过弹性限度。则 ()A.人对拉力器的拉力是由弹性绳形变产生的B.若对拉力器的拉力增大,则弹性绳的劲度系数也增大C.每根弹性绳的劲度系数为150N/mD.若对拉力器的拉力减为60N,则弹性绳长度变为20cm【解析】选C。人对拉力器的拉力是由人自身形变产生的,A错误;弹性绳的劲度系数是弹性绳的固有属性,当拉力器的拉力增大时,其劲度系数不变,B错误;根据胡克定律得F=2kx,代入数据解得每根弹性绳的劲度系数为k=150N/m,C正确;根据胡克定律可得,若对拉力器的拉力减为60N,有F'=2kx'=60N,代入数据解得x'=20cm,故弹性绳的形变量为20cm,D错误。随堂检测·自我诊断1.(重力、重心的理解)中国结是一种中国特有的手工编织工艺品,它身上所显示的精致与智慧正是中华古老文明中的一个侧面。如图所示,一质量为m的中国结悬挂于O点且处于静止状态,重力加速度为g,下列说法正确的是 ()A.OA一定竖直B.中国结的重心一定在它的几何中心C.中国结的重心可能不在通过O