安徽省马鞍山市当涂第一中学2024-2025学年高一上学期期末质量检测数学试题 （解析版）

第页，共页第19页，共19页当涂一中2024-2025学年高一上学期期末质量检测数学试卷时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解指数不等式化简集合，再根据交集的定义计算可得.【详解】因为，又，即，解得，所以，所以.故选：C2.已知a、b、c、d均为实数，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，，则C.若，则D.若且，则【答案】D【解析】【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可．【详解】选项A，当，时，满足，但，A选项错误；选项B，取，，，，满足且，但，B选项错误；选项C，当时，有，，，则，有，C选项错误；选项D，且，则，，则，得，D选项正确．故选：D．3.下列函数中，不能用二分法求零点的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解.【详解】对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；对于B，，可得：，但恒成立，即在每个零点左右两侧函数值同号故，不可用二分法求零点；对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点；对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.故选：B4.“幂函数在0,+∞单调递减”是“”的（）A.既不充分也不必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.充要条件【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的定义求出m的值，再根据充分、必要条件的定义判断即可．【详解】若为幂函数，则，解得或，因当时，在0,+∞上单调递减；当时，在0,+∞上单调递增，故由“幂函数在0,+∞单调递减”当且仅当“”成立，即“幂函数在0,+∞单调递减”是“”的既不充分也不必要条件.故选：A.5.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却．1min后物体的温度是，那么该物体的温度降至还需要冷却的时间约为（参考数据：）（）A.2.9min B.3.4minC.3.9min D.4.4min【答案】D【解析】【分析】根据给定的函数模型，列式并借助对数运算求解即得.【详解】依题意，由的物体，放在的空气中冷却，后物体的温度是，得，解得，该物体的温度降至需要冷却的时间为，则，于是，两边取对数得，所以该物体的温度降至还需要冷却的时间约为.故选：D6.若，，则的值是（）A.3 B. C. D.4【答案】D【解析】【分析】先根据指数对数转化得出，再根据对数运算律计算求值.【详解】由，可得，因为，则.故选：D.7.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系以及诱导公式即可求解.【详解】因为，，故，令，则为锐角，因，所以，且，所以.故选：C.8.定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点，如是上的平均值函数，0就是它的均值点，现有函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数是区间上的平均值函数，故有在内有实数根，进而可得方程在上有根，即可求出t的取值范围．【详解】∵函数是区间上的平均值函数，故有即在内有实数根，则有根，所以x＝1或.又∴方程在上有根，因为，而当时，，于是.故选：A．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知取整函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，.已知函数，则（）A. B.若，则C.， D.函数的最小值为2【答案】ABD【解析】【分析】根据取整函数的定义，计算可判断A、B；利用基本不等式可以判断C、D.【详解】因为，所以，故A正确；若，则，得，故B正确，因为，当且仅当时，等号成立；所以，对于成立，故C错误；，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：ABD.10.函数的图象，如图所示，则（）A.的最小正周期为B.函数奇函数C.的图象关于点对称D.若在上有且仅有三个零点，则【答案】BCD【解析】【分析】化简函数解析式，由图象观察可得时，函数fx取最大值，由此可求，结合周期公式求周期，判断A，求函数的解析式并化简，结合正弦函数性质判断B，化简函数的解析式，结合正弦函数性质求其对称中心，判断C，求的范围，结合条件列不等式求的范围，判断D.【详解】依题意，，观察图象可得时，函数fx取最大值，又0<ω<1，所以，，解得，，而，解得，，的最小正周期为，A错误；是奇函数，B正确；，，令，，可得，，因此的对称中心为，当时，函数的对称中心为，故C正确；，，当时，，依题意，，解得，D正确．故选：BCD．11.已如定义在上的函数满足，是偶函数，且对任意的，，当时，都有，则以下判断正确的是（）A.若，则 B.函数的最小正周期是4C.函数在上单调递增 D.直线是图象的对称轴【答案】ACD【解析】【分析】由题设可得，函数关于对称，且、在上单调递减，再进一步判断函数的奇偶性、周期性、区间单调性和对称性，进而判断各选项即可.【详解】由，得，所以函数为奇函数，由是偶函数，得函数关于对称，则直线是图象的对称轴，故D正确；且，则，所以，则，所以函数的周期为8，故B错误；对于A，由，若，则，故A正确；对任意的，，当时，都有，即，所以在上递减，结合奇函数知，函数在上递减，即函数上函数递减，由于函数关于对称，所以函数在上单调递增，故C正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题设得到，函数关于对称，且、在上单调递减，进而判断各选项即可.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.______．【答案】【解析】【分析】结合对数、指数运算法则及特殊角的三角函数值计算即可得.【详解】由题意知．故答案为：.13.已知函数且在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】利用复合函数的单调性可知，外层函数是增函数，结合对任意的，恒成立，根据这两个条件可得出关于实数的不等式组，解之即可.【详解】因为且，则内层函数在上为减函数，由于函数且在区间上单调递减，则外层函数是增函数，则，且对任意的，恒成立，即，解得，综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.14.已知函数，，以的值为边长可构成一个三角形，则整数k的所有可能取值的和为______.【答案】15【解析】【分析】，恒成立，变形得到，分，和，结合函数单调性得到函数值域，根据得到不等式，得到，求出答案.【详解】根据题意可知，，恒成立，，，当时，，此时，满足，当时，因为在上单调递减，在上单调递增，当时，，故，故，，恒成立，故，解得，故，当时，同上，可得，，恒成立，故，解得，故，综上，，满足要求的整数为，和为.故答案为：15四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知关于的方程有实根，集合.（1）求的取值集合；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分，两种情况讨论，结合判别式求解；（2）若，则，分，两种情况讨论，列出不等式求解即可.【小问1详解】方程有实根，若，该方程无解；若，则，解得或，综上，.【小问2详解】若，则，当时，，符合题意；当时，，∵，∴或，∴，综上，.16.已知定义在上的函数.（1）判断函数的单调性，并用定义证明；（2）解不等式.【答案】（1）增函数，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义，即可作出判断与证明；（2）利用函数为奇函数，把不等式转化为，再利用的单调性，得出不等式组，即可求解.【小问1详解】函数在上是增函数，证明如下：设，则，，，且，则，则，即，所以函数在上是增函数.【小问2详解】，，故是奇函数，，，是定义在上的增函数，，解得，所以不等式的解集为.17.有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据，如下表所示：607080901008.81113.616.620为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度关系，现有以下两种函数模型供选择：①；②.（1）请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式.（2）现有一辆同型号电动汽车从A地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间）.（i）求出行驶过程中，耗电量的函数解析式，并说明其单调性（不需证明）.（ii）若不充电，该电动汽车能否到达B地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从A地到达B地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值.【答案】（1）选择函数模型①，（2）不能，理由见解析，.【解析】【分析】（1）根据与的数据关系，选择函数关系式，再代入数据，即可求解；（2）（ⅰ）根据（1）的结果，求耗电量的函数解析式；（ⅱ）根据的单调性求整个路程耗电量的最小值，即可判断是否需要充电，根据公式初始电量+充电电量-消耗电量保障电量，列式求解.【小问1详解】与的函数关系，在定义域内单调递增，由增长速度可知，选择函数模型①由题意，有解得所以.【小问2详解】（i）由题意，，所以函数在上单调递增.（ii）因为，即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车要在服务区充电，否则不能到达B地.设行驶时间与充电时间分别为（单位：），总和为.若能到达地，则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量，即，则，所以总时间当且仅当，即时，等号成立，所以电动该汽车从A地到达B地的最少用时为.18已知.（1）求的单调递增区间；（2）若对任意的恒成立，求a的取值范围；（3）已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，，…，，求的值.【答案】（1），.（2）（3）92【解析】【分析】（1）结合二倍角公式和辅助角公式将函数化简为，再根据正弦函数的单调性，得解；（2）分离参数，结合二倍角公式和齐次式运算求对勾函数最值即可求解根；（3）令，原问题可转化为函数与函数的交点个数，由交点个数确定的值，再结合函数对称性即可求解．【小问1详解】.令，，则，，故的单调递增区间为，.【小问2详解】，即对任意的恒成立，则对任意的恒成立，令，因为，则，由对勾函数的性质知在上单调递减，又，所以，则的最大值为，故.【小问3详解】令，，，令，又，函数在上的图象如下图所示，由图可知，的图象与直线共有6个交点，即，，.【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数图像及应用，关键是利用整体思想结合对称性求解第三问.19.设定义在上的函数和定义在上的函数，对任意的，存在，使得（为非零常数）恒成立，则称与为异自变量定值函数组合，其中叫作这两个函数的恒定比数值．（1）若函数，，，，判断与是否是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合，并说明理由；（2）若函数，，，，与是恒定比数值为4的异自变量定值函数组合，求的取值范围；（3）若函数，，，，且与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，求的取值范围．【答案】（1）与是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合，理由见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）分别求出与在给定的自变量的范围内的值域，再利用异自变量定值函数组合的定义进行判断；（2）判断出的单调性，求出在上的值域，结合异自变量定值函数组合的定义，得出的取值范围，根据正弦型函数的性质求出的取值范围即可；（3）分别求出，的值域，再根据与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，根据，需要进行分类讨论．【小问1详解】与是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合，理由如下：是增函数，所以函数在上单调递增，，则的取值范围是，，x∈R，则的取值范围为，若与是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合，则对任意的，存在，使得，根据与的取值范围分别是，，因此，对于的取值范围内的所有的值，都可以找到一个的值，使其满足，故与是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合；【小问2详解】都是增函数，所以在上为增函数，，因此的取值范围是，若与是恒定比数值