2024-2025学年高二数学湘教版选择性必修第二册教学课件 第1章-1.3　导数在研究函数中的应用（第4课时 导数的应用举例）_第1页
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1.3导数在研究函数中的应用第1章第4课时导数的应用举例1.通过实例，初步学会运用导数知识解决生活中的优化问题（如求利润最大、用料最省、效率最高问题等）.2.学会利用导数解决生活中简单的实际问题，并体会导数在解决实际问题中的作用.3.提高将实际问题转化为数学问题的能力.核心素养：数学建模、数学运算、数学抽象学习目标新知学习优化问题1.优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、生产效率最高等问题，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些问题通常称为优化问题.优化问题有时也可以称为最值问题，解决与函数最值有关的实际问题需要一定的分析问题、解决问题的能力，能够将实际问题转化为数学模型.数学模型中最主要的是函数模型，即将实际问题中要求的未知量列成其中一个变量的函数，再通过研究相应函数的性质，或利用基本不等式、线性规划等方法提出优化方案，使问题得以解决.在这一过程中，导数往往是一个有力的工具.2.解实际应用题的思路首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型；其次，利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论；最后把数学结论返回到实际问题中.其思路如下：3.用导数解决优化问题的基本思路用导数解决优化问题主要指函数类型中求最值的问题，其思路如下：

典例剖析

一面积、体积的最值问题

（1）立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题.（2）解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，若已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.名师点析已知某化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中），容器的轴截面如图所示，上面部分是半圆形，下面部分是矩形，其外周长为12cm.则当圆柱的底面半径＝

时，该容器的容积最大，最大值为

.跟踪训练

二用料最省、成本（费用）最低问题

1.圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径之比为（）A.2∶1 B.1∶2 C.1∶4 D.4∶1

跟踪训练A2.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为10km/h时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为

km/h.

20三利润最大、效率最高问题

0（0，2）2（2，12）12（12，21）21

-0+0-

↘极小值↗极大值↘

（1）经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减得快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.（2）关于利润问题常用的两个等量关系①利润＝收入-

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