2023年人教版高中数学选修一必考考点训练

(名师选题)2023年人教版高中数学选修一必考考点训练

单选题1、已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（

）A．1B．2C．D．答案：C分析：由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接，则，而，所以当最小时，四边形的面积最小，再抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则．又，所以当四边形的面积最小时，最小．过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，当点与坐标原点重合时，最小，此时．故．故选：C2、直线恒过定点（

）A．B．C．D．答案：B分析：由时，可得到定点坐标.当，即时，，直线恒过定点.故选：B.3、如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（

）A．B．C．D．答案：B分析：利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.依题意，直线都过点，如图，有，，设，则，显然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，所以E的离心率为.故选：B小提示：方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.4、平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（

）A．平行B．重合C．平行或重合D．垂直答案：C分析：由题设知，根据空间向量共线定理，即可判断平面与平面的位置关系.平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，

，平面与平面的关系是平行或重合．故选：C．5、抛物线的焦点到直线的距离为，则（

）A．1B．2C．D．4答案：B分析：首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去).故选：B.6、已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（

）A．B．C．D．答案：A分析：设左焦点为，为椭圆右焦点，利用椭圆定义转化，然后利用平面几何的性质得最大值．解：椭圆，所以为椭圆右焦点，设左焦点为，则由椭圆定义，于是.当不在直线与椭圆交点上时，､､三点构成三角形，于是，而当在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有，在第三象限交点时有.显然当在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为.故选：A.7、已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（

）A．B．C．D．答案：D分析：运用椭圆的定义进行求解即可.由.因为，是椭圆的上的点，、是椭圆的焦点，所以，因此的周长为，故选：D8、已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是（

）A．(－∞，－1)B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D．答案：A分析：把圆的方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0化为标准型，利用，解出k的取值范围.方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆．故选：A.9、已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（

）A．B．C．5D．6答案：B分析：根据圆的性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可.解：设圆的圆心为，则，设，则，所以，当且仅当时取得最大值，所以．故选：B．10、“”是“直线与直线相互垂直”的（

）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A分析：直线与直线相互垂直得到，再利用充分必要条件的定义判断得解.因为直线与直线相互垂直，所以，所以.所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件；当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件.所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件.故选：A小提示：方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.

要根据已知条件灵活选择方法求解.11、已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（

）A．B．C．D．答案：D分析：由图形可得，根据比例关系可得，，再根据向量减法，代入整理并代换为基底向量．即故选：D．12、已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程（

）A．x2－＝1(x≤－1)B．x2－＝1C．x2－＝1(x1)D．－x2＝1答案：A分析：根据双曲线定义求解,则根据双曲线定义知的轨迹为的左半支故选：A双空题13、已知是双曲线的右焦点，是双曲线左支上的一点，且点的坐标为，则的周长最小为_________，此时其面积为___________．答案：

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分析：作出图形，由双曲线的定义可得，再由、、三点共线可求得周长的最小值；求得直线的方程，将该直线的方程与双曲线的方程，求得点的坐标，由此可求得的面积.设双曲线的左焦点为，由双曲线方程可知，，故、.当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以，从而的周长为．因为为定值，所以当最小时，的周长最小．由图可知，此时点为线段与双曲线的交点，则的周长为．由题意可知直线的方程为．由消去，得，解得或（舍去），所以．所以答案是：；.14、如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯．①在杯口放一个表面积为的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为______

cm；②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为______(单位：cm)．答案：

分析：根据题意，，进而得，，故最小距离为；进而建立坐标系，得抛物线的方程为，当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，此时设玻璃球轴截面所在圆的方程为，进而只需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，再根据几何关系求解即可.因为杯口放一个表面积为的玻璃球，所以球的半径为，又因为杯口宽cm，所以如图1所示，有，所以，所以，所以，又因为杯深8cm，即故最小距离为如图1所示，建立直角坐标系，易知，设抛物线的方程为，所以将代入得，故抛物线方程为，当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2，

设玻璃球轴截面所在圆的方程为，依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即，则有恒成立，解得，可得.所以玻璃球的半径的取值范围为.所以答案是：；小提示：本题考查抛物线的应用，考查数学建模能力，运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于设出球触及酒杯底部的轴截面圆的方程，进而将问题转化为抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立求解.15、已知F为椭圆的左焦点，直线与椭圆C交于A，B两点，M为椭圆上的任一点，则______；若轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，的余弦值为______．答案：

##

0分析：设出，，，表达出，结合点M，A在椭圆上，满足椭圆方程，化简后求出；表达出，结合，化简得到，求出，得到余弦值.设，，则，，因为点M，A在椭圆上，，，两式相减得，，故．由题意得，，因为，，而，因为为椭圆上一点，所以，则，得，故，则，，故余弦值为0．所以答案是：，016、已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．答案：

2分析：方法一：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，解得椭圆M的离心率.［方法一］：【最优解】数形结合＋定义法由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M的离心率为双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为，

所以答案是：；．［方法二］：

数形结合＋齐次式求离心率设双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限的交点为，椭圆的右焦点为．由题可知，为正六边形相邻的两个顶点，所以（O为坐标原点）．所以．因此双曲线的离心率．由与联立解得．因为是正三角形，所以，因此，可得．将代入上式，化简、整理得，即，解得，（舍去）．所以，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为2．所以答案是：；．［方法三］：数形结合＋椭圆定义＋解焦点三角形

由条件知双曲线N在第一、三象限的渐近线方程为，于是双曲线N的离心率为．设双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限的交点为A，椭圆的左、右焦点分别为．在中，．由正弦定理得．于是．即椭圆的离心率．所以答案是：；．【整体点评】方法一：直接根据椭圆的定义以及正六边形性质求解，是该题的最优解；方法二：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，根据平面几何条件创建齐次式求出椭圆的离心率，运算较为复杂；方法三：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，再根据通过解焦点三角形求椭圆离心率．17、已知点.

若从点射出的光线经直线反射后过点，则反射光线所在直线的方程为_____________；若从点射出的光线经直线反射，再经直线反射后回到点，则光线所经过的路程是__________（结果用表示）.答案：

解析：首先求出点关于直线的对称点，由结合点斜式即可求解；求出点关于轴对称点，关于直线对称点，

即为光线经过的路程.设点关于直线的对称点为，直线：，所以解得，，故，由：，即.

点关于轴对称点，设关于直线对称点，

由解得，，故.故

所以答案是：；小提示：本题主要考查点斜式方程、中点坐标公式、两点间的距离公式，考查了学生的基本知识，属于基础题.解答题18、如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：（1）MN∥平面CC1D1D；（2）平面MNP∥平面CC1D1D．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.分析：（1）建立空间直角坐标系，设出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用直线的方向向量和平面的法向量的数量积为0进行证明；（2）证明两个平面有相同的一个法向量即可..（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D，所以＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量.由于＝(0，1，－1)，则＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以⊥.又MN⊄平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.（2）证明：因为＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量，由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)，则，即＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量，所以平面MNP∥平面CC1D1D.19、已知直线和直线.(1)当m为何值时，直线和平行？(2)当m为何值时，直线和重合？答案：(1)或(2)分析：（1）（2）由直线平行与重合的公式列方程组求解.（1）由题意，，得，解得或当或时，直线和平行.（2）由题意，，得，解得，当时，直线和重合.20、在平面直角坐标系中，已知四点，，，.（1）这四点是否在同一个圆上?如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由；（2）求出到点，，，的距离之和最小的点的坐标.答案：（1）四点，，，都在圆上；（2）.分析：