浙江专用2024-2025学年高中数学提升综合素养一解三角形新人教A版必修5

PAGE1-提升综合素养（一）解三角形1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于()A．12 B.eq\f(21,2)C．28 D．6eq\r(3)解析：选D由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(32＋82－72,2×3×8)＝eq\f(1,2)，所以sinA＝eq\f(\r(3),2)，则S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×3×8×eq\f(\r(3),2)＝6eq\r(3).2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则eq\f(2sin2B－sin2A,sin2A)的值为()A.eq\f(1,9)B.eq\f(1,3)C．1 D.eq\f(7,2)解析：选D由正弦定理可得eq\f(2sin2B－sin2A,sin2A)＝eq\f(2b2－a2,a2)＝eq\f(2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)a))2－a2,a2)＝eq\f(7,2).3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cosθ等于()A.eq\f(3,5) B．－eq\f(3,5)C．±eq\f(3,5) D．±eq\f(4,5)解析：选C∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BCsin∠ABC＝eq\f(1,2)×2×5×sinθ＝4.∴sinθ＝eq\f(4,5).又θ∈(0，π)，∴cosθ＝±eq\r(1－sin2θ)＝±eq\f(3,5).4．某人从动身点A向正东走xm后到B，向左转150°再向前走3m到C，测得△ABC的面积为eq\f(3\r(3),4)m2，则此人这时离开动身点的距离为()A．3mB.eq\r(2)mC．2eq\r(3)m D.eq\r(3)m解析：选D在△ABC中，S＝eq\f(1,2)AB×BCsinB，∴eq\f(3\r(3),4)＝eq\f(1,2)×x×3×sin30°，∴x＝eq\r(3).由余弦定理，得AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB×BC×cosB)＝eq\r(3＋9－9)＝eq\r(3)(m)．5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝eq\f(\r(3),2)，则边BC的边长为()A.eq\r(3) B．3C.eq\r(7) D．7解析：选A∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·ACsinA＝eq\f(\r(3),2)，∴AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3，即BC＝eq\r(3).6．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝80，b＝100，A＝30°，则此三角形()A．肯定是锐角三角形B．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形C．肯定是钝角三角形D．肯定是直角三角形解析：选C由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得eq\f(80,sinA)＝eq\f(100,sinB)，所以sinB＝eq\f(5,8).因为a<b，所以B有两种可能：锐角或钝角．若B为锐角时，cosC＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝eq\f(1,2)×eq\f(5,8)－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(39),8)<0，所以C为钝角，即△ABC为钝角三角形；若B为钝角时，则△ABC是钝角三角形，所以此三角形肯定为钝角三角形．故选C.7．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于eq\f(\r(3),2)，则三边长为________．解析：由题意知a边最大，sinA＝eq\f(\r(3),2)，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bccosA.∴a2＝(a－2)2＋(a－4)2＋(a－2)(a－4)．∴a2－9a＋14＝0，解得a＝2(舍去)或a∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.答案：a＝7，b＝5，c＝38．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC解析：因为C＝2B，所以sinC＝sin2B＝2sinB·cosB，所以cosB＝eq\f(sinC,2sinB)＝eq\f(c,2b)＝eq\f(1,2)×eq\f(8,5)＝eq\f(4,5)，所以cosC＝2cos2B－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2－1＝eq\f(7,25).答案：eq\f(7,25)9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2eq\r(3)，C＝45°，1＋eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(2c,b)，则A＝________，c＝________.解析：由1＋eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(2c,b)，得1＋eq\f(sinAcosB,cosAsinB)＝eq\f(sinAcosB＋cosAsinB,cosAsinB)＝eq\f(sinA＋B,cosAsinB)＝eq\f(sinC,cosAsinB)＝eq\f(c,bcosA)＝eq\f(2c,b)，所以cosA＝eq\f(1,2)，故A＝60°.由正弦定理得eq\f(2\r(3),sin60°)＝eq\f(c,sin45°)，所以c＝2eq\r(2).答案：60°2eq\r(2)10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝eq\f(2,3)，sinB＝eq\r(5)cosC.(1)求tanC的值；(2)若a＝eq\r(2)，求△ABC的面积．解：(1)因为0<A<π，cosA＝eq\f(2,3)，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(5),3)，又eq\r(5)cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(\r(5),3)cosC＋eq\f(2,3)sinC，所以eq\f(2\r(5),3)cosC＝eq\f(2,3)sinC，tanC＝eq\r(5).(2)由tanC＝eq\r(5)得sinC＝eq\f(\r(5),\r(6))，cosC＝eq\f(1,\r(6))，于是sinB＝eq\r(5)cosC＝eq\f(\r(5),\r(6)).由a＝eq\r(2)及正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)得c＝eq\r(3)，所以△ABC的面积S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(3)×eq\f(\r(5),\r(6))＝eq\f(\r(5),2).11．(2024·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a＝3c，b＝eq\r(2)，cosB＝eq\f(2,3)，求c的值；(2)若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,2b)，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,2)))的值．解：(1)因为a＝3c，b＝eq\r(2)，cosB＝eq\f(2,3)，由余弦定理，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，即eq\f(2,3)＝eq\f(3c2＋c2－\r(2)2,2×3c×c)，解得c2＝eq\f(1,3)，所以c＝eq\f(\r(3),3).(2)因为eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,2b)，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(cosB,2b)＝eq\f(sinB,b)，所以cosB＝2sinB.从而cos2B＝(2sinB)2，即cos2B＝4(1－cos2B)，故cos2B＝eq\f(4,5).因为sinB>0，所以cosB＝2sinB>0，所以cosB＝eq\f(2\r(5),5).所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,2)))＝cosB＝eq\f(2\r(5),5).12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为eq\f(a2,3sinA).(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．解：(1)由题设得eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(a2,3sinA)，即eq\f(1,2)csinB＝eq\f(a,3sinA).由正弦定理得eq\f(1,2)sinCsinB＝eq\f(sinA,3sinA).故sinBsinC＝eq\f(2,3).(2)由题设及(