广东省建文教育集团两学部2024-2025学年高三上学期1月第一次模拟考试数学试题（解析版）

第1页/共1页广东省建文教育集团两学部1月第一次模拟注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为，集合，，（）A. B. C.1,2 D.【答案】A【解析】【分析】求出中不等式的解集确定出，根据全集，求出的补集，找出与补集的交集即可．【详解】解：由中的不等式变形得：，得到，，，全集，，则．故选：A．2.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，给出了下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则，④若，，且，，则，（）A.②④ B.①②④ C.①④ D.①③【答案】C【解析】【分析】在①中，由面面垂直的判定定理得；在②中，或；在③中，与相交、平行或；在④中，由线面平行的判定定理得，．【详解】解：由，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，知：①若，，则由面面垂直的判定定理得，故①正确；②若，，则或，故②错误；③若，，则与相交、平行或，故③错误；④若，，且，，则由线面平行的判定定理得，，故④正确．故选：．3.统计甲、乙两支足球队在一年内比赛的结果如下：甲队平均每场比赛丢失个球，全年比赛丢失球的个数的标准差为；乙队平均每场比赛丢失个球，全年比赛丢失球的个数的方差为.据此分析：①甲队防守技术较乙队好；②甲队技术发挥不稳定；③乙队几乎场场失球；④乙队防守技术的发挥比较稳定．其中正确判断的个数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平均数、标准差以及方差的意义，可得答案.详解】甲队平均每场比赛丢失个球，乙队平均每场比赛丢失个球，,所以甲队技术比乙队好，故正确；甲队全年比赛丢失球的个数的标准差为，所以甲队全年比赛丢失球的个数的方差差为，乙队全年比赛丢失球的个数的方差为，因为,所以乙队发挥比甲稳定，故正确，因为乙队平均每场比赛丢失个球，大于1，故乙队几乎场场失球，故正确.故选：D.4.已知直线过点且倾斜角为，若与圆相切，则A. B. C.45 D.【答案】B【解析】【分析】先根据直线与圆相切得，再根据诱导公式以及弦化切求结果.详解】设直线,因为与圆相切，所以，因此选B.【点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.5.设正实数满足，则下列说法错误的是（）A.的最小值为4 B.的最大值为C.的最大值为2 D.的最小值为【答案】C【解析】【分析】根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项.【详解】对于A，，当且仅当时取等号，故A正确；对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确；对于C，，则，当且仅当，即时，故C错误；对于D，，当且仅当时取等号，故D正确.故选：C.6.如图，已知，，，，则（）A. B. C.或 D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理得，从而求出，再由余弦定理得，由此能求出BD．【详解】，，，所以.，，，，解得或（舍）故选：D7.如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由双曲线的定义，可得，，由三角形面积公式，即可求出的面积．【详解】在双曲线中：，所以，根据双曲线的定义，可得，是等边三角形，即又，，的面积为．故选：C．8.在保证鞋带系紧的前提下，哪种系法使用的鞋带长度最短？（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据数学知识在生活中的应用，可得答案.【详解】在保证鞋带系紧的前提下，我们需要考虑的是每种系法中鞋带的交叉和打结方式，以及这些方式如何影响所需鞋带的总长度.A.小网丝系法：这种系法的特点是鞋带在鞋面上形成多个交叉点，每个交叉点都需要一定的鞋带长度来完成.此外，最后还需要打一个结来固定，这也会消耗额外的鞋带.B.蝴蝶结系法：这种系法在鞋面上形成了一个明显的蝴蝶结形状，这需要鞋带在鞋面上进行多次交叉和缠绕.虽然蝴蝶结看起来美观，但这种复杂的交叉方式会使得所需鞋带长度增加.C.爱心串系法：这种系法的特点是鞋带在鞋面上形成了一个心形图案，但交叉点相对较少，且心形图案的构造相对简单，不需要过多的鞋带进行缠绕.此外，这种系法在完成心形图案后，可以直接打结固定，不需要额外的鞋带长度.D.小蜜蜂系法：这种系法在鞋面上形成了一个类似蜜蜂翅膀的图案，需要鞋带进行多次交叉和缠绕.虽然这种系法也很美观，但与爱心串系法相比，它需要更多的鞋带来完成图案的构造.故选；C.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知复数，若，则（）A. B.z在复平面内对应的点在第四象限C. D.的虚部为3【答案】ACD【解析】【分析】根据复数运算法则化简，然后根据条件，解得，逐个判断选项即可；【详解】，因为，所以，解得，则，，A正确．z在复平面内对应的点为在第一象限，B错误．，C正确．，虚部为3，D正确．故选：ACD.10.已知定义域为的函数满足不恒为零，且，，.则下列结论正确的是（）A. B.的图象关于点对称C.是偶函数 D.在上有个零点【答案】AB【解析】【分析】根据函数的周期性、对称性、零点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】，所以是周期为的周期函数.，所以关于点对称，由令，得，则，令得，即，A选项正确.则f6由，得，以替换得，所以是奇函数，，C选项错误，所以关于对称，根据周期性可知的图象关于点对称，B选项正确.由于，所以，，由上述分析可知，在区间上，至少有如下个零点：，对于，可以构造如下的符合题意的函数对应的图象，此时在区间上有个零点：，所以D选项错误.故选：AB【点睛】研究函数的周期性，从表达式上看，形如等函数都是周期函数.研究函数的对称性，形如等都是函数的对称性，要注意的是，对应的是轴对称，对应的是中心对称.11.已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，，．下列说法正确的是（）A.3是函数的一个周期B.函数的图象关于直线对称C.函数是偶函数D【答案】ACD【解析】【分析】根据可得即可确定周期求解选项A；根据为奇函数，可得即可求解选项B；根据题设条件可得即可求解选项C；利用函数的周期性和函数值可求解选项D.【详解】对A，因为，所以，即，所以3是函数的一个周期，A正确；对B，因为为奇函数，所以，所以函数的图象关于点中心对称，B错误；对C，因为，所以，即，即，所以函数是偶函数，C正确；对D，，所以，所以，D正确；故选:ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为____________．（用数字作答）【答案】【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式计算即可.【详解】的展开式的通项，令，解得，故的展开式中的系数为.故答案：.13.若向量与满足，且，则在方向上的投影向量的模为______．【答案】5【解析】【分析】根据给定条件，求出，再利用投影向量及向量模的意义求解作答.【详解】因为，，则有，即，而在方向上的投影向量为，所以在方向上的投影向量的模为.故答案为：514.已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为______.【答案】【解析】【分析】先求出正四面体的外接球半径，再利用，结合外接球知识求出该八面体的外接球半径即可求解.【详解】如图：设为正四面体的外接球球心，为的中心,为的中心,为的中点，由正四面体可知平面，因为平面，所以，又因为棱长为8，所以，，设正四面体外接球球心为，则在，则为外接球半径，由得，解得，即,在正四面体中，易得，，所以，则该八面体的外接球半径,所以该球形容器表面积最小值为，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数（1）求的单调区间；（2）若在上存在一点，使得成立，求a的取值范围.【答案】（1）当时，函数在0,+∞上单调递增.当时，函数在上单调递增,在上单调递减.（2）实数a的取值范围是或.【解析】【分析】(1),则分和两种情况结合定义域讨论函数的定义域.

(2)若在上存在一点，使得成立，即在上有，由（1）中的单调性，得出的最小值，解不等式，得到参数的范围.【详解】(1)当即时，在0,+∞上，所以函数在0,+∞上单调递增.当即时，在上，在上所以函数在上单调递增,在上单调递减.（2）若在上存在一点，使得成立，即，.①由（1）可知，当时，函数在上单调递增，，即②时，函数在上单调递减，在上单调递增.当即时，函数在上单调递减，，即.因为，所以.当即时，函数在上单调递增，，即（舍）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递减.此时，则，所以即，所以无解.综上所以：实数a的取值范围是或.【点睛】本题考查含参数的单调性的讨论，考查不等式能成立问题，属于中档题.16.随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷.为调查某款订餐软件的商家的服务情况，统计了10次订餐“送达时间”，得到茎叶图如下：（时间：分钟）（1）请计算“送达时间”的平均数与方差：（2）根据茎叶图填写下表：送达时间35分组以内（包括35分钟）超过35分钟频数AB频率CD在答题卡上写出，，，的值；（3）在（2）的情况下，以频率代替概率.现有3个客户应用此软件订餐，求出在35分钟以内（包括35分钟）收到餐品的人数的分布列，并求出数学期望.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】(1)由题意结合茎叶图计算均值和方差即可；(2)由茎叶图确定A，B，C，D的值即可；(3)由题意结合二项分布的概率公式和期望公式求解分布列和期望即可.【详解】“送达时间”的平均数：分钟)，方差为：.由茎叶图得：，，，(3)由已知人数X的可能取值为：0，1，2，3，，，，X0123PX服从二项分布，．【点睛】本题主要考查茎叶图及其应用，二项分布的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知该四棱锥底面边长是，高是，（1）求侧棱与底面所成角；（2）求制造这个塔顶需要多少铁板？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）正四棱锥中，连结和BD交于，连接可得，就是侧棱与底面内的所成角．中利用三角函数的定义，结合题中数据算出，即得侧棱与底面所成角等于；（2）作于，连接中，算出，可得的面积由此即可得到正四棱锥的侧面积，从而得到制造这个塔顶需要铁板的面积．【小问1详解】依题意，四棱锥是正四棱锥，连接和BD交于，连接．，可得是侧棱在底面内的射影就是侧棱与底面内的所成角中，，，因此，，即侧棱与底面所成角等于；【小问2详解】作于，连接．在中，，，，则的面积四棱锥的侧面积是，即制造这个塔顶需要铁板．

18.已知数列为等差数列，且，．(1)求数列的通项公式；(2)令，求证：数列是等比数列．（3）令，求数列的前项和.【答案】(1)；(2)见解析；（3）【解析】【详解】试题分析：(1)∵数列为等差数列,设公差为,……1分由,得,,∴，……3分.……4分(2)∵,……5分∴，……6分∴数列是首项为9，公比为9的等比数列.……8分（3）∵，，∴…10分∴…………12分考点：等差数列的性质；等比数列的性质和定义；数列前n项和的求法．点评：裂项法是求前n项和常用的方法之一．常见的裂项有：，，，，，19.在①，②过，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题；已知椭圆：的右焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线交椭圆于，两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程.【答案】（1）