2024年扬州中考数学试卷及解析

2024年扬州市中考数学试题

一、选择题(本题有8小题，每小题3分，共24分)

1.-3的肯定值是【】

A.3B.-3C.-3D.y

2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【】

A.平行四边形B.等边三角形C.等腰梯形D.正方形

3.今年我市参与中考的人数大均有41300人,将41300用科学记数法表示为【】

A.413X1()2B.41.3X103C.4.13X104D.0.413X103

4.已知。0卜。。2的半径分别为3cm、5cm,且它们的圆心距为8cm,则。Oi与。02的位置关

系是【】

A.外切B.相交C.内切D.内含

5.如图是由几个相同的小立方决搭成的几何体的三视图，则这几个几何体的小立方块的个数是

主视图左视图俯视图

A.4个B.5个C.6个D.7个

6.将抛物线y=f+l先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系

式是【】

A.y=(X+2)2+2B.y=(x+2)2-2

C.y=(x—2)2+2D.y=(x—2)2—2

7.某校在开展“爱心捐助”的活动中，初三一班六名同学捐款的数额分别为：8,10,10,4,8,

10(单位：元)，这组数据的众数是【】

A.10B.9C.8.D.4

8.大于1的正整数m的三次辕可“分裂”成若干个连续奇数的和，如少=3+5,33=7+9+11,

43=13+15+17+19,…若：1?分裂后，其中有一个奇数是2024,则m的值是【】

A.43B.44C.45D.46

二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

9.扬州市某天的最高气温是6℃,最低气温是一2C,那么当天的日温差是.

10.一个锐角是38度，则它的余角是度.

11.已知2〃-3庐=5,则10—2〃+3〃的值是.

12.已知梯形的中位线长是4cm,下底长是5cm,则它的上底长是cm.

13.在平面直角坐标系中，点P(/〃，加一2)在第一象限内，则小的取值范围是.

14.如图，PA.是00的切线，切点分别为4、8两点，点。在。。上，假如/AC8=70。，

那么ZP的度数是.

。・

B

ADO

15.如图，将矩形A8CO沿CE折叠，点8恰好落在边AO的尸处.若初=亏，则tan/OC尸的

值是.

16.如图，线段A6的长为2,C为AB上一个动点，分别以AC、8c为斜边在的同侧作两个

等腰直角三角形△ACO和△3CE,那么长的最小值是.

17.已知一个圆锥的母线长为10cm,将侧面绽开后所得扇形的圆心角是144。，则这个圆锥的底面

圆的半径足cm.

18.如图，双曲线经过R3OMN斜边上的点A,与直角边MN相交于点B,已知。4=2AM

△048的面积为5,则％的值是.

三、解答题(本大题共有10小题，共96分)

19.(1)计算：也一(-1)2+(—2024)0；(2)因式分.解：加〃一9〃皿.

(I-]a?—1

20.先化简：1一二・至7五，再选取一个合适的。值代入计算.

21.扬州市中小学全面开展“体艺2+1”活动，某校依据学校实际，确定开设上篮球，B：乒

乓球，C：声乐，D：塑身操等四中活动项目，为了解学生最喜爱哪一种活动项目，随机抽取

了部分学生进行调查，并将调查结果绘制了两幅不完整的统计图.请回答卜.列问题：

八A^A

100.

图1图2

⑴这次被调杳的学生共有人.

⑵请你将统计图1补充完整.

⑶统计图2中。项目对应的扇形的圆心角是度.

(4)已知该校学生2400人，请依据调查结果估计该校最喜爱乒乓球的学生人数.

22.一个不透亮的布袋里装有4个大小，质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字I,-2,3,

4,小明先从布袋中随机摸出一个球(不放回去)，再从剩下的3个球中随机摸出其次个乒乓

球.

(1)共有种可能的结果.

(2)请用画树状图或列表的方法求两次摸出的乒乓球的数字之积为偶数的概率.

23.如图，在四边形A8CQ中，AB=BC,ZABC=ZCDA=90Q,BEYAD,垂足为£.

求证：BE=DE.

B

24.为了改善生态环境，防止水土流失，某村安排在荒坡上种480棵树，由于青年志愿者的支援,

每日比原安排多种孑，结果提前4天完成任务，原安排每天种多少棵树？

25.如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距8处20海里的C处有一渔船发生

故障，就马上指挥港口A史的救援艇前往。处营救.已知C处位于A处的北偏东45。的方向

上，港口A位于8的北偏西30。的方向上.求A、。之间的距离(结果精确到().1海里，参考

数据：也=1.41,小F.73).

个北

26.如图，48是。。的直径，。是。。上一点，4。垂直于过点C的切线，垂足为O.

⑴求证：AC平分ZMQ；

(2)若AC=2小，CD=2,求。。的直径.

27.已知抛物线y=ad+法+。经过A(—1,0)、8(3,0)、C(0,3)三点，直线/是抛物线的对称

轴.

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)设点。是直线/上的一个动点，当△以C的周长最小时，求点。的坐标；

(3)在直线/上是否存在点M,使为等腰一:角形？若存在，干脆写出全部符合条件的

点M的坐标；若不存在，请说明理由.

28.如图1,在平面直角坐标系中，矩形O4BC的顶点。在坐标原点，顶点4、C分别在x轴、y

轴的正半轴上，且04=2,OC=\,矩形对角线AC、08相交于£,过点£的直线与边OA、

8C分别相交于点G、H.

(1)①干脆写出点E的坐标：；②求证：AG=CH.

(2)如图2,以。为圆心，0C为半径的圆弧交04与。，若直线G”与弧C。所在的圆相切

于矩形内一点F，求直线G”的函数关系式.

(3)在(2.)的结论下，梯形人8〃G的内部有一点P,当。尸与〃G、GA、A3都相切时，求。P

参考答案

一、选择题（本题有8小题，每小题3分，共24分）

1.（2024•扬州）-3的肯定值是（）

A.3B.-3C.-3D._1

1

考点：肯定值。

分析：计算肯定值要依据肯定值的定义求解.第一步列出肯定值的表达式；其次步依据肯定值定

义去抻这个肯定值的符号.

解答：解:一3的肯定值是3.

故选：A.

点评：此题主要考查了肯定值的定义，规律总结：一个正数的肯定值是它本身；一个负数的肯定

值是它的相反数；0的肯定值是。.

2.（2024•扬州）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A.平行四边形B.等边三角形C.等腰梯形D.正方形

考点：中心对称图形；轴对称图形。

分析：依据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180°,假如旋转后的图形能够与原来的

图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；轴对称图形的定义:

假如一个图形沿•条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形,

这条直线叫做对称轴，分析四个选项可得答案.

解答：解：工、此图形旋转18"后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，但不是轴对称图

形，故.此选项错误；

8、此图形旋转180。后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故

此选项错误；

C、此图形旋转180。后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故

此选项错误；

。、此图形旋转180。后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选

项正确.

故选D.

点评：此题主要考查了轴对称图形与中心对称图形，驾驭好中心对称图形与轴对称图形的概

念.轴对称图形的关键是找寻对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要找寻

对称中心，旋转180度后两部分重合.

3.（2024•扬州）今年我市参与中考的人数大约有41300人，将41300用科学记数法表示为（）

A.413X102B.41.3X103C.4.13X104D.0.413X103

考点：科学记数法一表示较大的数。

分析：科学记数法的表示形式为aXl（T的形式，其中岸闷＜10,n为整数.确定n的值时，要看

把原数变成〃时，小数点移动了多少位，n的肯定值与小数点移动的位数相同.当原数肯

定值＞1时，n是正数；当原数的肯定值VI时，n是负数.

解答：解：41300=4.13X104,

故选：C.

点评：此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“Xion的形式，其中隆同<

10,n为整数，表示时关键要正确确定。的值以及n的值.

4.（2024•扬州）已知。。、。。2的半径分别为3cm、5cm,且它们的圆心距为8cm,则。Oi与。州

的位置关系是（）

A.外切B.相交C内切。.内含

考点：圆与圆的位置关系。

分析：由05、的半径分别为3cm、5cm，且它们的圆心距为8cm，依据两圆位置关系与圆

心距d,两圆泮径R,r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系.

解答：解：・・・。0|、OQ的半径分别为3cm、5cm,

.*.3+5=8（cm）,

•・•它们的圆心距为8cm,

・•・OOi与。。2的位置关系是外切.

故选A.

点评：此题考查了圆与圆的位置关系.留意驾驭两圆位置关系与圆心，距d,两圆半径R,r的数量

关系间的联系是解此题的关键.

5.（2024•扬州）如图是由几个相同的小立方块搭成的几何体的三视图，则这几个几何体的小立方

块的个数是（）

主视图左视图俯视图

A.4个B.5个C.6个D.7个

考点：由三视图推断几何体。

分析：依据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行三列，故可得出该几

何体的小正方体的个数.

解答：解：综合三视图可知，这个几何体的底层应当有3+1=4个小正方体，

其次层应当有1个小正方体，

因此搭成这个几何体所月小正方体的个数是4+1=5个.

故选从

点评：此题主要考查了学生对三视图驾驭程度和敏捷运用实力，同时也体现了对空间想象实力方

面的考查.假如驾驭口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更简洁得到答

案.

6.（2024•扬州）将抛物线y=f+l先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线

的函数关系式是（）

A.），=々+2）2+2B.），=（犬+2）2—2C.y=（x—2）2+2D.y=（x~2）2~2

考点：二次函数图象与几何变换。

分析：干脆依据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

解答：解：将抛物线产『+1先向左平移2个单位所得抛物线的函数关系式是：>=（叶2/+1；

将抛物线产（x+2）2+l先向下平移3个单位所得抛物线的函数关系式是：），=G+2）2+I

—3,即y=（x+2）2—2.

故选B.

点评：本题考杳的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.

7.（2024•扬州）某校在开展“爱心捐助”的活动中，初三一班六名同学捐款的数额分别为：8,10,

10,4,8,10（单位：元），这组数据的众数是（）

A.10B.9C.8D.4

考点：众数。

专题：常规题型。

分析：众数指一组数据中出现次数最多的数据，结合题意即可得出答案.

解答：解：由题意得，所给数据中，出现次数最多的为：10,

即这组数据的众数为10.

故选A.

点评：此题考查了众数的学问，驾驭众数是指一组数据中出现次数最多的数据是解答本题的关

键.

8.（2024•扬州）大于1的正整数m的三次基可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23=3+5,33=7

4-9+11,43=13+15+17+19,…若m3分裂后，其中有一个奇数是2024,则m的值是（）

A.43B.44C.45D.46

考点：规律型：数字的改变类。

专题：规律型。

分析：视察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加

上1,奇数的个数等于底数，然后找出2024所在的奇数的范围，即可得解.

解答：解：V23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19，

Am3分裂后的第一个数是m（m-1）+I,共有m个奇数，

V45X（45-1）+1=198L46X（46-1）+1=2071,

・••第2024个奇数是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，

.,.m=45.

故选C.

点评：本题是对数字改变规律的考查，找出分裂后的第一个奇数与底数的改变规律是解题的关

键.

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

9.（2024•扬州）扬州市某天的最高气温是6℃,最低气温是一2℃,那么当天的日温差是82.

考点：有理数的减法。

专题：计算题。

分析：用最高温度减去最低温度，然后依据有理数的减法运算法则，减去•个是等于加上这个数

的相反数计算.

解答：解：6—（―2）=6+2=8℃.

故答案为：8℃.

点评：本题考查了有理数的减法运算，熟记“减去一个是等于加上这个数的相反数”是解题的关键.

10.（2024•扬州）一个锐角是38度，则它的余角是52度.

考点：余角和补角。

专题：计算题。

分析：依据互为余角的两角之和为90。，可得出它的余角的度数.

解答：解：这个角的余角为：90°-38°=52°.

故答案为：52.

点评：此题考查了余知的学问，驾驭互为余角的两角之和为90。是解答本题的关键.

11.（2024•扬州）已知2a—3反=5,则IO-2a+3〃的值是5.

考点：代数式求值。

专题：计算题。

分析：先将10—2〃+3〃进行变形，然后将加一3〃=5整体代入即可得出答案.

解答：解：10-2aI3廿=10—（2«—3从），

又・・・2。-3/=5,

・・・10—2〃+3/=10—（2。-3/）=10-5=5.

故答案为：5.

点评：此题考查了代数式求值的学问，属于基础题，解答本题的关键是驾驭整体思想的运用.

12.（2024•扬州）已知梯形的中位线长是4cm,下底长是5cm,则它的上底长是一3cm.

考点：梯形中位线定理。

分析：依据“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”可知一底边长和中位线长求另一底边长.

解答：解：设梯形的上底长为X,

梯形的中位线=2（x+5）=4cm.

2

解得x=3

故梯形的上底长为3cm,

故答案为：3.

点评：主要考查了梯形中位线定理的数量关系：梯形中位线的长等于上底与下底和的一半.

13.（2024•扬州）在平面直角坐标系中，点P（m,m—2）在第一象限内，则m的取值范围是m>

2.

考点：点的坐标；解一元一次天等式组。

专题：计算题。

分析：依据第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正，可得出m的范围.

解答：/10〉0

解：由第一象限点的坐标的特点可得：、，

m-2>0

解得：m>2.

故答案为：m>2.

点评：此题考查了点的坐标的学问，属于基础题，解答本题的关键是驾驭第一象限的点的坐标,

横坐标为正，纵坐标为正.

14.（2024•扬州）如图，PA,是。。的切线，切点分别为4、B两点，点。在。。上，假如4cB

=70°,那么NP的度数是一40。.

考点：切线的性质；多边形内角与外角；圆周角定理。

专题：计算题。

分析：连接OA,OB，由租与都为圆。的切线，利用切线的性质得到04垂直于AP,OB

垂直于4P,可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已

知NACB的度数求出NA03的度数，在四边形以4。中，依据四边形的内角和定理即可求

出/尸的度数.

解答：解：连接QA，OB,如图所示：

・・・N04P=/08P=90。，

又「圆心角ZAOB与圆周角/4C3都对标，且NAC8=70。，

・•・ZAOB=2ZACB=140°,

则NP=360。一（90。+90,+140。）=40°.

故答案为：40°

点评：此题考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，连接。人与OB,娴熟

运用性质及定理是解本题的关键.

15.（2024•扬州）如图，将矩形A8CO沿CE折叠，点8恰好落在边4。的尸处，假如期二，那

BC5

么tanZDCF的值是_零_.

D

考点：翻折变换（折叠问题）。

分析：由矩形ABC。沿CE折叠，点8恰好落在边AD的尸处，即可得BC=CF,CO=4氏由处二,

BC3

可得生二,然后设CD=2r,b=3x,利用勾股定理即可求得。尸的值，继而求得lanZDCF

CF3

的值.

解答：解：•・•四边形4BCQ是矩形，

；・AB=CD,ZD=90°,

•・•将矩形ABCD沿CE折叠，点、8恰好落在边AD的F处，

：，CF=BC,

..AB2

.前7，

•・CD-2'

CF3

设CQ=2x,CF=3x,

.=近2一CD2=倔,

•••（如/。。产=迈=近^=近.

CD2x2

故答案为：近.

2

点评：此题考查了矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理.此题比较简洁，留意折叠中的对应关

系，留意数形结合思想的应用.

16.（2024•扬州）如图，线段48的长为2,C为A8上一个动点，分别以AC、4c为斜边在A8的

同侧作两个等腰直角三角形△AC。和△BCE,那么DE长的最小值是1.

考点：二次函数的最值；等腰豆角三角形。

专题：计算题。

分析：设AC=x,则8C=2—x,然后分别表示出。C、EC,继而在RT4QCE中，利用勾股定理

求出。E的表达式，利用函数的学问进行解答即可.

解答：解：如图，连接。£.

设4C=x,贝ijBC=2-x,

•・•△ACO和ABCE分别是等腰直角三角形，

・・・NOCA=45。，ZECB=45°,DC=^X,CE=^(2-x),

22

AZDCE=90°,

故。炉=。。2+。序=&+1（2-x）2=f-2r+2=（X-1）2+1,

22

当x=l时，。序取得最小值，QE也取得最小值，最小值为1.

故答案为：1.

点评：此题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是表示出OC、CE,得出OE

的表达式，还要求我们驾驭配方法求二次函数最值.

17.（2024•扬州）已知一个圆锥的母线长为10cm,将侧面绽开后所得扇形的圆心角是144。，则这

个圆锥的底面圆的半径是4cm.

考点：圆锥的计算.

分析：由于圆锥的母线长为10cm,侧面绽开图是圆心角为144。扇形，利用圆锥的底面周长等于

侧面绽开图的扇形弧长，即可求解.

解答：解：设圆锥底面半径为rem,

那么圆锥底面圆周长为2irrcm,

所以侧面绽开图的弧长为2;rrcm,

SMtt：,«i,qK=27tr=144兀X10

183

解得：r=4,

故答案为：4.

点评：本题主要考查了有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者

之间的两个对应关系：①圆锥的母线长等于侧面绽开图的扇形半径；②圆锥的底面周长等

于侧面绽开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键.

18.（2024•扬州）如图，双曲线），=上经过RtZ\OMN斜边上的点A,与直角边MN相交于点上已

x

知CM=2AN,的面积为5,则%的值是12.

考点：反比例函数综合题。

专题：综合题。

分析：过4点作AC_Lx轴于点C,易得AOACS^ONM,贝I」OC：OM=AC：NM=OA：ON,而

0A=2AN,即。4：ON=2：3,设人点坐标为（m〃），得到N点坐标为（旦，当），由点

22

4与点8都在），=上图象上，

x

依据反比例函数的坐标特点得3点坐标为（当，马），由。4=2AN,△043的面积为5,

23

△NA8的面积为g则△0NB的面积=5+&=义，依据三角形面积公式得」N8・0M=K,

22222

即工工=K,化简得他=12,即可得到火的值.

22322

解答：解：过A点作4C_Lr轴于点C,如图，

则AC〃NM,

：・XOACsRONM,

,\OC：OM=AC：NM=OAzON、

而0A=2AN,即。4：ON=2：3,设A点坐标为（a,b）,则OC=a,AC=b,

・・・0M=2/,NM=%

22

，N点坐标为（工，务），

22

・••点8的横坐标为口，设B点的纵坐标为y,

2

•・•点A与点4都在y=士图象上，

:.k=ab=矍，y,

,\y=-bf即B点坐标为（21,4）,

323

,：OA=2AN,△QAB的面积为5,

•••△M48的面积为9

2

AONB的面枳=5+4=Y,

22

:.1NB>OM=^即_lxx4/=工，

2222322

•*.cib=12,

・・・&=12.

故答案为12.

点评：本题考查了反比例函数综合题：反比例函数)，=上图象上的点的横纵坐标的积都等于匕利

X

用相像三角形的判定与性质求线段之间的关系，从而确定某些点的坐标.

三、解答题(本大题共有10小题，共96分)

19.(2024•扬州)(1)计算:退一(-1)2+(—2024)°(2)因式分解：m3n—9mn.

考点：提公因式法与公式法的综合运用；实数的运算；零指数塞。

专题：常规题型。

分析：(1)依据算术平方根的定义，乘方的定义，以及任何非。数的0次暴等于1解答；

(2)先提取公因式mn,再对余下的多项式利用平方差公式接着分解.

解答：解：⑴«一(-1)2+(—2024)°

=3-1+1

=3：

(2)nrn-9mn

=mn(nr—9)

=mn(m+3)(m-3)

点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，

然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

2

20.(2024•扬州)先化简：1-工二・3二1,再选取一个合适的。值代入计算.

aa+2a

考点：分式的化简求值。

专题：开放型。

分析：先将分式的除法转化为奏法进行计算，然后再算减法，最终找一个使分母不为。的值代入

即可.

解答：_121c

解：原式=1一322x3^3

aa2-1

aT丫a(a+2)

a(a-1)(a+1)

=1-a±2

a+1

=a+l_a+2

a+1a+1

-__--1-，

a+1

〃取除0、一2、一1、1以外的数，如取。=10,原式=-8.

11

点评：木题考查了分式的化简求值，不仅要懂得因式分解，还要知道分式除法的运算法则.

21.(2024•扬州)扬州市中小学全面开展“体艺2+1”活动，某校依据学校实际，确定开设4篮球,

B：乒乓球，C：声乐，D：塑身操等四中活动项目，为了解学生最喜爱哪一种活动项目，随机抽

取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制了两幅不完整的统计图.请回答下列问题：

八

100.

Rn

BCD项目

图1图2

⑴这次被调查的学生共有迎人.

⑵请你将统计图1补充完整.

⑶统计图2中。项H对应的扇形的圆心角是72度.

⑷已知该校学生2400人，请依据调查结果估计该校最喜爱乒乓球的学生人数.

考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图。

分析：(1)分析统计图可知，喜爱篮球的人数为20人，所占百分比为10%,进而得出总人数即可;

(2)依据条形图可以得出喜爱。音乐的人数=200—20—80—40=60,即可补全条形图；

(3)依据喜爱。：塑身操的人数为：40人，得出统计图2中。项目对应的扇形的圆心角是:

40^200X360°=72°；

(4)用全校学生数X最喜爱乒乓球的学生所占百分比即可得出答案.

解答：解：(1)依据喜爱篮球的人数为20人，所占百分比为10%,

故这次被调查的学生共有：20-10%=200；

故答案为：200；

(2)依据喜爱C音乐的人数=200—20—80—40=60,

故C对应60人，如图所示：

(3)依据喜爱。：塑身操的人数为：40人，

则统计图2中。项目对应的扇形的圆心角是：40-200X360°=72°；

故答案为：72；

（4）依据样本中最喜爱乒乓球的学生人数为80人,

故该校学生2400人中最喜爱乒乓球的学生人数为：@X2400=960人.

200

答：该校最喜爱乒乓球的学生人数大约为960人.

点评：本题考查的足条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统订•图中得到

必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清晰地表示出每个项目的数据；扇形统计图

干脆反映部分占总体的百分比大小.

22.（2024•扬州）一个不透亮的布袋里装有4个大小，质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字

1,-2,3,-4,小明先从布袋中随机摸出一个球（不放回去），再从剩下的3个球中随机摸出其

次个乒乓球.

⑴共有12种可能的结果.

⑵请用画树状图或列表的方法求两次摸出的乒乓球的数字之枳为偶数的概率.

考点：列表法与树状图法。

分析：（I）依据题意先用列表法或画树状图法分析全部可能，却可得出答案；

（2）利用全部结果与全部符合要求的总数，然后依据概率公式求出该事务的概率.

解答：解：（1）依据题意画树形图如下：

-23-4

小不不小

-23-413-41-2-41-23

由以上可知共有12种可能结果分别为：(1,-2),(1,3),(1,-4),(-2,1),(-2,

3)»(~2,—4),

(3,1)>(3»—2),(3,-4),(―4»1),(~4,~2),(―4»3)；

故答案为：12.

（2）在（1）中的12种可能结果中，两个数字之积为偶数的只有10种,

尸（积为偶数）=2

6

点评：此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出全部可能的结果，适合于

两步完成的事务.用到的学问点为：概率=所求状况数与总状况数之比.

23.（2024•扬州）如图，在四边形ABCO中，4B=BC,NABC=NCD4=90。，BEA.AD,垂足为E.求

证：BE=DE.

考点：全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：作C凡L8E,垂足为凡得出矩形CFED,求出NCBF=N4,依据A4S证△BAE0/XCBF,

推出即可.

证明：作CEL8E,垂足为F,AED

'JBEYAD,

・•・ZAEB=90°,

，/尸ED=/D=NCFE=90°,/CBE+NA8E=90°,/6AE+/ABE=9U。,

：・NBAE=NCBF,

•••四边膨为矩形，

：.DE=CF,

在△ZM£和△C4产中，有NCBE=NBAE,ZBFC=ZBEA=90%AB=BC,

：・4BAEm4CBF,

:・BE=CF=DE,

即BE=DE.

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的判定和性质的应用，关键是求出

△BAEqACBF,主要考查学生运用性质进行推理的实力.

24.（2024•扬州）为了改善生态环境，防止水土流失，某村安排在荒坡上种480棵树，由于青年志

愿者的支援，每日比原安排多种工结果提前4天完成任务，原安排每天种多少棵树？

3

考点：分式方程的应用。

分析：依据：原安排完成任务的天数一实际完成任务的天数=4,列方程即可.

解答：解：设原安排每天种x棵树，据题意得，

480_480^§

x4

3X

解得x=3O,

经检验得出：x=3O是原方程的解.

答：原安排每天种30棵树.

点评：此题主要考查了分式方程的应用，合理地建立等量关系，列出方程是解题关键.

25.（2024•扬州）如图，一艘巡逻艇航行至海面8处时，得知E北方向上距8处20海里的。处有

一渔船发生故障，就马上指挥港口八处的救援艇前往。处营救.已知C处位于4处的北偏左45。

的方向上，港口A位于8的北偏西30。的方向上.求A、C之间的距离.（结果精确到0.1海里，

参考数据心1.41,75=1.73）

考点：解直角三角形的应用-方句角问题。

专题：应用题；数形结合。

分析：作AQ_L8C,垂足为。，设CD=x,利用解直角三角形的学问，.可得出4。，继而可得出

BD,结合题意3C=CQ+3Q=20海里可得出方程，解出x的值后即可得出答案.

解答：解：作ADJ_8C,垂足为。，

由题意得，ZACD=45°,NABO=30。，

设CQ=x,在RTZ\ACO中，可得AQ=x,

在RTZXABO中，可得5。="^:,

又・.・8C=20,即工+0=20,

解得：x=10（V3-1）

，AC=J^10.3（海里）.

答：A、C之间的距离为10.3海里.

点评：此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是依据题意构造直角三角形，将实际问

题转化为数学模型进行求解，难度一般.

26.(2024•扬州)如图，/W是。。的直径，。是。。上一点，人。垂直于过点C的切线，垂足为。.

(1)求证：AC平分BAD；

(2)若入。=2的，CD=2,求。。的直径.

考点：切线的性质；角平分线的性质；勾股定理；相像三角形的判定与性质。

专题：计算题。

分析：(I)连接OC,依据切线的性质推断出人D〃OC,得到ND4C=NOCA,再依据QA=OC得

至叱OAC=/OCA,

可得AC平分N/M。.

(2)连接8C,得至IJ^AOCS/XACB,依据相像三角形的性质即可求出AB的长.

解答：解：(1)如图：连接OC,

TOC切。。于C,

：.AD±CD,

ZADC=/OC〃=9()0,

：,AD//OC,

：,ZDAC=ZOCA,

YOA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

即AC平分NBA。.

(2)连接8c.

••SB是直径，

・•・ZACB=900=ZADC.

•・・NOAC=NOCA,

/.AADC^AACB,

・ACAD

••瓦记

在Rl/XAOC中，4c=2，兀，CD=2,

・"。=4,

.2A/5_4

一AB二2至

：.AB=5.

D

AOB

点评：本题考查了切线的性质、角平分线的性质、勾股定理、相像三角形的判定与性质，是一道

综合性较强的题目，作H相应协助线足解题的关键.

27.(2024•扬州)已知抛物线)，=加+力.i+c经过4(-1,0)、8(3,0)、C(0,3)三点，直线/是

抛物线的对称轴.

⑴求抛物线的函数关系式；

⑵设点P是直线/上的一个动点，当△%C的周长最小时，求点P的坐标；

⑶在直线/上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形？若存在，干脆写出全部符合条件的点M

的坐标；若不存在，请说明理由.

考点：二次函数综合题。

专题：综合题；分类探讨。

分析：(1)干脆将A、从C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可.

(2)由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么依据抛物线的对称性以及两点之间线

段最短可知：若连接3C,那么BC与直线/的交点即为符合条件的P点.

(3)由于△M/IC的腰和底没有明确，因此要分三种状况来探讨：®MA=AC.®MA=MC.

②可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示4c的三边长，再按上面

的三种状况列式求解.

解答：解：(1)将A(—1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入抛物线y=ad+6:+c中，得:

a-b+c=0卜二-

9a+3b+c=0,解得：b=2

lc=3

c=3

J抛物线的解析式：y=-『+2x+3.

(2)连接8C,直线8。与直线/的交点为P：

设直线4C的解析式为)，="+从将4(3,0),0(0,3)代入上式，得:

.3k+b=0,解得:产-1

b=3Ib=3

工直线BC的函数关系式y=-x+3；

当x—l时，y=2,即0的坐标(1,2).

(3)抛物线的解析式为：x=-A=l,设M(l,m),已知A(—l,0)、C(0,3),财

2a

MA2=m2I4,AYC2=m2—6mI10>AC2=10；

①若MA=MC,则M42=Md,得：

m2+4=m2—6m+10,得：m=I；

②若M4=AC,则M42=AC2,得：

nr+4=10,得：m=±'后；

③若MC=AC,则MC2=A，2,得：

nf—6m+10=10,得：m=0,m=6：

当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；

综上可知，符合条件的W点，且坐标为“(1,加)(1,一%)(1,1)(1,0).

点评：该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等学问，在判

定等腰三角形时，肯定要依据不同的腰和底分类进行探讨，以免漏解.

28.(2024•扬州)如图1,在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、。分

别在x轴、丁轴的正半轴上，且OA=2,OC=\,矩形对角线AC、相交于E,过点E的直线

与边04、8C分别相交于点G、H.

⑴①干脆写出点E的坐标：（1，工）.

-----2-

②求证：AG=CH.

⑵如图2,以。为圆心，0C为半径的圆弧交0A与Q,若直线G”与弧CD所在的圆相切于矩

形内一点E求直线G”的函数关系式.

⑶在（2）的结论下，梯形ABHG的内部有一点P,当。尸与〃G、GA、4B都相切时，求。P的半

考点：切线的判定与性质；一次函数综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；

相像三角形的判定与性质。

专题：计算题；证明题。

分析：（I）①依据矩形的性质和边长即可求出E