2024-2025学年北京市西城区第四中学高二下学期开学考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市西城区第四中学高二下学期开学考试数学试卷一、单选题：本大题共10小题，共50分。1.直线l:x+3y−4=0的倾斜角为A.π6 B.π3 C.2π32.双曲线y24−xA.y=±32x B.y=±23x3.若(3−x)nn∈N∗的展开式中所有二项式系数的和为32A.5 B.6 C.7 D.84.“a=0”是“直线x−ay+2a−1=0a∈R与圆x2+yA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过A−2,1和B32,−2A.12 B.22 C.6.正四面体ABCD中，E为AB中点，F为CD的中点，则异面直线EF与AC所成的角为(

)A.90∘ B.60∘ C.7.给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有(

)A.12种 B.18种 C.24种 D.64种8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为22.过点A向抛物线C的准线作垂线、垂足为B.若四边形ABOFA.1 B.2 C.2 D.9.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，QA.存在点Q，使得C1Q//A1C

B.存在点Q，使得C1Q⊥A1C

C.对于任意点Q10.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，动点P在正方形ABCDA.拋物线的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.以上都不对二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.(2x+1x)4展开式的常数项是

12.已知抛物线y2=4x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，则PF=

13.圆x2+y2−2x−2ay+a2=0截直线x−2y+1=0所得弦长为14.已知两点F1−2,0,F22,0.点P2cos15.已知曲线C:x−2x①曲线C是轴对称图形：②曲线C上恰好有4个整点(即横，纵坐标均是整数的点)；③曲线C上存在一点P，使得P到点1,0的距离小于1；④曲线C所围成区域的面积大于4．其中，所有正确结论的序号为

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.如图，四边形ABCD为梯形，AB//CD，四边形ADEF为平行四边形．(1)求证：CE//平面ABF；(2)若AB⊥平面ADEF,AF⊥AD,AF=AD=CD=1，AB=2，求直线AB与平面BCF所成角的正弦值．17.已知拋物线C:y2=2px经过点(1)求p的值和拋物线C的准线方程；(2)经过点4,0的直线l与拋物线C交于M,N两点，O为坐标原点.求∠MON的大小．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD,Q为棱PD的中点，PA⊥AD,PA=AB=2．

(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求平面ACQ与平面ABCD所成角的余弦值；(3)求点P到平面ACQ的距离．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1−1,0，且经过点1,32．A,B分别是椭圆C的左，右顶点，点Px0,y0在椭圆C上(1)求椭圆C的短轴长和离心率；(2)若线段GH的中点为D，求点P坐标．20.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A(1)求椭圆E的方程；(2)过点T且斜率为k的直线交椭圆E于点C,D，线段CD的垂直平分线交y轴于点Q，点Q关于直线CD的对称点为P.若四边形PCQD为正方形，求k的值．21.对于正整数集合M={a1,a2,⋯,an}(n∈N∗,n≥2)(1)试判断集合A=5,7,9,13和B=(2)若集合C=a1,(3)若S={1,2,3,…,2026}，D是S的子集，且D是“好集合”，求D所含元素个数的最大值．

参考答案1.D

2.B

3.A

4.A

5.D

6.C

7.C

8.C

9.AD

10.B

11.24

12.5

13.1

14.3

15.①②④

16.1)因为AB/​/CD，CD⊄平面ABF,AB⊂平面ABF，所以CD//平面ABF，又平行四边形ADEF中，DE//AF，DE⊄平面ABF,AF⊂平面ABF，所以DE//平面ABF，又CD∩DE=D，CD,DE⊂平面CDE，所以平面CDE//平面ABF，又CE⊂平面CDE，所以CE//平面ABF．(2)因为AB⊥平面ADEF,AF⊥AD,所以AB,AF,AD两两相互垂直，建立如图所示空间直角坐标系A−xyz．AAB记平面BCF的一个法向量为n故n⋅BC故n=cosn故直线AB与平面BCF所成角的正弦值为6

17.(1)由题知，4=2p，解得p=2，所以抛物线方程为y2=4x，其准线方程为(2)设A4,0当直线l斜率不存在时，方程为x=4，则代入y2=4x，求得所以▵OAM和▵OAN是等腰直角三角形，所以∠MON=90当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx−4，M则联立y=kx−4y2所以x1+x且y1又cos∠MON=所以∠MON=90综上，∠MON=90

18.1)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊥AD，PA⊂平面PAD，所以PA⊥平面ABCD．(2)由(1)可知PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，所以分别以AB,AD,

A0,0,0，C2,2,0，B2,0,0，D0,2,0，PAC=2,2,0，设平面ACQ的一个法向量为：m=AC⋅m=0AQ⋅m=0所以m=由于PA⊥平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为n=设平面ACQ与平面ABCD所成角为θ，所以cosθ=所以平面ACQ与平面ABCD所成角的余弦值为3(3)由(2)可知平面ACQ的一个法向量为：m=1,−1,1，而所以点P到平面ACQ的距离为AP⋅

19.(1)因为椭圆的左焦点F1−1,0，所以c=1，即因为经过点1,32，所以联立1a2所以椭圆的短轴长2b=23，离心率(2)由(1)知a=2，椭圆方程为x24+因为P与点A、B不重合，所以x0所以直线AP的斜率kAP=y过点D且与x轴垂直的直线方程为x=4，联立y=y0x0+2同理直线BP:y=y因为GH的中点是点D，由中点坐标公式得6y0x因为点P在椭圆上，所以14+y所以点P的坐标为1,32或

20.(1)已知A1(−a,0)，A2则△TA1A2的面积因为离心率e=ca=2又因为a2=b2+c2所以椭圆E的方程为x2(2)将直线y=kx+1与椭圆x2+2y根据韦达定理，x1+x计算y1从而得到线段CD中点坐标为(−2k然后求线段CD垂直平分线方程：垂直平分线的斜率为−1根据点斜式可得垂直平分线方程为y−1进而得到点Q(0,−1最后根据四边形PCQD为正方形时QC⊥QD：则QC展开得x进一步化简为(将x1+x2=整理得(k2+1)(4

21.(1)因为A=5,7,9,13，因为7−5=2，所以集合因为B=2,5,8,11，5−2=3>2，8−2=6>2，11−2=9>2，8−5=3>2所以集合B是“好集合”．(2)证明：将集合1,2,⋯,18中的元素分为如下10个集合，1,3，2,4，5,7，6,8，9,11，10,12，13,15，14,16，17，18，所以从集合{1,2,…,18}中取12个元素，则前8个集合至少要选10个元素，所以必有2个元素取自前8个集合中的同一集合，即存在两个元素的差的绝对值不大于2，所以C不可能是“好集合”．(3)因为D是“好集合”，所以对于D中的任意两个不同的元素x，y，不妨