2025高考一轮复习（人教A版）第20讲空间几何体的结构特征、表面积与体积（含答案）

2025高考一轮复习（人教A版）第二十讲空间几何体的结构特征、表面积与体积阅卷人一、选择题得分1．若圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积为（）A．2π B．3π C．23π 2．底面相同的圆柱和圆锥有相等的侧面积，且圆柱的高恰好是其底面的直径，则圆柱与圆锥的体积之比为（）A．2 B．32 C．155 3．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，还有两个面是全等的等腰三角形，若AB=15m，BC=6m，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD的夹角均为45°，则该五面体的体积为（）A．126m3 B．117m3 C．4．已知△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，Q是边BC上的动点．若PA⊥平面ABC，PA=2，且PQ与面ABC所成角的正弦值的最大值为63，则三棱锥A．4π B．6π C．8π D．9π5．已知三棱锥P−ABC的所有顶点都在表面积为283π的球的球面上，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=2，则直线PC与A．26 B．24 C．366．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.∠ABC=45A．2+2 B．23 C．2+7．三棱锥P−ABC，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=1A．3π B．2π C．3π D．8．如图，在三棱锥V−ABC中，VA=VB=VC=8，∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°，过点A作截面AEF，则△AEF周长的最小值为（）A．62 B．63 C．82阅卷人二、多项选择题得分9．如图，三棱台ABC−A1B1CA．AB1B．平面BMC1C．三棱台ABC−A1D．若点P在侧面ABB1A110．已知正方体ABCD−AA．直线B1C与直线BB．直线B1C与平面ACC．四面体D1−AD．点A到平面D1B11．如图，若正方体ABCD−EFGH的棱长为1，点M是正方体的侧面ADHE上的一个动点（含边界），P是棱CG上靠近G点的三等分点，则下列结论正确的有（）A．沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为34B．若PM⊥BH，点M的运动轨迹是线段C．若PM=133，则点M在侧面D．当点M与点D重合时，三棱锥B−MEP的体积最大12．已知圆锥的顶点为P,AB为底面圆O的直径，∠APB=120∘,PA=2，点C在圆O上，点G为AC的中点，PGA．该圆锥的侧面积为3B．该圆锥的休积为πC．AC=D．该圆锥内部半径最大的球的表面积为12阅卷人三、填空题得分13．在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4，PC=PD=3，∠PCA=45°，则四棱锥P−ABCD的体积为．14．已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为5，高为1，P、Q为底面圆周上任意两点.有以下三个结论：①三角形SPQ面积的最大值为2；②三棱锥O−SPQ体积的最大值为2③四面体SOPQ外接球表面积的最小值为9π.以上正确的结论是.15．与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为阅卷人四、解答题得分16．在几何体ABCDEFGH中，底面ABCD是边长为6的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.P是线段GF上的动点，FP=λ（1）若λ=13，求三棱锥（2）若平面AEH⊥平面BEP，求λ的值.17．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，AB∥CD，且CD=2，AB=1，BC=22，PA=1，AB⊥BC，E、F分别为PD，BC（1）求直线EF到平面PAB的距离；（2）在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是13？若存在，求出DM（3）在平面PBC内是否存在点H，满足HD⋅18．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）若圆锥的侧面积为8π，求圆锥的体积；（2）设PO=4,OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°,M是线段AB的中点，如图．求直线PM与平面POB所成的角的大小．19．已知O为坐标原点，圆O：x2+y2=1，直线l：y=x+m（0≤m<1），如图，直线l与圆O相交于A（A在x轴的上方），B两点，圆O与x轴交于M,N两点（M在N的左侧），将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面AMN）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面BMN）互相垂直，再以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴正半轴，原y轴正半轴所在直线分别为x（1）若m=0．（ⅰ）求三棱锥A−BMN的体积；（ⅱ）求二面角A−BN−M的余弦值．（2）是否存在m，使得AB折叠后的长度与折叠前的长度之比为306？若存在，求m

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】D【解析】【解答】解：由题意，令圆锥的高为d，底面圆的半径为r，则圆柱的高h=2r，所以，根据侧面积相等有2πrh=πrd2+综上所述，圆柱体积V1=πr所以V1故答案为：D.【分析】根据已知条件和圆柱、圆锥的侧面积公式，从而列方程求出圆锥的高与半径的关系，再利用圆锥的体积公式、圆柱的体积公式，从而得出圆柱与圆锥的体积比.3．【答案】B4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、令BC1∩B1C=O，连接MO，由B1C1//BC，而MO⊂平面BC1M，AB1⊄平面B、由CC1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，得CCC1∩BC=C,CC1,BC⊂平面BCC1B使得BN=12NC，则AMMC=BNNC即点M在平面BCC1B1上的投影为线段BC上靠近点B较近的3等分点N，又点则过点M与平面BCC1B1垂直的直线不在平面BMC1内，因此平面C、依题意，∠A1B三棱台ABC−A1BD、由选项B知，AB⊥平面BCC1B1，而AB⊂平面ABB过C作CH⊥BB1于H，平面ABB1A1∩在直角梯形BCC1B1中，sin∠CBB1=CC1BB1=25因此P点轨迹是以H为圆心，55为半径的圆在侧面ABB1A1内圆弧，故答案为：ACD.【分析】令BC1∩B1C=O，利用线面平行的判定推理即可判断A；求出点10．【答案】A,C【解析】【解答】解：以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：

则D0,0,0，A1,0,0，C0,1,0，DA、易知B1C=因为B1C⋅即B1C⊥AD1，直线B1B、在正方形ABCD中，AC⊥BD，又因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥B1D⊂平面BB1DAC∩AD1=A，所以B1D⊥平面AC因为B1C=即直线B1C与平面ACD则直线B1C与平面ACDC、图形为正方体去掉四个全等的直棱锥，所以四面体D1−ABD、因为AD1=−1,0,1，平面D1B1故n⋅D1B1=x+y=0n⋅D所以点A到平面D1B1故答案为：AC.【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系，利用坐标求B1C与直线AD1所成的角即可判断A；证明出B1D⊥平面ACD1，所以平面ACD11．【答案】A,B,D12．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由已知可得，∠DPO1=60°，PA=2，

易得等腰三角形PAB对于A，因为该圆锥的侧面积为π×3对于B，因为该圆锥的体积为V=1对于C，如图，取AC中点为G，连接GO,PG，

则∠PGO为PG与底面所成角为60∘，故GO=3对于D，当球与圆锥内切时，表面积最大，此时球心在圆锥的高上，设球心为O1，球的半径为r，过O1向PB作垂线，垂足为D，则OD=r，

又因为∠DPO1=60°所以球的表面积为4π[故答案为：BCD.【分析】利用已知条件和等腰三角形的结构特征以及圆锥的侧面积公式，则判断出选项A；利用圆锥的侧面积公式，则判断出选项B；取AC中点为G，连接GO,PG，从而得出∠PGO为PG与底面所成角，再结合弦长公式得出AC的长，则判断出选项C；利用∠DPO1=13．【答案】32【解析】【解答】解：由题意，设E，F分别为AB，CD的中点，连接EF，AO，

过点P作PO⊥EF，垂足为O，点O在EF上，如图所示：

因为PC=PD=3，所以PF⊥CD，底面ABCD为正方形，

所以EF//AB，AB⊥CD，所以EF⊥CD，PF∩EF=F,PF,EF⊂平面PEF，CD⊥平面PEF，PO⊂平面PEF，CD⊥PO,PO⊥EF,EF∩CD=F,EF,CD⊂平面ABCD，PO⊥平面ABCD，设OF=x，因为AB=4，PC=PD=3，所以PF=PPO2=PF2在△PAC中，由余弦定理可得：AP2=AC2+PC2−2AC⋅PCcos∠PCA=17，

即−8x+25=17，解得x=1故答案为：323【分析】设E，F分别为AB，CD的中点，连接EF，AO，过点P作PO⊥EF，构造三角形结合余弦定理得出PO=2，再根据四棱锥体积公式计算即可．14．【答案】②15．【答案】3π16．【答案】（1）解：将几何体ABCDEFGH补成如图所示的长方体，由题意可得EH=A'E则四边形EFGH是边长为32S△EFP三棱锥B−EFP的体积V=1（2）解：以D为坐标原点，DA，DC，DD'的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：

则A6,0,0，B6,6,0，E6,3,33，FEA→=0,−3,−33，EH→由FP=λFG=(−3λ,−3λ,0)，λ∈0,1，知设平面AEH的一个法向量为m=x1,y1,z1，

设平面BEP的一个法向量为n=x2,y2,z2，

因为平面AEH⊥平面BEP，所以m⋅n=0，则−【解析】【分析】(1)由题意，根据锥体体积公式直接求解即可；(2)以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量运算，根据面面垂直则法向量数量积为零的求解即可.（1）将几何体ABCDEFGH补成如图所示的长方体.由题意可得EH=A'E则四边形EFGH是边长为32S△EFP三棱锥B−EFP的体积V=1（2）以D为坐标原点，DA，DC，DD'的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.A6,0,0，B6,6,