2025年高中数学一本通必修二第9第4节 总体百分位数的估计、总体集中趋势的估计、总体离散程度的估计（1）含答案

2025年高中数学一本通必修二第9第4节总体百分位数的估计、总体集中趋势的估计、总体离散程度的估计（1）9.2.2总体百分位数的估计9.2.3总体集中趋势的估计9.2.4总体离散程度的估计习题：P1-----------------------▌知识梳理▌-----------------------知识点1：总体百分位数的估计1．概念：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值．加底色加底色2．计算第p百分位数的一般步骤（设数据有n个）第1步，按从小到大排列原始数据；第2步，计算；第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第项数据的平均数．3．常用百分位数及其别称①第25百分位数：第一四分位数、下四分位数；②第50百分位数：中位数；③第75百分位数：第三四分位数、上四分位数．知识点2：总体集中趋势的估计1．刻画集中趋势的数字特征数字特征特点平均数①平均数是最常用来反映数据集中趋势的统计量；②平均数对样本中的极端值比较敏感，因此在评分类比赛或游戏中，常去掉最高分和最低分后计算新的平均值，并以此平均值作为选手的得分，这是规避极端数据对平均值造成较大影响的一种方法.中位数①在一组数据中，有一半数据不大于中位数，另一半数据则不小于中位数；②与平均数不同，中位数不受极端值影响.众数众数反映的是数据中出现频率最高的数据，很多时候不能反映一组数据的中心值.注：①当一组数据中的任意一个样本数据改变时，平均数都会改变，而中位数和众数可能变化，也可能不变．②一组数据的平均数和中位数都是唯一的，但众数不一定唯一，可能有一个，可能有多个，也可能没有．③一组数据中，平均数和中位数都可能不是样本数据中的数，而众数一定是样本数据中的数．2．适用情况①对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用平均数、中位数．②对分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用众数．知识点3：总体离散程度的估计1．极差一组数据的最大值与最小值之差叫做极差.极差在一定程度上刻画了数据的离散程度，但因为极差只使用了数据中最大、最小的两个值的信息，对其它数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少.加底色加底色2．方差和标准差假设一组数据是，，…，，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为．有时为了计算方便，也可按求方差，推导过程如下：.由于方差的单位是原始数据单位的平方，与原始数据不一致，为了使二者单位一致，我们对方差开平方，取它的算术平方根，称为这组数据的标准差．加底色加底色3．总体（样本）方差和总体（样本）标准差如果总体中所有个体的变量值分别为，，…，，总体平均数为，则称为总体方差，为总体标准差．与总体均值类似，总体方差也能写成加权的形式．若总体的N个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，，…，，其中出现的频数为，则总体方差为．如果一个样本中个体的变量值分别为，，…，，样本平均数为，则称为样本方差，为样本标准差．加底色加底色注：在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性．4．方差和标准差的统计意义①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．若标准差（方差）为0，则所有数据的值都相同，相反，若所有数据的值都相同，则这组数据的标准差（方差）为0．②在刻画数据的分散程度上，方差和标准差的作用是一样的，但在解决实际问题中，一般多采用标准差．5．具有线性关系的数据的方差若一组数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差为，标准差为，其中a，b为常数．知识点1【例1】数据3，5，6，7，8，9，10，12，14的第60百分位数是（）A．14B．9.5C．8D．9解析：求百分位数，先求i，再结合i是否为整数来取所求百分位数，由题意，数据共9个，所求为第60百分位数，所以，因为i不是整数，且比i大的比邻整数是6，所以取第6个数据9为这组数据的第60百分位数.答案：D【例2】数据3，1，4，5，1，6，7，5的第25百分位数是（）A．1B．2C．3D．6解析：数据没有按从小到大排列，先排序，将原数据按从小到大的顺序排列依次为：1，1，3，4，5，5，6，7，共8个数据，且所求为第25百分位数，所以，因为i是整数，所以取第i个和第个数据的平均数作为这组数据的第25百分位数，这里第2个和第3个数据分别为1，3，所以这组数据的第25百分位数为.答案：B知识点2【例3】（多选）某科技攻关青年团队共有10人，其年龄（单位：岁）分布如下表，则这10人年龄的（）年龄454036322928人数121321A．中位数是34B．众数是32C．第25百分位数是29D．平均数是34.3解析：将10个数据按从小到大排列为：28，29，29，32，32，32，36，40，40，45，A项，第5个和第6个数据都是32，所以这组数据的中位数为，故A项错误；B项，这组数据中，32出现3次，比其余数据出现次数都多，所以众数为32，故B项正确；C项，，所以第3个数据29是这组数据的第25百分位数，故C项正确；D项，平均数为，故D项正确.答案：BCD【例4】某校举行演讲比赛，邀请7位评委分别给选手打分，得到7个原始评分，在评定选手成绩时，从这7个原始评分中去掉1个最高分，1个最低分，得到5个有效评分，这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征一定保持不变的是（）A．众数B．中位数C．平均数D．以上都不对解析：可以想象，将分数按从低到高的顺序排列，去掉一个最高分和一个最低分后，原来在中间的数据仍在中间，所以中位数不变，故选B，下面我们举个例子，假设7位评委打出的分数依次为1，1，2，2，3，4，5，其中位数为2，去掉最高分5分和最低分1分后，数据变成1，2，2，3，4，中位数仍为2，但平均数和众数都发生了变化.答案：B知识点3【例5】某中学举行了一次英语知识竞赛，高三2班有5人参赛，他们的成绩分别为：99，85，93，98，80，则这些成绩的极差是_____，方差是_____.解析：这组数据的最大值为99，最小值为80，所以极差为，平均数为，方差.答案：19，【例6】若数据，，…，的方差是，新数据，，…，的方差是，证明：.证明：设原数据的平均数为，由题意，原数据的方差①，则新数据的平均数为，方差为，结合式①可得新数据的方差.---------------------▌本节核心题型▌---------------------本节的核心内容是百分位数、集中趋势参数（众数、平均数、中位数）、离散程度参数（极差、方差、标准差）的计算及其统计意义的分析.对于百分位数，常考的是其计算，所以我们设计了类型Ⅰ来归纳各种情况下该如何计算百分位数；对于众数、平均数、中位数，在类型Ⅱ中会详细分析其计算方法，以及它们在统计问题中的应用；类型Ⅲ则针对极差、方差、标准差的计算与统计分析.除此之外，本节有时还会遇到数据变换后的有关统计量的计算问题，所以我们还设计了一个类型Ⅳ来归纳这类题.类型Ⅰ：百分位数的计算【例7】2020年11月1日零时广西14个地区人口的男、女性别比如下表所示：地区南宁市柳州市桂林市梧州市玉林市防城港市钦州市男、女性别比/%106.71107.74103.33106.77107.81119.01110.66地区贵港市北海市百色市贺州市河池市来宾市崇左市男、女性别比/%108.29108.48104.69105.66104.18107.52108.90根据表中数据可知，这14个数据的第60百分位数对应的地区是（）A．柳州市 B．玉林市 C．北海市 D．南宁市解析：要求第60百分位数，先求i，共14个数据，所以，因为i不是整数，所以取第9个数据作为这组数据的第60百分位数，将数据按从小到大排列依次为：103.33，104.18，104.69，105.66，106.71，106.77，107.52，107.74，107.81，108.29，108.48，108.90，110.66，119.01，其中的第9个数据为107.81，对应玉林市，故选B.答案：B【反思】给出一组从小到大排列的数据（共n个），让求第p百分位数，先按求i，若i不是整数，则取j为比i大的临近整数，第j个数据即为原数据的第p百分位数；若i是整数，则取第i个和第个数据的平均数作为原数据的第p百分位数.本题的i不是整数，有时也会遇到i是整数的情况，比如下面的变式1.【变式1】幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数分别是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，8.8，6.9，9.4，则这组数据的下四分位数是_____.解析：下四分位数即第25百分位数，求百分位数，先算i，由题意，，由于i为整数，所以取第i和个数据的平均值作为第25百分位数，先将数据按从小到大排列，原始数据从小到大排列为：6.9，7.6，7.8，7.9，8.1，8.3，8.5，8.8，9，9.2，9.4，9.5，所以这组数据的下四分位数为.答案：7.85【变式2】某学校举办了一场党史知识竞赛活动，共有500名学生参加了此次活动，为了解本次竞赛活动的得分情况，从中抽取了50名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组，得到如下的频率分布直方图，则_____，估计此次竞赛活动中学生得分的第75百分位数为_____分.解析：由图可知，，解得：，给的是数据整理后的频率分布直方图，没有原始数据，如何求第75百分位数？可以想象，在图中从左至右，频率和为0.75的位置，应该就是第75百分位数了，于是按此寻找，由图可知，从左至右前两组的频率和为，前三组的频率和为，所以第75百分位数在上，设为x，如图，应有，解得：，所以此次竞赛活动学生得分的第75百分位数为88.75分.答案：0.03，88.75【反思】由频率分布直方图估计第p百分位数，就是寻找从左至右频率和为p%的位置，具体计算时，可通过估算确定第p百分位数所在的区间，再按从左至右频率和为p%列方程求解第p百分位数.类型Ⅱ：众数、中位数、平均数的计算及统计分析【例8】某高校两个班级在一门选修课程的某次考试中的成绩（总分：100分）如下：甲班8475789567498677668873785345749184995384675768559073726757乙班745892100743783976684617594707384814882668310090669344分别计算两个班级成绩的平均数（结果保留整数）、中位数和众数，并说明在这次考试中哪个班的成绩更好.解：由所给数据，甲班成绩的平均数，乙班成绩的平均数，将甲、乙两班的成绩数据按从小到大排列分别为：甲班：45，49，53，53，55，57，57，66，67，67，67，68，72，73，73，74，75，77，78，78，84，84，84，86，88，90，91，95，99，共29个数据，第15个数据是73，所以甲班成绩的中位数，乙班：37，44，48，58，61，66，66，66，70，73，74，74，75，81，82，83，83，84，84，90，92，93，94，97，100，100，共26个数据，第13个和第14个数据分别为75，81，所以乙班成绩的中位数，甲班的成绩中，67和84这两个分数各有3个，比其余分数个数都多，所以甲班成绩的众数是67和84，乙班的成绩中，66这个分数有3个，比其余分数个数都多，所以乙班成绩的众数是66，因为，，所以乙班成绩更好.【反思】平均数、中位数、众数都能一定程度反映数据的集中趋势，为什么比较甲、乙两班成绩时只用平均数和中位数，不用众数？这是因为众数只利用了出现次数最多的那个数据，它能传递的数据信息较少，对极端值也不敏感，往往用在描述一些分类型的数据（如校服规格、产品等级等）的集中趋势，所以对数值型数据（本题就是如此）集中趋势的描述，一般用平均数和中位数，那平均数和中位数又有何差异？我们来看一个变式.【变式】某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：销售量（件）1800510250210150120人数113532（1）求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；（2）假设销售部负责人把每位销售人员的月销售定额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额.解：（1）15位销售人员该月销售量的平均数为件，将销售量数据从小到大排列，第8个数据是210，所以15位销售人员该月销售量的中位数为210件，由表中数据可知，销售量为210件的人数最多，为5人，所以15位销售人员该月销售量的众数是210件.（2）不合理，因为15人中有13人的销售量低于320件，所以320虽然是平均数，但有一个1800明显高于其余数据，该数据对平均数的影响较大，所以平均数不能很好地反映销售人员的平均销售水平，可以将月销售定额定为210件，因为210件是中位数，也是众数，是大部分销售人员能达到的销售量.【反思】平均数容易受个别极端数据（例如本题的1800这个数据）的影响，有时不能很好地体现一组数据的集中趋势，而中位数不受个别极端值的影响，故此时中位数能更好的反映数据的集中趋势.【例9】为激发户外运动爱好者健身热情，增进群众健身获得感、幸福感，某市体育部门随机抽取200名群众进行每天体育运动时间的调查，按照时长（单位：分钟）分成6组：，，，，，，处理后绘制了如下图的频率分布直方图：（1）求图中a的值；（2）求运动时长在的样本群众人数；（3）估计该市群众每天体育运动时间的众数、平均数、中位数.（保留1位小数）解：（1）由图可知，，解得：.（2）由图知的频率为，所以运动时长在的样本群众人数为.（3）（怎样由频率分布直方图估计众数？由于图中最高的矩形内数据个数最多，所以常用最高矩形的区间中点估计样本数据的众数）由图可估计该市群众每天体育运动时间的众数为分钟，（怎样由频率分布直方图估计平均数？由于只知道每组数据的个数，不知道数据的具体值，故只能估计，常用该组区间的中点值来代表该组的各个值（例如第1组有20个数据，那么我们认为这20个数据都是35），由此可估计样本平均数）图中从左至右各组的频数分别为，，，，，，所以该市群众每天体育运动时间的平均数分钟，（怎样由频率分布直方图估计中位数？此时可看成估计第50百分位数，故处理方法和前面例7的变式2这里有引用一样，根据从左至右频率和为0.5列方程求中位数即可）这里有引用由图可知，从左至右前2组的频率和，前3组的频率和，所以中位数在上，设为x，如图，应有，解得：，即该市群众每天体育运动时间的中位数约为56.7分钟.【反思】在频率分布直方图中：①众数的估计值是最高小矩形的区间中点；②设各组的区间中点值分别为，，…，，频率分别为，，…，，则平均数的估计值为；③中位数即为将频率分布直方图分成左、右两边频率各占0.5的位置.类型Ⅲ：极差、方差、标准差的计算及统计分析【例10】（多选）为了弘扬奥运会中我国射击队员顽强拼搏的奋斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射击比赛，得到8名同学的射击环数如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则这组样本数据的（）A．极差为4 B．平均数是8C．下四分位数是9 D．方差为16解析：A项，8个数据中，最大的是10，最小的是6，所以极差为，故A项正确；B项，这组数据的平均数为，故B项正确；C项，，i为整数，所以取第i个和第个数据的平均值作为下四分位数，将数据按从小到大排列依次为6，6，7，8，9，9，9，10，所以第2个和第3个数据的平均值为，即这组数据的下四分位数为6.5，故C项错误；D项，这组数据的方差为，故D项错误.答案：AB【反思】方差的计算公式是或，这两个公式如何选择？要看用哪个更好算.一般情况下，给出一组具体数据时，常选择前者计算方差，而后者多用于数据组是字母表示的未知量时的情况，我们来看下面的变式1这里有引用.这里有引用【变式1】将某班50人随机分成两个小组，这两组同学在期中考试中的数学成绩如下表：则该班同学在期中考试中的标准差为_______分.组别人数平均分方差第1组20909第2组308014解析：要算标准差，可先求方差，这里没有原始数据，只有分组后各组的平均数和方差，怎么求总方差？若无思路，不妨先把有关数据设出来，翻译已知和所求，再观察二者联系，设第1组的20个数据分别为，，…，，第2组数据分别为，，…，，则第1组的平均数，第2组的平均数，所以该班的平均数①，再看方差，用还是？可以想象，后者更容易看出各组方差与总方差之间的关系，故选择后者，第1组的方差，所以②，第2组的方差，所以③，该班的总方差④，观察发现将①②③代入④，就能求出，将①②③代入④得，所以该班成绩的标准差为6.答案：6【反思】由上面式④可知，，故也可代此分层方差公式直接计算.一般地，设各层的平均数分别为，，…，，总体平均数为，各层的方差分别为，，…，，各层个体数占总个体数的比例分别为，，…，，则总方差.【变式2】某学校高一年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解高一年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表：男生样本的频率分布直方图女生样本的频率分布表组别频数频率40.108nmp120.3020.05（1）求a和p的值；（2）计算男生样本的平均数和方差；（3）根据上述数据，估计总样本方差.解：（1）由图可知，，解得：，在女生样本的频率分布表中，的频数为4，频率为0.1，的频数为8，所以其频率，又因为，所以.（2）男生样本的平均数，（怎样由频率分布直方图估计方差？我们把每组数据用中点值代表，按此计算方差即可）由所给女生样本的频率分布表可知，女生的样本量为，所以，因为是按比例分层抽取的样本，且男生、女生的人数之比为2:1，所以男生的样本量为80，从而男生样本中，，，的频数分别为，，，，故男生样本的方差.（3）由女生样本的频率分布表可得女生的样本平均数为，方差，所以总样本平均数为，总样本方差为.【反思】由频率分布直方图估计样本平均数，常用各区间中点值代表该区间的所有值，一般来说，设各区间中点值分别为，，…，，对应的频率分别为，，…，，样本平均数为，则样本方差.类型Ⅳ：数据变换、增删后各统计量的分析【例11】已知，，，的平均数为m，方差为n，则，，，的平均数为_____，方差为_____.解析：由新数据的结构特征联想到知识点3第5点这里有引用的结论，由此可直接求新数据的平均数和方差，这里有引用由平均数、方差的性质可知新数据的平均数为，方差为.答案：，4n【反思】对一组数据做统一的线性变换时，新数据的平均数、方差可直接代结论计算.例如，将数据变换成后，其平均数由原来的变成，方差由原来的变成.若不是做统一线性变换（例如有数据的增删），就只能代平均数、方差公式来分析了，我们来看下面的变式1.这里有引用这里有引用【变式1】已知样本数据，，，的平均数是4，方差为2，现样本加入新数据3，4，5，则加入数据后新样本的方差是_____.解析：无法直接看出加入3，4，5后新数据的方差，只能代公式计算，我们先翻译已知条件，由题意，原数据的平均数，所以①，原数据的方差，所以②，故新数据的平均数，将式①代入得③，新数据的方差，将②③代入得.答案：【变式2】若样本数据的平均数为4，的平均数为22，则样本数据，，…，，9的方差为_____.解析：无结论可用，仍然考虑代公式翻译已知和所求，再观察二者联系，由题意，，所以①，，所以②，样本数据，，…，，9的平均数，结合式①可得，故所求方差，结合①②可得.答案：20【反思】从上面两道题可以看到，求新数据的平均数、方差时，若没有结论可用，那就直接代公式翻译已知和所求，再观察所求式与已知式的共同结构，整体代入计算得出结果.【变式3】（多选）有一组样本数据，，…，，其样本平均数为，现加入一个新数据，组成新的样本数据，，…，，，与原样本数据相比，新的样本数据可能（）A．平均数不变 B．众数不变 C．极差变小 D．第20百分位数变大解析：A项，直观感觉可知加入小于平均值的数据，会拉低平均数，下面给出严格论证，因为，所以新样本数据的平均数，故A项错误；B项，无论新加入一个什么数据，出现次数最多的数都可能不变，所以众数可能不变，故B项正确；C项，由于，所以加入后，样本中最大的数据必定不变，当不小于原来的最小数据时，极差不变，当小于原最小数据时，极差会变大，从而极差不可能变小，故C项错误；D项，直观感觉可知只要加入的比原来的第20百分位数大，那么加入后由于数据个数变多了，第20百分位数可能后移，从而变大，下面举个例子，假设原样本数据是1，2，3，…，100，共100个，因为，所以该组数据的第20百分位数为，现在新加入数据，则此时，从而新样本数据的第20百分位数为第21个数据，也即21，比原来大，故D项正确.答案：BD强化训练A组夯实基础1．（2025·江西景德镇期末）若一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别为（）A．11，4 B．8，8 C．11，8 D．4，22．（2024·福建福州一模）（多选）某市抽查一周空气质量指数变化情况，得到一组数据：80，76，73，82，86，75，81，以下关于这组数据判断正确的有（）A．极差为13 B．中位数为82C．平均数为79 D．方差为1243．（2025·北京西城期末）甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温（单位：℃）如下：1日2日3日4日5日6日7日甲地191784649乙地201711109911记这7天甲地每天最低气温的平均数为，标准差为；记这7天乙地每天最低气温的平均数，标准差为，根据上述信息，下列结论中正确的是（）A．，B．，C．，D．，4．（2024·广东南粤名校联考）（多选）某学校随机抽取200名学生数学周测成绩的频率分布直方图如图所示，据此估计该校本次数学周测的总体情况（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），下列说法正确的是（）A．众数为60或70B．25%分位数为65C．平均数为73D．中位数为75B组强化能力5．（2024·广东七校联合体第一次联考）（多选）下列说法正确的是（）A．数据1，2，3，3，4，5的平均数和中位数相同B．数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3C．有甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30D．甲组数据的方差为4，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙组6．（2022·全国甲卷）某社区通过公益讲座来普及社区居民的垃圾分类知识，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差7．（2023·新课标Ⅰ卷）（多选）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（）A．的平均数等于的平均数B．的中位数等于的中位数C．的标准差不小于的标准差D．的极差不大于的极差8．（2023·江苏苏锡常镇四市一模）（多选）某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），分数不低于X即为优秀，已知优秀学生有80人，则（）A．B．C．70分以下的人数约为6人D．本次考试的平均分约为93.69．（2023·江苏苏北七市二调）（多选）已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（）A．甲种的样本极差小于乙种的样本极差B．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数C．甲种的样本方差大于乙种的样本方差D．甲种的样本第60百分位数小于乙种的样本第60百分位数10．（2023·山东济南二模）某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（）A．7.6 B．7.8 C．8 D．8.211．（2024·湖北模拟）（多选）若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为3，乙组样本数据，，…，的平均数为5，下列说法错误的是（）A．a的值不确定B．乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的2倍C．两组样本数据的极差可能相同D．两组样本数据的中位数可能相同12．（2025·山西运城期末）在对某校全体学生每天运动时间的调查中，采用按比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其每天运动时间的平均值为80分钟，方差为10；抽取了女生20人，其每天运动时间的平均值为60分钟，方差为20，结合上述数据，估计全校学生每天运动时间的方差为（）A．78 B．112C．110 D．9613．（2024·江苏模拟）某工厂人员及月工资构成如下：人员经理管理人员高级技工工人学徒合计月工资（百元）22025222010297人数16510123合计22015011020010690（1）指出该工厂人员月工资数据的众数、中位数、平均数；（2）这个表格中，平均数能客观地反映该工厂的月工资水平吗？为什么？14．（2024·河南模拟）已知第10~19届亚运会中国队获得的金牌数如下图所示.（1）求第10~19届亚运会中国队获得的金牌数的极差；（2）剔除第12届亚运会中国队获得的金牌数数据，求剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数；（3）设第10~12届亚运会中国队获得的金牌数的方差为，第13~15届亚运会中国队获得的金牌数的方差为，不通过计算，试比较与的大小，并说明理由.15．（2025·江西景德镇期末）课外阅读有很多好处，可以帮助提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力、提高情感素养和提高人际交往能力.某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的一个学期课外阅读时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在[125,150]内的有80人.（1）求n和a的值；（2）估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（3）求所得数据的中位数.16．（2025·贵州期末）王老师从所教两个班的100名学生中随机抽取40名学生，记录他们期中考试的数学成绩（满分100分），根据所得数据，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）估计这40名学生期中考试数学成绩的平均分和方差（各组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知剩余60名学生期中考试数学成绩的平均分为82，方差为101，结合（1）中求得的结果，估计王老师所教两个班的学生期中考试数学成绩的平均分和方差.C组拓展提升17．（2025·四川成都期末）在某次活动中，登记的8个数据，，…，的平均数为8，方差为16，其中，后来发现应该为10，并且漏登记了一个数据14，则修正后的9个数据的平均数为_____，方差为_____.18．（2025·四川绵阳期末）哈希表（HashTable）是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构.常用的方法之一是“除留余数法”.例如，当除数为3时，键值为13的数据因余1，应存放于位置1中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置（如键值10和13均映射到同一位置），现有一个容量为7个位置（编号0~6）的哈希表，以除留余数法（除数为7）进行映射，需要存储22个数据，设这7个位置存放的数据个数分别为，，，，，，，则下列说法中正确的是（）A．至少有1个位置存放了不少于5个数据B．若这22个数据的键值恰好是0~44间的所有奇数，则的中位数为2C．若的方差为，则的最小值为0，最大值为D．若的极差为5，则最多有2个位置没有存放数据强化训练A组夯实基础1．（2025·江西景德镇期末）若一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别为（）A．11，4 B．8，8 C．11，8 D．4，21．C解析：新数据的平均数为，方差为.2．（2024·福建福州一模）（多选）某市抽查一周空气质量指数变化情况，得到一组数据：80，76，73，82，86，75，81，以下关于这组数据判断正确的有（）A．极差为13 B．中位数为82C．平均数为79 D．方差为1242．AC解析：A项，这组数据中最大的为86，最小的为73，所以极差为，故A项正确；B项，将数据按从小到大的顺序排列为73，75，76，80，81，82，86，最中间的数据为80，所以中位数为80，故B项错误；C项，平均数，故C项正确；D项，方差，故D项错误.3．（2025·北京西城期末）甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温（单位：℃）如下：1日2日3日4日5日6日7日甲地191784649乙地201711109911记这7天甲地每天最低气温的平均数为，标准差为；记这7天乙地每天最低气温的平均数，标准差为，根据上述信息，下列结论中正确的是（）A．，B．，C．，D．，3．B解析：由表中数据可知，1日到7日，甲地每天的最低气温都低于乙地（或相等），且甲地的最低气温数据波动程度高于乙地，所以，.4．（2024·广东南粤名校联考）（多选）某学校随机抽取200名学生数学周测成绩的频率分布直方图如图所示，据此估计该校本次数学周测的总体情况（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），下列说法正确的是（）A．众数为60或70B．25%分位数为65C．平均数为73D．中位数为754．BC解析：A项，用频率分布直方图估计众数，取最高矩形的区间中点即可，由图可知，众数的估计值为65，故A项错误；B项，频率分布直方图中的25%分位数为从左至右，频率和为0.25的位置，先确定25%分位数在哪个区间，从左到右，第一组的频率为，前两组的频率和为，所以25%分位数在上，设为x，则，解得：，故B项正确；C项，平均数，故C项正确；D项，前两组的频率和为，前三组的频率和为，所以中位数在上，设为，则，解得：，故D项错误.B组强化能力5．（2024·广东七校联合体第一次联考）（多选）下列说法正确的是（）A．数据1，2，3，3，4，5的平均数和中位数相同B．数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3C．有甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30D．甲组数据的方差为4，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙组5．AB解析：A项，平均数，中位数，故A项正确；B项，这组数据中，3出现3次，比其余数据出现次数多，所以众数为3，故B项正确；C项，由题意，可设甲、乙、丙三层抽取的个体数分别为3m，m，2m，则，所以，从而样本容量为，故C项错误；D项，方差能刻画数据的稳定程度，故计算乙组的方差，乙组数据的平均数，方差，所以甲组数据的方差较小，甲组数据更稳定，故D项错误.6．（2022·全国甲卷）某社区通过公益讲座来普及社区居民的垃圾分类知识，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差6．B解析：A项，由图可知讲座前10位居民问卷答题的正确率按从小到大排列，第5，6位分别70%，75%，所以中位数为72.5%，故A项错误；B项，由图可知讲座后问卷答题正确率的平均数为，故B项正确；C项，计算标准差较复杂，故考虑直接看图，观察波动情况，结合标准差的统计意义来分析，由图知讲座前问卷答题正确率的数据比讲座后更分散，波动更大，所以讲座前标准差更大，故C项错误；D项，由图可知讲座后问卷答题的正确率的极差为，讲座前为，所以讲座前问卷答题的正确率的极差更大，故D项错误.7．（2023·新课标Ⅰ卷）（多选）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（）A．的平均数等于的平均数B．的中位数等于的中位数C．的标准差不小于的标准差D．的极差不大于的极差7．BD解析：A项，可以想象，和偏离平均数的程度不一定相同，去掉它们后，平均数可能发生变化，下面举个例子，不妨设这组数据为0，2，3，4，5，6，则原平均数，去掉0和6之后的平均数，故A项错误；B项，不妨假设，则和的中位数都是，故B项正确；C项，和偏离平均数较大，去掉它们后，标准差可能减小，故通过直观想象能得出C项错误，下面举个例子，不妨设这组数据为0，1，1，1，1，2，则原数据的标准差不为0（大于0），去掉最小的0和最大的2后，数据为1，1，1，1，标准差为0，所以，从而，故C项错误；D项，沿用B项的假设，则的极差为，的极差为，要比较两个极差的大小，可再将它们作差判断正负，因为，所以，故D项正确.8．（2023·江苏苏锡常镇四市一模）（多选）某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），分数不低于X即为优秀，已知优秀学生有80人，则（）A．B．C．70分以下的人数约为6人D．本次考试的平均分约为93.68．AD解析：A项，由题意，，解得：，故A项正确；B项，优秀的学生有80人优秀的频率为，于是要求X，只需找到从右至左频率和为0.08的位置，由图可知，这组的频率为，这组的频率为，所以X在内，且，解得：，故B项错误；C项，由图可知70分以下的频率为，所以频数为，故C项错误；D项，本次考试的平均分的估计值为，故D项正确.9．（2023·江苏苏北七市二调）（多选）已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（）A．甲种的样本极差小于乙种的样本极差B．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数C．甲种的样本方差大于乙种的样本方差D．甲种的样本第60百分位数小于乙种的样本第60百分位数9．ABD解析：A项，甲种的样本极差为，乙种的样本极差为，，故A项正确；B项，由所给数据，，，所以，故B项正确；C项，显然甲组数据更集中，故结论正确，下面我们也严格地求一下方差，，，所以，故C项错误；D项，求样本的第p百分位数，先按求i，并观察i是否为整数，因为，所以i是整数，故取第i个和第个数据的平均值作为第60百分位数，所以甲种样本的第60百分位数为，乙种样本的第60百分位数为，故D项正确.10．（2023·山东济南二模）某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（）A．7.6 B．7.8 C．8 D．8.210．B解析：设5次射击的环数按从小到大排列依次为，，，，，因为中位数为8，所以，又唯一的众数为9，所以，且，因为极差为3，所以，故，还差，条件已经用完了，怎么求？可以把的范围写出来再看，因为，所以，结合为整数可得，所以这组数据的平均数.11．（2024·湖北模拟）（多选）若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为3，乙组样本数据，，…，的平均数为5，下列说法错误的是（）A．a的值不确定B．乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的2倍C．两组样本数据的极差可能相同D．两组样本数据的中位数可能相同11．ABC解析：A项，由平均数性质，，所以，从而，故A项错误；B项，由方差性质，，故B项错误；C项，不妨设，则，所以甲组数据的极差为，乙组数据的极差为，因为甲组数据各不相同，所以，从而，故C项错误；D项，直观想象可发现，乙组数据是将甲组数据先全部2倍后，再减1得到的结果，这一操作有可能不改变数值，即，由此得，若这个1恰为两组数据各自的中位数，则它们的中位数相同，下面我们举个具体的例子，设甲组数据为，0，1，2，13，则其中位数为1，相应的乙组数据为，，1，3，25，中位数也为1，所以甲、乙两组数据的中位数可能相同，故D项正确.12．（2025·山西运城期末）在对某校全体学生每天运动时间的调查中，采用按比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其每天运动时间的平均值为80分钟，方差为10；抽取了女生20人，其每天运动时间的平均值为60分钟，方差为20，结合上述数据，估计全校学生每天运动时间的方差为（）A．78 B．112C．110 D．9612．C解析：因为是按比例分配的分层抽取，所以可用总样本方差估计总体方差，如何求总样本方差？已有各层均值和方差，可直接代本节例10变式1反思这里有引用中总结的公式计算，这里有引用由题意，男生层的平均数，方差，女生层的平均数，方差，所以总样本平均数，从而总样本方差，故可估计全校学生每天运动时间的方差为110.13．（2024·江苏模拟）某工厂人员及月工资构成如下：人员经理管理人员高级技工工人学徒合计月工资（百元）22025222010297人数16510123合计22015011020010690（1）指出该工厂人员月工资数据的众数、中位数、平均数；（2）这个表格中，平均数能客观地反映该工厂的月工资水平吗？为什么？13．解：（1）该工厂人员月工资数据中，20出现次数最多，所以众数为20；数据共23个，按从小到大排列，第12个数据是22，所以中位数为22；平均数为.（2）不能.因为虽然月工资的平均数为3000元，但只有经理的月工资在平均数以上，其余人员的月工资都在平均数以下，说明平均数受到了经理的月工资这一极端数据的影响，不能客观地反映该工厂的月工资水平.14．（2024·河南模拟）已知第10~19届亚运会中国队获得的金牌数如下图所示.（1）求第10~19届亚运会中国队获得的金牌数的极差；（2）剔除第12届亚运会中国队获得的金牌数数据，求剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数；（3）设第10~12届亚运会中国队获得的金牌数的方差为，第13~15届亚运会中国队获得的金牌数的方差为，不通过计算，试比较与的大小，并说明理由.14．解：（1）由所给图形可知金牌数最多为201枚，最少为94枚，所以极差为.（2）剔除第12届亚运会中国队获得的金牌数数据，剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数为.（3）由所给图形可知，第10~12届亚运会中国队获得的金牌数的波动性明显比第13~15届亚运会中国队获得的金牌数的波动性大，所以.15．（2025·江西景德镇期末）课外阅读有很多好处，可以帮助提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力、提高情感素养和提高人际交往能力.某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的一个学期课外阅读时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在[125,150]内的有80人.（1）求n和a的值；（2）估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）