2025高考数学考点巩固卷06 利用导数研究函数的单调性、极值和最值（八大考点）（原卷版）

利用导数研究函数的单调性、极值和最值（八大考点）考点01：利用导数求函数的单调区间求已知函数（不含参）的单调区间①求的定义域②求③令，解不等式，求单调增区间④令，解不等式，求单调减区间注：求单调区间时，令（或）不跟等号.1．已知函数，则的单调递减区间为（

）A． B． C． D．2．函数的单调递减区间是（

）A． B．C． D．3．函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．4．函数单调递减区间是（

）A． B．C． D．5．已知函数，其导函数为．(1)求在处的切线方程；(2)求的单调区间．6．已知函数(其中为常数)．(1)当时，求函数的单调区间；(2)求函数在上的最小值．7．已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，证明：；(3)若既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．8．设函数.(1)若是的极值点，求a的值，并求的单调区间；(2)讨论的单调性；(3)若，求的取值范围.9．已知函数(1)求函数的单调区间；(2)函数有唯一零点，函数在上的零点为．证明：．10．已知函数．(1)当时，求曲线在点处切线的斜率；(2)当时，讨论的单调性．考点02：求已知函数的极值与最值1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．11．函数，则下列结论错误的是（

）A．在区间上不单调 B．有两个极值点C．有两个零点 D．在上有最大值12．函数的极大值为（

）A． B． C． D．13．函数的极大值为（

）A． B．0 C．e D．114．若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是.15．已知函数，若方程有2个不同的实根，则实数的取值范围是.16．已知函数的图象在点处的切线过点．(1)求实数的值；(2)求的单调区间和极值．17．已知函数.(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程(2)当时，求函数的极值(3)若在上是单调增函数，求实数a的取值范围.18．已知函数（）.(1)求函数的极值；(2)若集合有且只有一个元素，求的值.19．已知函数.(1)求函数的单调区间和极值;(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.20．已知.(1)求的单调区间，并求其极值；(2)画出函数的大致图象；(3)讨论函数的零点的个数.考点03：已知函数在区间上递增（递减）求参数已知函数在区间上单调①已知在区间上单调递增，恒成立.②已知在区间上单调递减，恒成立.注：1.在区间内是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；2.可导函数在区间是增（减）函数的充要条件是：都有，且在的任意一个子区间内都不恒为；3.由函数在区间是增（减）函数，求参数范围问题，可转化为恒成立问题求解.21．若函数的单调递增区间是，则（

）A． B． C． D．222．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．23．已知函数在区间[1，2]上单调递增，则实数a的最大值是（

）A．1 B． C． D．24．已知函数在上单调递增，则的最大值为（

）A．3 B． C． D．25．已知函数为定义域上的减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．26．若对任意的，且，，则的最大值是．27．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是.28．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为.29．已知函数．(1)若在定义域内是单调函数，求a的取值范围；(2)若有两个极值点，，求证：．30．已知函数(1)写出函数的定义域，求当时的单调区间；(2)若，在区间上为减函数，求a的取值范围.考点04：已知函数存在单调区间或在区间上不单调求参数已知函数在区间上不单调，使得（且是变号零点）31．函数在上不单调的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．32．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．33．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．34．已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．35．已知函数在上不单调，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．36．已知在上不单调，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．37．已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．38．已知函数．(1)若，求函数的极小值；(2)讨论函数的单调性；(3)若，令，且在上不单调，求实数的取值范围．39．已知函数，，若在上不单调，求a的取值范围.40．已知函数在处取得极大值，且极大值为3.(1)求的值：(2)求在区间上不单调，求的取值范围.考点05：利用函数的单调性比较大小核心思想一：由引出的大小比较问题如图所示：①在在，在时，取得最大值且为②极大值左偏，且③若，则若，则口诀：大指小底永为大（大小指）核心思想二：对数等比定理41．若函数对任意的都有成立，则与的大小关系为（）A． B．C． D．无法比较大小42．已知，则下列有关的大小关系比较正确的是（

）A． B． C． D．43．比较，，的大小关系为（

）A． B．C． D．44．若函数对任意的都有恒成立，则与的大小关系正确的是（）A． B．C． D．无法比较大小45．对于一些不太容易比较大小的实数，我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知，，，要比较，，的大小，我们就可通过构造函数来进行比较，通过计算，你认为下列关系正确的一项是（

）A． B． C． D．46．已知，，，试比较，，的大小（

）A． B． C． D．47．我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根x叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．48．设，比较的大小关系（

）A． B．bC． D．49．已知，试比较的大小关系（

）A． B．C． D．50．已知，试比较大小关系（

）A． B． C． D．考点06：利用函数单调性处理抽象不等式单调性定义的等价形式（1）函数在区间上是增函数:任取，且，都有；任取，且，；任取，且，；任取，且，.（2）函数在区间上是减函数:任取，且，都有；任取，且，；任取，且，；任取，且，.定义法判断函数奇偶性判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．利用单调性、奇偶性解不等式原理1、解型不等式（1）利用函数的单调性，去掉函数符号“”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解；（2）若不等式一边没有函数符号“”，而是常数（如），那么我们应该将常数转化带有函数符号“”的函数值再解。2、为奇函数，形如的不等式的解法第一步：将移到不等式的右边，得到；第二步：根据为奇函数，得到；第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“”，列出不等式求解。51．已知函数，关于的不等式的解集为，则（

）A． B． C．0 D．152．若函数与的图象有且仅有一个交点，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．53．已知函数，若不等式的解集为，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．54．关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．55．定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．56．已知定义在上的奇函数满足：，则关于的不等式在的解集为（

）A． B．C． D．57．已知函数，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．58．已知函数，关于x的不等式的解集中有且只有一个整数，则实数a的范围是（

）A． B．C． D．59．定义在上的函数的导函数为，且对任意恒成立.若，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．60．已知定义在R上的奇函数满足，且当时，则不等式在上的解集为（

）A． B．C． D．考点07：根据极值点（最值点）求参数题型1：已知极值点求参数的值.1.已知函数有极值点，求参数的值或范围,一般有两种情况：（1）由可以解出参数的值，这类题较为简单，只需由求出参数的值，再代回去研究的单调性，确认在处取得极值即可.（2）由不能解出参数的值，这类题一般需要对参数进行分类讨论，研究函数的单调性，当的表达式较为复杂时，可能需要用到二阶导数，甚至三阶导数.当我们知道函数的具体极值点是极大值还是极小值求参数时，也可以利用下面高观点方法，当然，这个方法仅供有兴趣的同学了解，并非通法，它在解决一些问题时要方便一些.2.极值第二充分条件：若，且，则若，则在处取得极大值；若，则在处取得极小值.3.极值第二充分条件：若在处具有直到阶的连续导数，且，但，则：当为偶数时，为函数的极值，当为奇数时，不是函数的极值.题型2：已知极值个数求参数的范围这类问题的形式就是已知存在几个极值点，求参数的取值范围.这类问题实质是考察导函数的变号零点个数，注意：是“变号”零点.通常情况下，这类问题可通过求导后讨论导函数的零点个数来完成，首选分离参数的方法解决，若不行，再将导函数作为一个新的函数来讨论其零点个数.61．若函数在处取得极值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．62．已知函数在处取得极值，则（

）A．4 B．11 C．4或11 D．3或963．若函数在处取得极值，则函数在区间上的最小值为（

）A． B．1 C．3 D．564．若函数有两个极值点，且，则下列结论中不正确的是（

）A． B．C．的范围是 D．65．若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．66．若为函数的极大值点，则实数的取值范围为（

）.A． B．C．或 D．67．函数在区间上有最小值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．68．已知函数，若在处取得极小值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．69．已知函数在区间上有定义，且在此区间上有极值点，则实数的取值范围是．70．已知函数，若是函数的驻点，则实数考点08：导函数图像与原函数图像的关系原函数与导函数互相判断应遵循以下步骤：①若已知导函数判断原函数第一步：观察导函数轴的上下，上则为递增，下则为递减.第二步：导函数轴的值越大，则原函数增的越快（斜率越大）②若已知原函数判断导函数第一步：观察原函数是上坡路还是下坡路，若为上坡路则导函数，若为下坡路则.导函数第二步：原函数斜率越大，则导函数轴的值越大，原函数斜率越小，则导函数轴的值越小.71．已知函数的导函数为，定义域为，且函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（

）

A．有极小值，极大值B．仅有极小值，极大值C．有极小值和，极大值和D．仅有极小值，极大值72．已知函数，其导数的图象如下图所示，则（

）A．在上为增函数B．在处取得极小值C．在处取得极大值D．在上为增函数73．已知定义域为的函数的导函数为，，且的图象如图所示，则的值域为（

）A． B． C． D．74．已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．是极大值点C．的图象在点处的切线的斜率等于0D．在区间内一定有2个极值点75．已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（

）A． B．C． D．76．函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．77．已知函数的图象如图所示，则下列正确的是（

）A． B．C． D．78．已知