机械能守恒定律课件

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力学中的守恒定律

*QP§2-1机械能守恒定律一、功和功率1、功（work）:力在物体移动过程中的空间效果1）恒力所作的功dA

称为元功，功等于质点受的力和它的位移的点积。2）变力所作的功

记作位移无限小时：

如果力是位置的函数，设质点在力的作用下沿一曲线运动，则功的计算如下：(点乘积，标量积)*在元位移中将力视为恒力，力沿P、Q所作的功为所有无限小段位移上的元功之和。3）合力所作的功元功：dA

元位移：QP解析式：*2、功率（power）

力在单位时间内所作的功功率的另一种形式：公式为：功率等于力在运动方向的分量与速率的乘积，或等于力的大小与速度在力的方向的分量的乘积。

SI制中功的单位是J(焦耳，简称焦)，1J=1N

m功率的单位：J

s

1(焦耳/秒)或W(瓦特,简称瓦)注意：(1)功是过程量，与路径有关；(2)功是标量，但有正负；(3)合力的功为各分力的功的代数和。*θyxO

｛h

解取如图所示的坐标系,其分量式为:

在x方向:在y方向:αAR

例1

质量为m的小球系在长度为R的细绳末端,细绳的另一端固定在点A,将小球悬挂在空间。现小球在水平推力

的作用下,缓慢地从竖直位置移到细绳与竖直方向成

角的位置。求水平推力

所作的功(不考虑空气阻力)。

小球受推力

、细绳的张力和小球所受重力

三个力始终是平衡的,即

*上两式相除得取元位移，变力所作的元功为偏转α角的过程中的总功为θyxO

｛hαAR*

例2

已知弹簧的劲度系数k=200N

m

1,若忽略弹簧的质量和摩擦力,求将弹簧压缩10cm,弹性力所作的功和外力所作的功。xOyxxOy

解：取如图所示的坐标系弹簧的弹力为在x处取元位移dx,弹力所作元功弹性力所作的总功为外力所作的功为*二、动能和动能定理

质点由点P运动到点Q，合力对质点所作的功为质点的动能(kineticenergy)定义：质点的质量与其运动速率平方的乘积的一半。用Ek表示，即*所以有动能定理：作用于质点的合力所作的功，等于质点动能的增量。，表示合力对质点作正功，，质点的动能增大；，表示合力对质点作负功，，质点的动能减小；所以说，功是质点能量改变的量度。

扩展：所有外力和内力对物体系所作的功之和等于物体系总动能的增量。*动能定理讨论：

(1)动能定理反映的是某一力学过程中，物体运动状态变化与力的空间累积效应的关系。动能和运动状态相联系，功和运动过程相联系，运动过程中动能的变化由功来量度。对功的认识就从物体在力的作用下发生位移这种现象，深入到改变物体动能这一本质。

(2)功和动能都是与参照系有关的量。但动能定理在不同惯性系中都成立，这是力学相对性原理的必然结果。在一般情况下，如无特别声明，就是指以地面为参照系。*

例3

小球以初速率vA

沿光滑曲面向下滚动,如图所示。问当小球滚到距出发点A的垂直距离为h的B处时,速率为多大?

解建立右图的坐标系，小球在滚动过程中受到和两个力的作用。合力为

根据动能定理有即*而重力加速度的分量式，即解得末速率为于是有所以因始终垂直于，所以*

由物体间的万有引力和相对位置所决定的势能，称为万有引力势能，简称引力势能。重力势能是处于地球附近的物体与地球之间万有引力作用结果的一种简单而重要的特例。三、势能势能：由物体间的相互作用和相对位置决定的能量。1、引力势和重力势能(potentialenergy)

物体沿一曲线从点P移到点Q。当物体在任一点C时，所受地球引力为地球*地球若选择无限远处引力势能为零，引力势能表达式为取元位移，则有引力所作的元功为物体从点P到点Q，引力所作的总功为*物体在点P和点Q的引力势能分别为所以

此式表示，万有引力所作的功等于系统引力势能增量的负值，即引力势能的降低。在地球表面附近时，近似有rPrQ=R2，*式中hP=rP

R,hQ=rQ

R,分别为点P和点Q

距地面的高度。若选择h=0

处的重力势能为零,则重力势能表达式于是有此式表明，重力所作的功等于系统重力势能增量的负值，即重力势的降低。由以上讨论知：万有引力、重力所作的功，决定于质点的始、末位置，而与质点运动的路径无关。

*2、弹力势能总功选择平衡位置处弹力势能为零，弹力势能表达式为所以此式表示，弹性力所作的功等于弹簧系统弹力势能增量的负值，即弹力势能的减少量。元功*3、保守力(conservationforce)物体在某种力的作用下，沿任意闭合路径绕行一周所作的功恒等于零，即具有这种特性的力，称为保守力；不具有这种特性的力称为非保守力。*1、只要有保守力，就可引入相应的势能。2、势能是状态函数。质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。3、势能仅有相对意义，所以必须指出零势能参考点。两点间的势能差是绝对的，即势能是质点间相对位置的单值函数。4、势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的。势能小结*引力势能：万有引力是保守力。万有引力的功等于引力势能增量的负值。引力势能以无穷远处为零势能点。重力势能：重力是保守力。重力的功等于重力势能增量的负值。重力势能以地面为零势能点。弹性势能：弹性力是保守力。弹性力的功等于弹性势能增量的负值。弹性势能以弹簧原长为零势能点。*四、机械能守恒定律1、功能原理

A外

+A内

=EkQ

EkP

外力和内力对系统所作的功的代数和，等于系统内所有质点的总动能的增量，质点系的动能定理。

A内

=A保内

+A非保内

因为

A保内

=

(EpQ

EpP)而

A外

+A非保内

=(EkQ+EpQ)

(EkP+EpP)

所以由

n

个相互作用着的质点所组成的质点系。系统中质点既受来自系统以外的力(称为外力)的作用,也受到系统内部其他质点的力(称为内力)的作用。

*于是有

A外

+A非保内

=E(Q)

E(P)

此式表明，在系统从一个状态变化到另一个状态的过程中，其机械能的增量等于外力所作功和系统的非保守内力所作功的代数和。此规律称为系统的功能原理。2、机械能守恒定律(lawofconservationofmechanicalenergy)系统的动能与势能之和称为系统的机械能，用E表示如果

A外

+A非保内

=0则有

E(Q)=E(P)或

EkQ+EpQ=EkP+EpP

*机械能守恒定律：在外力和非保守内力都不作功或所作功的代数和为零的情况下,系统内质点的动能和势能可以互相转换,但它们的总和,即系统的机械能保持恒定。能量守恒定律是物理学中具有最大普遍性的定律之一,也是整个自然界都遵从的普遍规律,机械能守恒定律只是它在力学范围内的一个特例。

能量不会消失，也不会产生，只能从一种形态转换为另一形态。这就是普遍的能量守恒定律。

能量反映运动形态。存在热能,电磁能,核能,化学能,以及生物能等各种形态的能量。大量事实表明,不同形态的能量之间,可以彼此转换。

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能量守恒定律是从无数事实中得出的结论，是物理学中具有最大普遍性的定律之一，可以适用于任何变化过程，不论是机械的、热的、电磁的、原子和原子核内的以及化学的、生物的等等。

能量守恒定律能使我们更深刻地理解功的意义，能量的交换在量值上就用功来描述，所以功是能量交换或变化的一种量度。

还应该指出，不能把功和能量看作是等同的。功总与能量变化或交换的过程相联系着，而能量代表着系统在某一状态时所具有的特性，能量的量值只决定于系统的状态，系统在一定状态时，就具有一定的能量。所以说能量是系统状态的单值函数。*例1

求使物体脱离地球引力作用的最小速度。

(第二宇宙速度，地球的逃逸速度）

解根据机械能守恒定律有由逃逸速度公式联想？

星球质量足够大以致算得的逃逸速度正好等于真空中的光速c,那么一切物体都不能摆脱其引力束缚而逃逸,甚至光子也不能例外,我们看不到它。“黑洞”如何发现黑洞?“引力透镜”效应。

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例2

求使物体不仅摆脱地球引力作用,而且脱离太阳引力作用的最小速度。(第三宇宙速度）解根据机械能守恒定律有地球公转速度物体相对于地球速度*相对地球的动能脱离地球引力所需动能所以从地面发射时所需最小动能为由此可得第三宇宙速度*物体沿斜面