2025高考数学二轮复习-拉档提分数列221-230-专项训练【含答案】

由代人式得同理可得由此可推出（2）=1\*GB3①当时，由式知猜想成立.=2\*GB3②假设时，成立.故，即所以舍由得.则得即时，命题也成立.由=1\*GB3①=2\*GB3②知，对一切成立.（3）由(2)得数列前项和.故2.【解析】（1）由，，可得，，.（2）推测，证明如下：=1\*GB3①当时.左边右边，结论成立。=2\*GB3②时，有，则当时，故当时,结论成立.由=1\*GB3①=2\*GB3②知，.3.【解析】（2）猜测当时，显然成立.假设时成立，则时，由,及，得，故故当时，结论成立.由=1\*GB3①=2\*GB3②可知，对都有例4【变式训练】1.【答案】证明略2.【解析】由递推公式算出前几项：，猜想，再用数学归纳法证明，过程略.例5【变式训练】1.【答案】证明略2.【答案】证明略例6【变式训练】【解析】（1）将已知等式展开整理得，解得，由知.故（2）由猜想.（ⅰ）当时命题成立；（ⅱ）假设当，命题成立，即.那么,即时命题成立.由（ⅰ）（ⅱ）可知对一切自然数命题都成立.例7【变式训练】【解析】（1）当时.(2)由此猜想.证法1:因为，且，所以.证法2:用数学归纳法证明.（i）当时，公式成立：（ii）假设时公式成立,即，则时，公式仍成立.由可知，对任意均成立.例7【拓展提升】【解析】（1）由已知得可知故.（2）因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，可用数学归纳法证明对任意，是3的倍数.当时，则中的所有元素都是3的倍数；当时，因为或所以是3的倍数，于是是3的倍数，类似可得都是3的倍数.从而对任意是3的倍数,因此中的所有元素都是3的倍数.(3)首先中的元素都不超过36，由易得36,类似可得，其次中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数,由的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，考察中的数除以9的余数，由定义可知和除以9的余数一样.=1\*GB3①若中有3的倍数，由(2)知,所有的都是3的倍数,所以除以9的余数为或或而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36，则中的数从第三项起最多有2项,加上前面两项,最多4项；=2\*GB3②若中没有3的倍数，而都不是3的倍数，对于，除以9的余数只能是1,4,7,2,5,8中的一个，从起除以9的余数是项不断循环(可能从2,4,8,7或5开始而除以9的余数是1,2,4,8,5且是4的倍数(不大于36)的，只有28,20,4,8,16,32，所以中的项加上前两项最多8项，则时,,项数为8，所以集合的元素个数的最大值为8.【评注】考点：（1）分段函数型数列通项公式求值；（2）数学归纳法证明；（3）数列元素分析三、数列恒等问题的数学归纳例4【变式训练】1.【解析】（i）当时等式成立：（ii）假设时等式成立，则当时，左边=，即当时等式成立，综上可知待证等式成立.2.【提示】当时，左边=3.2.【提示】当时，左边=【评注】变式训练2,3只给出了关键证明.例6【拓展提升】【解析】（i）当时，左边右边等式成立.(ii)假设当时等式成立，即当时,左边即时等式成立.由可知对，等式成立.四、数列不等问题的数学归纳例3【变式训练】1.【解析】（i）当时，左边右边左边<右边，（ii）假设时，命题成立，命题成立，即当时,有：由（i）（ii）可知，原不等式对任意且均成立.【评注】用数学归纳法证明与正整数有关的不等式时，应注意在归纳假设的基础上，进行合理放缩.2.【解析】（i）当时,左边不等式成立.（ii)假设当时，不等式成立，即，则当时，左边3.【解析】（i）当时,左边右边，显然，左边>右边，原不等式成立；（ii)假设当时不等式成立，即,那么当时，又所以即时，不等式也成立.由（i）（ii）可知，不等式对任意均成立.【评注】采用“取差法”证明不等关系成立，降低了解题难度.例5【变式训练】【解析】（i）当时，显然成立；（ii）假设当时，成立，那么当时，由归纳假设有，所以只需要证即只需要证=1\*GB3①.因为所以=2\*GB3②因为由归纳假设知成立，所以有，又，所以=3\*GB3③由=2\*GB3②=3\*GB3③两式知=1\*GB3①式成立.由(i)(ii)知待证命题成立.例5【拓展提升】【解析】(1)略(2)题设条件两边都是正数，直接两边除以看到与这就是常用处理)则有由知，所以，则.（3）解法1：数学归纳法.（i）当时，显然成立；（ii）设当时成立，则当时，，考虑二次函数的单调性可得当，函数单调递增，所以.只需要证.以及即可，以下略.由(i)(ii)知待证不等式成立.【评注】利用递推关系证明不等式时，常常可以用数学纳法，k到那步就可以利用函数的单调性解决.解法2:放缩法.又所以.又所以，故所以利用累加法可得综上知例6【变式训练】【解析】（1）由得解得，故(2)则.时，时，时，；时，；时，；时，.猜想当时，当时，；假设当时当时，故当时，成立.综上可知，对成立.由上分析可知，当或时;当或时，；当时，.例7【变式训练】【解析】当或时，原不等式中等号显然成立.下面用数学归纳法证明:当，且时.（i）当时，左边，右边,因为，所以，即左边>右边，；假设当时，不等式成立，即，则当时，因为，所以又因为所以于是在不等式两边同乘以得，所以，即当时，不等式也成立.综上所述，所证不等式成立.【评注】这是贝努利不等式，很有用.第七章数列函数，解几结合一、数列函数，有机结合1.数列与反比函数有机结合例1【变式训练】【解析】由题意有所以,进而得，所以.，.2.与一次函数有机结合例2【变式训练】【答案】（1），（2）提示：3.与二次函数有机结合例7【变式训练】1.【解析】（1）由可得又在函数的图象上，则..2.【解析】因为，，所以,即又，可知对任何,所以，即，，即是以1为首项,公比为的等比数列.例7【拓展提升】1.【解析】（1）由已知得，则又，故，两边取对数得，即，所以是公比为2的等比数列.（2）由(1)知则即（3）由得,则又，所以，所以.由，，，得，又，则成立.2.【解析】（1）设过点的直线方程为.又设，，联立方程得消去得，，从而有，设的重心坐标为，则有消去，即得.（2）由,，得，上式右边当且仅当时等号成立.假设，则上式右边当且仅当时等号成立.由此得到，从而有.4.与指数函数有机结合例9【变式训练】1.【解析】，当时，递增，当时递减，所以最大项为.2.【解析】,可得，所以是首项为1公差为1的等差数列，.【评注】第1题中，欲求的最大值，可先确定数列的单调性，只要比较与的大小即可.第2题中要求的通项公式，可先确定与的递推关系.数列是一类特殊的函数，在解决某些数列问题时，可借助函数知识和方法求解.4.与反函数有机结合例13【拓展提升】【解析】由，得，即，的实不动点为或，，即，所以.【评注】解函数“不动点”问题,就是求对应方程的根，这是典型的函数与方程思想的具体体现.另外，此题运用函数与数列知识之间的交叉和组合,是基础性与综合性相结合的最佳表现形式.2.【解析】通法1：因为数列是递增数列，所以，因为,又所以解得或解法2:因为是递增数列，所以，即，化简得.所以或【评注】本题从函数出发，利用递增数列这一已知条件，将求取值范围的问题转化为解不等式的问题.二、数列解几，有机结合1.与势物线的结合例2【变式训练】【解析】（1）依题设有：，由得，则，又直线在轴上的截距为，满足，得，由，得，故.显然，对于，有（2）设，则因为，故，设则当时，所以,取对任意都有，故有成立.2.【答案】3.【答案】【提示】.4.【答案】【提示】例2【拓展提升】1【解析】（1）如图，由已知得抛物线方程为，，则设过点的切线为，令故.又，所以，.（2）由(1)知