2024年上海市高考数学试卷及解析

2024年上海市高考数学试卷

一、填空题(本大题共12题，满分54分，第L6题每题4分，第7-12题每题5分).

1.设全集。={1,2,3,4,5},集合4={2,4},则耳=.

2.已知/(丫)=[«'">0,/(3)=____________.

1,工,0

3.已知不£民工2-2工—3<0的解集为

4.己知/。)=d+〃,X£R,若/(幻是奇函数，则〃=.

5.已知左£凡〃=(2,5),力=(6次),。//,则％的值为.

6.在(x+1)〃的二项展开式中，若各项系数和为32,则/项的系数为

7.己知抛物线/二以上有一点P到准线的距离为9,那么P到x轴的距离为

8.某校举办科学竞技比赛，有AB、。三种题库,A题库有5000道题,8题库有

4000道题,C题库有3000道题.小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92,B题

库的正确率是0.86,C题库的正确率是0.72,他从所有题中随机选一题，正确率是

2

9.已知虚数z,其实部为1,Imz工(),且z+-=rn(mGA),则实数m为.

z

1().设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两数之积皆为

偶数，则集合中元素个数的最大值是___________.

11.海面上有两个灯塔。、7和两艘货船4丛其中货船A在。正东方向,8在O

的正北方向,观测知。到43距离相等,28TO=16.5",NATO=37。,则ABOT=

.(精确到0.1度)

T

B

12.无穷等比数列0｝首项4>0应>1,记集合/〃=*-对北”以冯心以"小］｝,

若对任意正整数〃/都是闭区间，则^的取值范围是__________.

二、选择题(本大题共4题，满分18分,13・14题每题4分，第15-16题每题5分).

13.人们通过统计沿海地区的气候温度和海水表层温度的数据，研究发现两者息息

相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是()

A.气候温度高，海水表层温度就高

B.气候温度高，海水表层温度就低

C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势

D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势

14.下列函数/(幻的最小正周期是2万的是()

A../(Jt)=sinx+cosxB./(x)=sinjicosjv

C./(x)=sin2x+cos2xD./(x)=sin2x-cos2x

15.定义一个集合。，集合中的元素是空间内的点集，任取/g,勺£C,存在不全为

o的实数4,4,4,使得40尸1+40鼻+40「3=0.已知(1,0,0)£。,则(0,0,1)€。

的充分条件是()

A.(O,O,O)eQB.(-1,0,0)GQC.(0,1,0GQ)D.(O,O,-l)eQ

16.定义集合M={XolVxw(-oo,Xo)J(x)</(%)},若的所有/(x)巳下

列成立的是()

A.存在)，=/(%)是偶函数

B.存在y=/(A)在x=2处取最大值

C.存在y=/。)是严格增函数

D.存在y=/(x)在工=-1处取到极小值

三、解答题(本大题共5题，第17-19题每题14分，第20,21题每题18分，共78分)

17.如图:正四棱锥ABC。,。为底面ABCD的中心.

⑴若4P=5,AO=30,求APQ4绕尸。旋转一周形成几何体的体积.

(2)若A尸=ARE为棱P力的中点,求直线BD与平面AEC所成角的大小.

18.若/(x)=logflx(a>0,。w1).

(Dy=fM过(4,2),求/(2x-2)</")的解集;

⑵存在工使得/(x+l)J(or)J*+2)成等差数列，求。的取值范围.

19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生

中抽取580人,得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：

间范围

[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

学业J总、合计

优秀544423195

不优秀1341471374027485

合计1391911794328580

(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为多少？

⑵估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到01)

(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小

于2小时有关？

[1.2)其它合计

优秀aba+b

不优秀Cdc+d

合计a+cb+da+h-\-c+d

n(ad-be)2

附：/=，其中〃=a+O+，尸(/23.841)+0.05

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

20.双曲线一与=1,(/?>0)，4,4为左右顶点,过点用(-2,0)的直线/交双曲线

「于RQ两点.

(1)若6=2时，求〃的值

(2)若点P在第一象限”=冬区,为等腰三角形时，求点P的坐标.

3■

⑶过点。作。。延长线交「于点R,若=L求人取值范围.

21.已知。是R的非空子集，y=/(x)是定义在R的函数.对于点M(。向，令

S(x)=(X-。)2+(7(%)-6)2,若对于尸(%,/(/))，满足S(X)在X=X。处取得最小值,

则称尸是M的/最近点.

⑴对于fM=L。=(0,内)，求证:对于点M(0,0)，存在点M的/最近点；

X

(2)对于f(x)=e\D=R,"(1,0)，若y=/*)上一点尸满足“尸垂直于y=f(x)在

点尸处的切线，则P是否是M的/最近点？

⑶D=R,y="r)是可导的，y=g(x)在定义域R上函数值恒正，已知XR,

M«-1"(。­(。),"(一"(£)+8(。).若对任意的小心都存在点尸,满足尸是

M的f最近点.也是M,的f最近点，试求y=/。)的单调性.

2024年上海市高考数学试卷解析

一、填空题.

1.【答案】A={1,3,5)

2.【答案】G

3.【答案】(-1,3)

【解析】x2-2x-3=(x+l)(x-3)<0=>XG(-1,3)

4.【答案】a=O

【解析】f(O)=O=>a=O

5.【答案】15

【解析】行//n2攵=5x6nk=15

6.【答案】1()

【解析】2n=32=>n=5

:.C^=\0

7.【答案】4&

【解析】尤『+1=9=/=8

=4xr=4x8=32=>yp=±4夜

所以P到x轴的距离为4夜

8.【答案】0.85

543

【解析】—x0.92+—x0.86+—x0.83=0.85

121212

9.【答案】2

【解析】设z=a+〃i

〃2

z+2=i++=14-/?/+

z14-/7/

2-2/7/

=\+hi+

所以b—=0=>/?=±l

\+b~

所以m=2

10.【答案】329

【解析】A中的奇数至多1个A中的偶数，对于二个数码若个位为0,则看9x8=72

个若个位为2,4,6,8,则有4x8x8=256,故A中最多有329个元素.

11.【答案】7.8。

【解析】设/BOT=aMZAOT=90,一a,NA=53°+。

OT_OTsinA_sinBsin(53'+a)_sin(16.5+a)

OA-OBsinZ/lTO-sinABTOsin37°-sin16.5°

sincrcos530+cosasin53"_sinacos16.5"+cosasin16.5"

cos530sin16.5°

=sina+cosatan53"=sin〃cotl6.5"4-costz

12.【答案】［2,+8)

【解析】由题意，不妨设儿若x，y均在■，见］厕有X—yW。，生-4］，者X，)'均

在，则有X-)'£［°，。向-4］若分别在两个区间则

x-y€[%-出，%+1-*，又因为q>1，总有In是闭区间，则。〃一%W%+1-%恒成立

即可,化简得41(夕-2)+^之(),所以有422恒成立

二、选择题.

13.【答案】C

【解析】随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势，相关系数为正数

所以选C

14.【答案】A

【解析】AJ(x)=cosx+sinx=&sin(x+?),T=2乃，正确

B./(x)=sinxcosx=-sin2x,T=万错误

2

C.f(x)=sin2%+cos2x=1,错误;

D.f(x)=sin2x-cos2=-cos2x,T=1，错误;

所以选A

15.【答案】C

【解析】若(0,T0)wC,假设(0,0,l)wC

取彳(1,0,0),鸟(0,TO),鸟(0,0,1),则

4OR+4OR,+4OP3=0

4=4=4=()矛盾!

・•.(0,0,1)纪。

所以选C.

16.【答案】B

【解析】-1GM

.•.x=T不是极小值点，排除D

假设/(x)严格递增，则M=/?,矛盾！排除C

任取加电,使得<工2《1

x2eM

fW<f(x2)

・••/(工)在［15严格递增，排除A

所以选B.

三、解答题

17.【答案】(1)12肛(2)f

4

【解析】⑴因为0-至8是正四棱锥，所以底面488是正方形，且OPL层面

A4CO,因为AO=3VL所以AO=QD=N=OC=3

因为AP=5,所以PO=JA尸一/O2=4

所以A/YM绕OP旋转一周形成的几何体是以3为底面半径,4为高的圆锥

所以V=,S〃=』/rx32x4=l2;r.

33

(2)如图建立空间直角坐标系

ZA

因为=由题知P-A3c。是正四棱锥，所以该四梭锥各核长相等，设

AB=y[la

则AO=OQ=O8="=a,R9=j4尸—AO?=々

/\

则可得0(0,0,0),P(0,OM),A(0,-40),3(d0,0),C(0M,0),0,0),石M0谭

/\

故BD=(-2a,0,0),AC=(0,2〃,0),AE=巴,a,巴

i22；

设〃=a,y,4）为平面AEC的法向量，则

2a=0

\n-AC=0

，令%=i,则y=。，4=T，所以

[〃元=0aaA

/2=(l,0-l)

n-BD-2a\[1

则cos(",BO)=

瓦阿「|2&•网一2

_V2

设直线6。与面AEC所成角为凡因为sin夕=cos(〃,5Z)，小呜，所以

2

18.【答案】(l)(l,2);(2)a>l

⑴由y=过(4,2)可得108〃4=2,得：4="=4=±2,va>0,:.a=2

因为fM=log?x在(0.+oo)上是严格增函数

/(2x-2)v/(x)=0<2x-2<x=l。<2,所以解集为(1,2)

⑵因为/*+1)J(依),/食+2)成等差数列，所以/*+1)+f(x+2)=2/(ar)

即log4*+D+log”(x+2)=2log,(奴)有解，化简可得log”(x+l)(x+2)=log”3尸

x+l>0

x+2>0八rt,i2(x+D(x+2)+小、

得(x+l)(x+2)=(ax)2且，=>x>OJIlJa~=-————-在(0,+s)上।

OY>0厂

a>0,〃w1

①41=3+3+1=2仕

有解，又故在(。,10)上

x'x~x4J8

(x+l)(x+2)>伞+环=,

I4)4

即4＞1=〃＜一1或。＞1/.。＞0,所以。＞1.

19.【答案】(1)12500人;(2)0.9h;(3)学业成绩与锻炼时长不小于I小时且小于2两

小时有关

【解析】(1)580人中体育银炼时长不小丁1小时人数占比

42+3+1+137+40+27_25

-580-58

该地区29000名初中学生中体育锻炼时长不小于1小时的人数约为

25

29000X—=12500人

(2)该地区初中学生锻炼平均时长约为：

七呼x(5+134)+^^x(44+147)+^^x(42+137)+^^x(3+4())+

2+2.5八__\i27__.

--------x(1+27)I=——h0.91

2'〃29

(3)①提出原假设“°：成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时

无关.

②确定显著性水平a=0.05,P(z2>3.841)«0.05

人,580x(45x308-177x50)2

2

@Z=7...........-~~-———-----------4------------x3.976>3,841

(45+50)x(177+308)x(45+177)x(50+308)

④否定原假设，即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时

有关.

(10'

20.【答案】⑴碎石;⑵尸(2,2&);⑶8£(0,3)U|3,可

2

【解析】(1)因为6=2,，£=2,「.鼻=4.・.・/=1,「./=4

acr

因为/+,所以廿=3，所以b=(负含).

(2)因为AM&P为等腰三角形

①若为底，则点P在直线r=-1时，与P在第一象限矛盾,故合去

②若劣尸为底，则MP=，与MP>M&矛盾，故舍去.

③若MP为底，则M%=P4，设P(/，No)，七>0,%>0.

则1）2+（t-0）2=3,即（％—1）2+y；=9,又因为*一号二1

2

O_

得（%-1）2+（瓦-1）~']=9,得11汇-6%）-32=0,得%=2,q=2夜，即尸（2,212）.

⑶由A（-1，0）,设P（X，V,）,Q（w，%），则R（f，一必）,设直线/：X=〃"一2（/77>1）

b

〜1、4b2m

x=my-2（机>-）y+%=/一,

bb-m--1

联立«（b2m2-i）y2-4/my+3从=0,<

2y2.3b2

x——7=1y.-y=———

b2L7?2b2m2-1

4氏=（-/+1,_%）,&尸=（玉-l,y）,又由qR・A2P=1,得（一/+i）（x一D-y）'2=]

即（电T）a—1）+X%=-1,即（阳2一3）（〃明-3）+y%=-1

化简后可得到（苏+Dy必-3加（y+%）+10=0

再由韦达定理得3/再2+1）—12府方+10（从病-1）=0,化简:02m2+3必-10=o

所以从=

>+313

,21010/72

b~w---=-—

1+33/+1

b2

得〃2工3,,二。£（0,3）J3,—

1D

21.【解析】⑴证明：$"）=*-0）2+（«1_0）2=%2+与之2、卜2.4=2,当且仅当

vvvfVw'

f=」即x=l时取到最小值，所以

w-

对于点河（。,0）存在点P（1,D使得，是