备战2023年高考数学一轮复习-第8节-函数与方程

第8节函数与方程1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在性定理,并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解的步骤.1.函数的零点(1)函数零点的定义:使的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)⇔函数y=f(x)的图象与x轴.

函数的零点不是一个点,而是一个实数.该实数是函数图象与x轴交点的横坐标.2.函数零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有,那么,函数y=f(x)在区间内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得,这个c也就是方程f(x)=0的解.

函数f(x)在(a,b)上连续且单调,而且f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)上有且仅有一个零点.3.二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间,使所得区间的两个端点逐步逼近,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

用二分法求方程的近似解应具备两个条件,一是方程对应的函数在零点附近连续不断,二是该零点左、右的函数值异号.4.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2101.若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.特别是,当y=f(x)在[a,b]上单调时,它仅有一个零点.2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.1.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1) B.(1,+∞)C.(-∞,1] D.[1,+∞)2.(必修第一册P155习题T2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下的x,f(x)对应值表:x1234f(x)136.13615.552-3.9210.88x567f(x)-52.488-232.06411.238由表可知函数f(x)存在零点的区间有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.(必修第一册P155习题T4改编)函数f(x)=3x+2x的零点所在的区间是()A.(1,2) B.(0,1)C.(-1,0) D.(-2,-1)4.函数f(x)=x+1A.(-1,0),(1,0) B.-1,1C.(-1,0) D.-1函数零点存在性定理的应用1.函数f(x)=log2x-1xA.(0,12) B.(12,1) C.(1,2)2.已知函数h(x)=ex与g(x)=x2-8x,两个函数图象交点的横坐标所在的区间为()A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2)3.已知[x]表示不超过实数x的最大整数,g(x)=[x]为取整函数,若x0是方程lnx=2x的一个解,则g(x0A.1 B.2 C.3 D.44.已知函数f(x)=log2(x+1)+3x+m的零点在区间(0,1]上,则实数m的取值范围为()A.(-4,0)B.(-∞,-4)∪(0,+∞)C.(-∞,-4]∪(0,+∞)D.[-4,0)确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0,若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.若函数图象连续不间断,则直接使用函数零点存在性定理判断.(2)求两函数图象交点的横坐标范围及方程的根的范围的方法两函数y=f(x),y=g(x)的图象,其交点的横坐标是函数F(x)=f(x)-g(x)的零点(同理,方程f(x)-g(x)=0的根就是函数F(x)=f(x)-g(x)的零点),因此可以借助函数零点存在性定理判断函数零点所在区间.函数零点个数的确定方法一解方程法已知函数f(x)=x+1,A.3 B.2 C.0 D.4方法二数形结合法(1)已知f(x)=-x2-2A.1 B.2 C.3 D.4(2)已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有()A.10个 B.9个 C.8个 D.7个判断函数y=f(x)零点个数的常用方法(1)方程转化法:令f(x)=0,则方程实根的个数就是函数零点的个数.(2)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.一般地,涉及与函数的性质(周期性、奇偶性等)有关的零点个数判断,指数、对数函数以及三角函数等零点个数判断常用此法.[针对训练]1.函数f(x)=ex|lnx|-2的零点个数为()A.1 B.2 C.3 D.42.(2021·浙江瑞安中学高三模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x+2)=f(-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则函数y=f(x)-x3的零点个数是()A.2 B.3 C.4 D.53.函数f(x)=-1+lnx,函数零点的应用角度一已知函数零点或方程根的个数,求参数取值范围已知函数f(x)=ex-A.(0,1] B.[1,+∞)C.(0,1) D.(-∞,1]1.形如g(x)=f(x)-m的含参数函数零点问题可转化为f(x)=m求解.2.根据含参数的指数、对数、抽象函数的零点个数求参数的取值范围问题,若能够将参数分离,则常分离参数后求解,若分离参数后的不含参数的函数图象能够作出,则作出函数图象后利用数形结合思想求解.角度二求函数的零点的和函数f(x)=11-A.2 B.4 C.6 D.8求函数的多个零点(或方程的根以及直线y=m与函数图象的多个交点横坐标)的和时,常借助函数的性质(如函数本身关于点的对称、直线的对称等)求和.角度三二次函数的零点分布问题已知方程x2-mx-m+3=0.(1)若方程不相等的两根都在[-4,0]内,求实数m的取值范围;(2)若方程不相等的两根都小于5,求实数m的取值范围;(3)若一根大于1,一根小于1,求实数m的取值范围.若二次方程的根在一个区间上,则要考虑方程判别式Δ≥0,方程对应的二次函数图象的对称轴在该区间内,以及区间端点函数值的符号和开口方向;若二次方程的根在两个区间上,则只需要考虑区间端点的函数值符号和开口方向.[针对训练]1.已知函数f(x)=|x-1|·(x+1),若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实数解,则实数k的值为(