矩形的性质与判定 北师大版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析） (一)

1.2矩形的性质与判定北师大版初中数学九年级上册同步练习

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.如图，在△力中，点D,E分别是边AB,4c的中点，点尸是线段DE上的一点.连接力F,BF,^AFB=

90S且48=8,BC=14,则EF的长是（）

C.4D.5

2.如图，在△/BC中，/-ABC=90°,48=8,BC=12,。为4C边上的一个动点，连接

BD,E为80上的一个动点，连接4E,CE,当418。=4BCE时，线段4E的最小值是（

A.3

B.4

C.5

D.6

3.已知四边形ABCD的对角线相交于点。，则下列条件中不能判定它是矩形的是（）

\.AB=CD,AB//CD,Z.BAD=90°

B.AO=CO,BO=DO,AC=BD

C.LBAD=乙ABC=90°,乙BCD+乙ADC=180°

D.LBAD=乙BCD,LABC=Z.ADC=90°

4.如图，在△ABC中，Z-BAC=90°,AB=8,AC=6,M为8C上的一动点，ME_L48于E,MF1ACf

F,N为EF的中点，则MN的最小值为（）

A.4.8B.2.4C.2.5D.2.6

5.如图，四边形04BC是矩形，4(2,1),8(0,5),点C在第二象限，则点。的坐标是()

A.(-1,3)B.(-1,2)C.(-2,3)D.(-2,4)

6.如图，矩形力BCD中，AD=12.Z.DAC=30。，点P、E分别在4C、4。上，则A________E八

PE+PO的最小值是()

A.6

BI....—

B.6/3

C.12

D.8/3

7.如图，在四边形48G9中，AB//CD,ZC=90°,AB=8,AD=CD=5,点M为BC上异于B、C的一定

点，点N为48上的一动点，E、尸分别为DM、MN的中点，当N队4到B的运动过程中，线段“扫过图形的

ANB

A.4B.4.5C.5D.6

8.如图所示，点M是矩形ABC。的对角线力C上一点，过点M作E0/4B,分别交AD,BC于点E,F,连接

MD,MB若DE=2,EM=5,则阴影部分的面积为().

f

AT---------沏

A.5B.10C.12D.14

9.如图，在矩形48CD中，AB>BC,点E,F,G,”分别是边D4AB,BC,G）的中点，连接EG,HF,

则图中的矩形共有（）

A.5个B.8个C.9个D.11个

1（）.已知矩形718co的边长48=6,对角线力C,8。交于点。且乙/1。3=60。，则"的长为（）

A.6B.12C.6/3D.1273

11.如图，矩形/8C。中，连接力C，延长BC至点E,使BE=4C,连接

DE,若NE=70。，则，力C8的度数是（）

A.40°

B.450

C.50°

D.60°

12.三角形△48C中，AB=AC=4,BC=2,E,尸分别是边4E,AC上的动点，且4E=C凡则CE+8打

的最小值为（）

A.3/2B.2/6C.5.4D.5.6

二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

13.如图，在RCA48C中，4c=90。，AC=3cm,BC=4cm,D是AB上一点，DE14c于点E,DF1

BC于点、F,连接E几则的最小值为________cm.

14.如图是一张矩形纸片ABC。，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C

落在对角线4C上的点F处，连接。入EF.若MF=AB,则乙。”=一度.

15.如图，矩形48CD中，AD=12,AB=8,E是A8上一点，且£8=3,F是BC上一动点，若将ZkEB产沿

EF对折后，点8落在点P处，则点P到点。的最短距离为.

16.已知四边形/BCD,其中皿/BC,AB1BC,将。已沿。E折叠,C落于C',DC咬CB于G,且ABG。为长

方形（如图1）；再将纸片展开，将4。沿。尸折叠，使A点落在DC延长线上一点4（如图2）,在两次折叠过程

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题8分）

如图，在△48C中，AB=AC,AD1BC,垂足为0,AN是△48C外角4。4M的平分线，CE工AN,垂足为

£求证：四边形力OCE是矩形.

V

18.(本小题8分)

如图，在四边形48。。中，AD//BC,48=90。，AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A开始沿

AO边向。以Icm/s的速度运动；Q从点C开始沿C8边向B以3cm/s的速度运动.P、Q分别从点人C同时出

发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动.

(1)当运动时间为t秒时，用含珀勺代数式表示以下线段的长：AP=,BQ=；

(2)当运动时间为多少秒时，四边形PQCD为平行四边形？

(3)当运动时间为多少秒时，四边形4BQP为矩形？

19.(本小题8分)

四边形4BCD中，立力==90。，点E在边AB上，点F在力。的延长线上，且点E与点尸关于直线CD对称,

过点E作EG〃/1广交CD于点G,连接/G,DE.

(1)求证：四边形DEG"是菱形；

(2)若=10,AF=BC=8,求四边形。EGF的面积.

20.(本小题8分)

如图，在矩形A8CD中，AB=5,BC=7,点E是AD上一个动点,把18AE沿BE向矩形内部折叠，点A的

对应点4恰好落在4BCD的平分线上.

(2)在图②中求线段C4'的长.

21.(本小题8分)

如图，四边形ABCD是平行四边形，E为AB上一点.

(1)如图①，只用无刻度直尺在CD上作出点F,使得四边形AECF为平行四边形；

(2)如图②，用直尺和圆规作出矩形EFGH,使得点F、G、H分别在BC、CD、DA上.(保留作图痕迹)

22.(本小题8分)

在CL48co中，E、尸、G、”分别是48、BC、CD、40的中点，连接4/、CH、4G、CE,AF、CE相交于点

M,4G、C”相交于点N.

(1)求证：四边形AMCN是平行四边形：

(2)若四边形AMC7V是矩形，连接A。、BD,则4C、80满足的数量关系是

23.（本小题8分）

如图，在矩形4BCD中，BC=6,AB=9,E为4）的中点，连接CE,过点E作CE的垂线交48于点入交

CD的延长线于点G,连接C".

（2）求E/的长.

24.（本小题8分）

25.（本小题8分）

点0为矩形4BCD的中心.

(1)命题1：如图①，过点。的直线EFJLAC,分别交ND,BC于点E,F,则四边形AFCE是菱形.

命题2：如图②，P,Q两点在AB,CO上，且线段PQ过点。，过点0的直线E尸1PQ,分别交4),8c于点

E,F,则四边形P/QE是菱形.

请先判断两个命题的真假，并选择•个真命题进行证明.

(2)若把图①的四边形力FCE的面积记为Si，图②的四边形PFQE的面积记为S2，则Si________S2.(ffi

“>”或或“=”)

答案和解析

1.【答案】B

【解析】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握三角形中位线定理是解题

的关键.

根据三角形中位线定理求得长度，再利用直角三角形斜边上的中线求得。户长度，即可得到结论.

解：•••点E分别是边力从AC的中点,

:CE是A/IB。的中位线，

•••BC=14,

ADE=』BC=7,

VZ.AFB=90°,AB=8,

ADF=\AB=4,

•.EF=DE-DF=7-4=3,

故选：B.

2.【答案】B

【解析】解：如图，取8c的中点T,连接AT,ET.

:.Z.ABD+乙CBD=90。，

,:Z.ABD=乙BCE,

Z.CBD+乙BCE=90°,

乙CEB=90°,

CT=TB=6,

ET=；BC=6,AT=AB2+BT2=V82+62=10,

VAE>AT-ET,

：-AE>4,

・••AE的最小值为4,

故选:B.

如图，取BC的中点丁，连接AT,£T.首先证明乙CE8=90。，求出47,ET,根据AE2AT-ET,可得结

论.

本题考查宜角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出力T,ET的长，属「中考常考

题型.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查的是矩形的判定定理，但考生应注意的是由矩形的判定引申出来的各图形的判定.难度一般.矩

形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）有三个角是直角的四边形是矩形.（3）对角

线耳相平分H.相等的四功形显矩形.据此判断.

【解答】

解：4一个角为直角的平行四边形为矩形，故4正确；B-AO=CO,8。=。。，则四边形/BCD是平行四

边形，又AC=BD,则四边形ABCD是矩形，故B正确;

C.LBCD+^ADC=180°,但乙BCD不一定与相等，根据矩形的判定定理，故。不正确;

。.因为四边形内角和为360。，且=^ABC=LADC=90°,故可得到四个内角都是90。，根

据矩形的判定（有三个角是直角的四边形是矩形），故。正确.

故选C.

4.【答案】B

【解析】解：过点A作力M1BC于点M',

•••在△4BC中，ABAC=90°,AB=8,AC=6,

:.BC=V82+62=10，

MM=1T=T-

♦••MEJ.4B于E,MFlAC^F,

匹边形4EMF是矩形，

AAM=EF,MN=^AM,

.••当MN最小时，AM最短，此时点M与W重合，

iIo

MN=差=2.4.

故选:B.

过点A作/M18C于点M',根据勾股定理求出BC的长，再由三角形的面积公式求出AM'的长.根据题意得

出四边形力EM户是矩形，故可得出/1M=EF,MN=：AM,当MN最小时，4M最短，此时M与M'重合，据

此可得出结论.

本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，

解答时求出AM的最小值是关键.

5.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，正确的作出辅助线是解题的关

键.

过C作CEly轴于E,过4作力尸ly轴于心得至Ij/CE。==90。，根据矩形的性质得到48=OC,

AB//OC,根据全等三角形的性质得到CE=A尸，OE=BF,BE=OF,十是得到结论.

【解答】

解：过。作轴于E,过力作/r轴于F,

卯边形力"。是矩形，

AB=0C,AB//OC,

•••Z.ABF=乙COE,

.•.△OCE♦z\6AF(/L4S),

同理ZiBCE@△OAF,

CE=AF,OE=BF,BE=OF,

•••力(2,1),B(0,5),

.・.AF=CE=2,BE=OF=1,OB=5,

•••OE=4,

.••点C的坐标是（一2,4）,

故选：D.

6.【答案】B

【解析】解：如图，将线段4。沿AC翻折得到线段AF,过点F作FH1A。于H,连接PE

vZ.DAC=30°,AD=12,

由翻折可知，Z-CAF=Z.DAC=30°,AF=AD=12,PF=PD,

♦；PD+PE=FP+PE,

又•••FP+PE>FH,

・•.PD+PD的最小值就是线段FH的长，

vZ/1/7F=90°,Z.HAF=60°,AF=12,

AAH=6,FH=6/3»

:.PE+P。的最小值为6门，

故选:B.

如图，将线段40沿4c翻折得到线段4/，过点尸作尸，14。于H,连接P凡证明PF=PD,推出PD+PE=

FP+PE>FH,求出FH即可解法问题.

本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对

称解决最值问题，属于中考常考题型.

7.【答案】4

【解析】【分析】

本题考杳的是三角形中位线定理、勾股定理的应用，根据中位线定理得到点F的运动轨迹是解题关键.首先

作出辅助线，得到点F的运动考L迹是A/IBM的中位线，从而得到线段EF扫过图形即为AEF”,由中位线定

理求得EH长，再结合勾股定理中位线定理求得边上的高EL即可.

【解答】

解：如图，连接4M,取AM,中点H,G,连接EH,EG,过E作EK1CO于K,过”作HT_LAB于7,作

DS1ABTS,作ELJ.HF于L.

•••E为DM中点,尸为NM中点，且N在A,3之间运动，贝U尸的运动轨迹是线段“G,即线段£尸扫过图形为△

EHG,

•••AG是△48M的中位线，

AHG=^AB=4,

•••“=90。，AB//CD,

:.4B=90°,

••坦边形CCBS为矩形，

BS=CD=5,BC=DS,

AS=AB-BS=3,

由勾股定理OS=BC=V52-32=4，

••・EH分别为DM,4M中点，

:.EK,HT分别为△OCM,△/IBM的中位线，

:.EK=\CM,HT=：BM,

:.EK+HT=1(CM+BM)=^BC=2,

4La

:.EL—2,

EHr的面积为:x4x2=4.

故选A.

8.【答案】B

【解析】解：如图所示，作MP148于点P,并延长PM,交DC于点Q,则四边形DEMQ、四边形QM?

四边形4EMP、四边形MPBr都是矩形，

VDE=2,EM=5,

S^DEM=SUMFB=2X2X5=5.

S阴膨=5+5=10,

9.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查矩形的判定，难度一般.矩形是指有一个内角是直角的平行四边形.

设EG和HF相交于。，找出图中四边形OE。"、EAFO.HOGC.OFBG、DAFH.HFBC、DEGC、EABG.

488为矩形.

【解答】

解：设EG与”?相交于点0,

•.•矩形ABCD中，点、E,F,G,"分别是边DA,AB,BC,CD的中点，

DC//EG//AB,AD//FH//BC,

Z.DAF=乙DEG=乙HOG=乙HFB=90°

亚边形DEOH,EAFO,HOGC,OFBG,DAFH,HFBC,DEGC,EABG,ABC。为矩形；

则图中矩形有矩形DE。"，EAFO,HOGC,OFBG,DAFH,HFBC,DEGC,EABG,ABCD,共9个.

故选C.

10.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题的关键.

由矩形的性质可得AC=BD»AO=BO=CO=DO»可证△A08是等边三角形，可得A。=BO=AB=

6,即可求解.

【解答】

解：•••四边形力BCD是矩形，

，AC=BD,AO=BO=CO=DO,

•••Z.AOB=60°,

.••△A08是等边二角形,

AO=BO=AB=6,

•••AC=2A0=12,

故选:B.

11.【答案】A

:.BD=ACfOB=OC,

•••BE=AC,

•••BD=BE,

•••乙BDE=乙BED=70°,

...乙CBD=180°-乙BDE-乙BED=40°,

vOB=OC,

:.Z.ACB=乙CBD=40°.

故选：A.

连接8D,交AC于。，由矩形的性质得8。=AC,OB=OC,从而得出=BE,利用等边对等角求得

乙BDE=乙BED=70。，从而由三侑形内角和定理求得乙C8D=40。，即可由等边对等角求解.

本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理.正确作出辅助线，构造等腰三角形是解题

的关键.

12.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查的是平行线的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，矩形的判定和性质等有

关知识.

忤AGI/BC,截取AG=BC,连接GE,GC,作GHJ.8C,AMLBC,证明aGAE也△8C",推出8尸=

EG,可得当G,E,C在同一直线上时，GE+CE=CG,此时值最小，即CE+8F的值最小，求出CG的

长，可得结论.

【解答】

解：忤AGHBC,截取AG=8C,连接GE,GC,作GH18C交CB延长线于H,4MlBC与M,

vAB=AC=4

:.Z.ACB=Z.ABC

•••AG//BC

/.GAB=Z.ABC

•••£GAE=LBCF

AG=BC=2,Z-GAE=乙BCF,AE=CF

:.&GAE出2BCF

GE=BF

当G,E,C在同一直线上时，GE+CE=CG,此时值最小，即CE+8r的值最小

•••GH1BC,AM1BC,AG//BC

匹边形AMHG是矩形

AMH=AG=2,AM=GH

AB=AC=4,BC=2,AM1BC

•••CM=1,AM=/15

CH=3

：.CG=J15+32=2/6

・•.CE+BF的最小值为2小

13.【答案】2.4

【解析】【分析】

本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段EF的值最小是解

题的关键.连接CD,根据勾股定理求出力8的长，然后证明四边形CFDE是矩形，得到EF=CD,得到当

CD线段EF的值最小，然后利用面积法求出CD的长即可.

【解答】

解：如图，连接CD.

vZ.ACB—90°,AC=3cm,BC=4cm,

:.AB=5/32+42=5cm，

•••DE1AC,DF1BC,^ACB=90°,

.•・匹边形6DE是矩形，

EF=CD.

由垂线段最短口」得，当CD_LA8时，线段CD的值最小，即线段EF的值最小,

此时，^ABC=^BCAC=^AB-CD,

即：x4x3=；x5S,

解得CD=2.4cm,

；•EF最小=2.4cm.

14.【答案】18

【解析】解：连接。M,如图:

♦.•匹边形力BCD是矩形,

•••Z.ADC=90°.

是4c的中点，

DM=AM=CM,

Z.FAD=Z.MDC=Z.MCD.

vDC,DF关于DE对称,

ADF=DC,

•••Z.DFC=乙DCF.

-MF=AB,AB=CD,DF=DC,

MF=FD.

:.Z.FMD=乙FDM.

vZ.DFC=乙FMD+乙FDM,

AZDFC=2乙FMD.

vZ.DMC=Z.FAD+Z.ADM,

:.Z.DMC=2^FAD.

设/FAZ)=x°,则4OFC=4x°,

KMCD=Z.MDC=4x°.

vZ.DMC+乙MCD+乙MDC=180°,

:.2x4-4%+4x=180.

:.x=18.

故答案为：18.

连接。M,利用斜边上的中线等于斜边的一半可得△4MD和aMCD为等腰三角形，Z.DAF=^MDA,

乙MCD=々MDC；由折叠可知DF=DC,可得乙DFC=4DCF；[hMF=AB,AB=CD,DF=DC,可得

FM=FD,进而得到/"MO=NFDM：利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，口•得，=

2LFMD：最后在△MOC中，利用三角形的内角和定理列出方程，结论可得.

本题主要考查了矩形的性质，折叠问题，三角形的内角和定理及其推论，利用三角形内角和定理列出方程

是解题的关键.

15.【答案】10

【解析】【分析】

先根据勾股定理“算ED的K,当E、P、。共线时，。户最小，即最短距离是此时P。的K.

本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，利用数形结合的思想，根据图形确定点P到点。的最

短距离解决问题.

【解答】

解：如图，连接PD,DE,

•.•匹边形48。。是矩形,

二Z/1=90°,

vAB=8,BE=3,

•••AE=5,

vAD=12,

DE=V52+122=13,

由折叠得：£B=EP=3,

vEP+DP>ED,

.•.兰E、P、。共线时，OP最小，

:.DP=DE-EP=13-3=10；

故答案为：10.

16.【答案】45

【解析】解：设乙EDC=%,乙GDF=y,

由折叠性质可知，Z.EDG=x,Z.ADF=

Z.CDF=2x+y,

由/40G=90。，得2x+y+y=90。，

x+y=45°,

故乙EDF=x+y=45°,

故答案为：45.

设4£。。二人，乙GDF=y,根据折叠性质可知，乙EDG=x,ZLADF=^-CDF=2x+y,然后利用乙40G二

90c列出2x+y+y=90。求得x+y的值即可求得答案.

本题考查了长方形的性质及折叠的性质，解题的关健是了解折置不变量，并根据题意得到2%+y+y=

90S难度中等.

17.【答案】证明：•.•在△A8C中，AB=AC,40是8C边的中线,

:，AD1BC,Z-BAD=Z.CAD,

乙ADC=90",

•：AN为&力BC的外角N&4M的平分线,

:.£MAN=4CAN,

/.DAE=90°,

•••CE1AN,

:.LAEC=90°,

匹边形ADCE为矩形.

【解析】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的定义等知识

点的综合运用.

根据等腰三角形的性质可得AD1BC,乙BAD=乙C/W,又由角平分线的定义结合平角定义可得，ZX4E=

90%利用已知条件和矩形判定的条件即可求证.

18.【答案】解：(l)tcm；(26-3t)cm；

(2)由颍意可得：PD=4O-4P=(24-t)C7n,QC=3tcm,

'：AD//BC,

PD//QC,

设当运动时间为t秒时PD=QC,比时四边形PQCD为平行四边形.

由PD=QC得，24-£=33

解得t=6,

•••*运动时间为6秒时，四边形PQCO为平行四边形.

⑶•：AD/IBC,

/.AP//BQ,

设当运动时间为£秒时4P=BQ,四边形48QP为平行四边形.

由4P=BQ得：t=26-3t,

解得：t=M

又•.△8=90°

•••平行四边形力BQP为矩形.

.•.当运动时间为:秒时，四边形力BQ0为矩形.

【解析】【分析】

此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方

程思想的应用.

(1)根据题意可直接得出；

(2)由在四边形A8CD中，AD//BC,可得当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形，即可得方程：24-

£=33解此方程即可求得答案：

⑶由在四边形A8CD中，AD//BC,=90°,可得当AP=8Q时，四边形4BQP是矩形，即可得方程：

t=26-3t,解此方程即可求得答案.

【解答】

解：(1)由题意知4P=tcm,BQ=(26-3t)C7n,

故答案为tsn；(26-3t)cm；

(2)见答案;

(3)见答案.

19.【答案】证明：(1)・.•点E与点F关于直线CO对称，

:.FD=ED,FG=EG,HOG=DG,

.••△FOG々△EOG(SSS),

AZ.EDG=Z.FDG,

•••EG//AF,

.•・乙EGD=乙FDG,

•••乙EGD=乙EDG,

ED—EG,

FD=ED=FG=EG,

匹边形DEGF是菱形；

(2)连接FC,EC,

vZi4=ZF=90°,

:.AF"CB,且4尸=8。=8,

••M边形ABC尸是平行四边形，且“=90°,

.•M边形48。r是矩形，

.・.CE=CF=AB=10,

:.BE=6»

•••AE=4.

设F0=ED=FG=EG=x,则力。=8-x,

在RtA/lOE中，42+(8-X)2=X2,

x-5•

.-.5=5x4=20.

【解析】（1）由折叠的性质可得尸。=ED,FG=EG,可证△/£）&四ZkEDG,可得上EDG=zFUG,由平行

线的性质可得ZEGD=乙FDG=乙EDG,可得ED=EG,可得结论：

（2）先证四边形48。/是矩形，可得力8=CF,由折叠的性质可得CE=C〜=10,由勾股定理可求

AE,DF的长，即可求解.

本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质等知识，灵活运用这些

性质解决是本题的关键.

20.【答案】解：（1）如图所示，点力'即为所求；

图②

•・•点A的对应点Af恰落在乙BCD的平分线上,

:.设CM=AM=%,则8M=7—x,

又由折叠的性质知AB=ArB=5,

在直角△4M8中，由勾股定理得到：A'M2=A'B2-BM2=25-(7-x)2,

:.25-(7-x)2=%2,

，％=3或x=4,

在等腰Rt△A'CM中，CAf=y[2ArM,

ACA'=3/2或.

【解析】本题考查了矩形的性质，翻折变换(折叠问题).解题的关键是作出辅助线，构建直角和等

腰直角△/VCM,利用勾股定理将所求的线段与已知线段的数量关系联系起来.

(1)先作/BCD的角平分线，再以点B为圆心，以为半径画弧，以E为圆心，以力E为半径画弧与前

弧交于点4,此时点A!在乙BCD的平分线上；

(2)过点A'作AM1BC于点M.设CM=ArM=x,则8M=7-x.在直角^A'MB中，由勾股定理得

到：A'M2=A'B2-RM2=2S-(7-r)2.由此求得x的值,然后在等腰Rt.AA'CM中由CAr=\[2A'M求

解即可.

21.【答案】解：(1)如图①，点F,四边形AECF即为所求作.

(2)如图②，四边形EFGH即为所求作.

【解析】(1)连接4C,80交于点0,连接。E,延长E0交C0于点尸，点尸即为所求作.

(2)连接AC,8。交于点。，连接0E,延长E。交CD于点G,以0为圆心0G为半径作弧交8c于点C延长产。

交AD于点H,连接EF,FG,GH,EH,四边形EFGH即为所求.

本题考查作图-复杂作图，平行匹边形的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活

运用所学知识解决问题.

22.【答案】解：(1)・.•四边形ABCD为平行四边形，

AB=CD,AB//CD,

•••E是4B的中点,

AEAB,

同理CG=^CD,

:.AE=CG,

vAE//CG,AE=CG,

••・扎边形4ECG为平行四边形，

EC//AG.

同理力厂//CH.

♦:EC]/AG,AF//CH,

二匹边形4MCN为平行四边形.

(2)8。=3AC.

【解析】【分析】

本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，三角形重心性质的运用，解题的关键是掌握平行四边

形的判定方法以及三角形重心性质.

(1)证明四边形AFCH是平行四边形，可得AM〃CN,证明四边形AECG是平行四边形，可得EC//AG.,进

而得出四边形力MGV是平行四边形；

(2)连接8D,AC,根据三角形重心的知识即可解答.

【解答】

解：(1)见答案；

(2)连接BD,AC,

在O4BCD中，AC,80互相平分，则。为4C,80的中点

vM,N分别是△48C,△40C的重心

：.B,M,N,。在同一直线上，且BM=20M,DN=20N

•.•匹边形AMCN是矩形

A0A=0C=0M=0N

•••BD=30M+30N=3MN=3AC

23.【答案】解：(1)证明：根据题意，在矩形中，则

AB=CD,BC=AD,£A=Z.EDG=90°,

•••£为力。的中点，

:.AE=DE,

vZ.AEF=乙DEG,

AEF=^DEG,

EF=EG,DG=AF=^:

•••CE1FG,

CG=CF；

(2)、•四边形4BCD是矩形，

CD=AB=9,AE=^AB=\BC=3,

乙B=90°,

设=x,

由(1)得:DEG,

DG=AF=x,

BF=9-x,CF=CG=9+x,

在RCACBF中：BC2+BF2=CF2,

A62+(9-x)2=(9+x)2,

解得：x=l,

=1,

在Rt△E4F中：EF=yjAF2+EF2=Vl2+32=/10.

【解析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解得

关键是熟练根据所学的知识，正确得到CG=CF

⑴由题意，先证明△店/—△DEG,则Er=EG,DG=AF=^f利用等腰三角形的性质，求出CG=

CF：

(2)设可得DG=AF=x,BF=9—x,CF=CG=