高中数学考前必记公式

附录

附录1高中数学考前必记公式

(DCdAU8)=(CuA)n(Cu8),CMAnB)=(CuA)U(CM);

集合

(2)card(AUB)=card(4)+card(/J)-card(AAH)

已知非零向量4=(xiJi)/=(Mj2),a与b的夹角为。，则

⑴数量积:〃・b=|〃|・|/?|cos0=xiX2+yiyi.

⑵模:同=,/+后+诏\a+b\=J((z+/))z=Vcz2+2ab+b2.

平面向量(3)平行:“〃/)="=M=xiy2-X2yi=0.

(4)垂直：4_L〃oa〃=0=x|X2+yiy2=0.

(5)夹角:cos0=戢=X}X2+y}y2

(6)a在b上的投影向量为|a|cos

I切

⑴J">0.〃>0).当日仅当时取等号：

基本

(2)4。后5十与2m2+/),即〃〃三(若)2W手，当且仅当时取等号；

不等式

(3点彩(">0),当且仅当〃功时取等号[+氏2("<0),当且仅当〃=/时取等号

已知7U)的定义域为MxigWA」，则

函数的⑴增函数:)介2)]>0=久旦3>00府)是增函数;

单调性"'2

(2)减函数：(即)7U2)]V0Q"^<0U73是减函数

XVX2

已知«r)的定义域关乎原点对称，则

函数的

(1)偶函数：A--v)-x)：/U)=0=火工)为偶函数；

奇偶性

(2)奇函数：火火)=-yuK-x)+人幻=o=yu)为奇函数

(1求a-x)=/(〃+x)uyU)的图象关于直线x=a轴对称(当"=0时*x)是偶函数)；

.&a-x)=为h+x)的”)的图象关于直线尸法轴对称.

函数的Q求a-x)=：/(a+x)e/(x)的图象关于点(40)中心对称(当。=0时风v)是奇函数)；

对称性、./Uhr)=；/(Z?+x)<=VCr)的图象关于点(竽,0)中心对称;/(q-x)+y(/>+x)=2ce/(x)的图象

周期性关于点然，c)中心对称.

(3)若/(x+a)yx+。),则危)为周期函数/x)的周期T=\b-a\.

(4)若一+。)=兆)，则。)为周期函数危)的周期T=2\a\\

若<x+a)=17则Hx)为周期函数应丫)的周期7=2|a|;

若启)的图象关于直线产轴对称，则贝x)是周期函数凋期7=2也切；

若段)的图象关于点S,O),S,O)中心对称，则兀r)是周期函数，周期T=2|〃-“|;

若火工)的图象关于直线x=a轴对称，且关于点S，0)中心对称，则危)是周期函数，周

期T=4\b-a\

(1)对数恒等式:“ogaN=N(a>0且-1N>0).

(2)对数的运算性质:如果。>0且"l.A/>0,N>0,那么

对数①积的对数=log,"+logaN;②商的对数:Iog«^=]og«/W-loguM

的对数:10以根=川0"根〃£阳.

(3)换底公式:log/=J^4a>0且。声11>0且"1力>0)

(续表)

(l)C=0(C为常数);

基本初等(2)(x9JnxnqnWR且，#0);

函数的(3)(sinx)-cosx,(cosx)--sinx;

导数公式(4)©)'=e\S)'="lna(a>0且好1);

(5)(lnx)(log^t)-；loge>0且存1)

44<(人J113

(i)i/w均(刈可a)场ax

(2)[f(x)-g(x)]-f(x)g(x)+J(x)g'(x);

导数运⑶圜“铲之(M

算法则

⑹岛上焉幽听。)；

⑸复合函数的求导法则:4式砌｝1=JAg(x)]g'(x)

⑴平方关系:sin%+cos%=l;商的关系:1^=lana(aHAn+5,A£Z).

⑵公式一:sin(a+A2jr)=sina(kGZ),cos(a+^-27r)=cosa(tWZ).lan(a+A?27t)=lana(kW

同角三角

Z);

函数的基

公式二:sin(7t+a)=-sin«,cos(7t+«)=-cos«.tan(n+«)=tana;

本关系式

公式三:sin(-a尸-sina,cos(-a)=cos«,tan(-a)="tana\

和诱导

公式四：sin(兀-a)=sina,cos(n-a)=-cos«,tan(n-«)="tan«;

公式

公式五:sin(1-a)=cosa,cosQ-tz)=sina;

公式六:sin(]+aj=cosa,cos(]+aj=-sina

两角和与(I)公式C(«+/r):cos(«=cosacos/?-sinasin人公式C(«./):cos(«-/<)=cosacos夕+sin

差的止wsinfi\

弦、(2)公式S(«+//):sin(a+tf)=sinacos£+cosasin0,公式Sg力:sin®/尸sin«cos^-cosasin

余弦和正优

切公式⑶公式TE：."加黑翳，公式“岬尸含鬻黑

(1)公式S2a：sin2a=2sin«cosa;

二倍角

(2)公式C2a：cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a;

公式

(3)公式T2«:tan2a=；：；£

asina+bcos«=Va2+b2s\n(a+(/>)\其中Q匕H0,tan</?=-,cos(p=,a,s\n(p=

a

辅助角\

公式大)

(1)正弦定理:一^7=-^=-^7=2R(R为△ABC夕卜接圆的半径)，变形:o=2Rsin

sinxisirasine

A,h=2Rsin8,c=2RsinC;

(2)余弦定理:〃2=b2+A2/>ccosA.b2=e2+a2-2aecosB,c2=a2+b2-2(ibcosC.

解三角形

WAAb2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c2

推论:cosA=F^,COS晅

(3)三角形面积公式:S=gbcsinA=gacsinB=^abs'\nC

⑴通项公式：4i=31)d=a,“+(〃-〃?)d〃乩N：d为公差)；

等差数列

（2）前〃项和公式:S”=出答=〃n+誓4

（续表）

(1)通项公式:an=aiqn」=amqnm(m,n£N.M为公比);

等比数列(na^q=1),

⑵前〃项和公式5尸弧(1刃")_aranq(「

设。为底面周长,c'Q分别是正楼台上、下底面的周氐〃为高“为斜高」为母线

长，为圆柱、圆锥底面圆的半径，厂「。分别为圆台上、下底面圆的半径./?为球的半

多而体和

径.

旋转体的

⑴直棱柱:S则=（力竹S底/?;⑵正棱锥:S㈣斗力',v=gs底瓦

面积和体

(3)正棱台>:S制=3。0+。')〃'“=35i：it+S卜我+

积公式Js上底s下底）心

(4)圆柱:S阳往他=2兀4,'/=5tt//=7cr/K

(5)圆锥:Svnw»=nrl,V=1sh=^nrh;

(6)圆台:SMw(=7t(m+r')/,V=/S上底+S下底+Js上底S下底)力=，域+r(Z+r，2)/7；

(7)球:S『4兀R2,V=%R3

⑴两点P心”1)仍(工2刈间的距离I"的|=J(%2-%1)2+(力以)2；

(2)点p(xojo)到直线l:Ax+By+C=O的距离-=0'；+%+埒；

距离公式RB?

和弦长(3)两条平行线K：At+与、+G=0^11l:Ax+By+C2=0间的距离"二者竺：

公式2后

(4)直线与圆相交所得的弦长|A=2x/r2-d2;

(5)空间点/)而,2)12(%2»2,22)间的距离俨/2|=](丘与)2+优必了+⑵七十

⑴平均数:数据即/2,…用的平均数是%什也+…+/),；己作元

n

222

⑵标准差：S=[(Xx-X)+(X2-X)+…+(Xn-X)]；

方差：，=-[(X|-X)2+(A2-X)2+...+(X,X)2].

nr

平均数、(3)比例分配的分层随机抽样的均值和方差：

标准差、如果总体分为两层，两层包含的个体数分别为M.N,两层抽取的样本量分别为也〃，

方差、用两层的样本平均数分别为五又两层的总体平均数分别为冗片总体平均数为质，样本

最小一■乘r出叫“一z777M—N—m—n——

平均数为W,那么W=7777；%+77777y=-T-%+-T-y=W.

法求经验

设样本数据的平均数为元方差为系样本分为两层，其中两层的个体数量分别为

回归方程

，〃巴两层的平均数分别为再52,方差分别为",5女

贝反=言右+高%？=含旨3+(工五月+焉俗：+(&了)2].

n__n

X(Xi-x)(yry)zXiyrnxy_

(4)用最小二乘法求经验I可归方程丫=bx+a:b-------~=L^i-------T?=y-bx

£(x-xy£xf-nx

i=l(t=l

(续表)

(1)概率的加法公式:若事件A与事件B互斥，则P(AUB尸P(A)+P(B),

若事件A与事件B互为对立事件，则P(AUB)=1,P(A)=1-P(B);

概率

古曲概型-P(AL事件八包含的样本点个数

(2)古典概型RA)-样本空间。包含的样本点个数

计数原理(1)排列数公式:用RMn-l)(n・2)...(n-m+1)=n\.(nm£N且=nl.

(n-ni)：t

(2)组合数公式：/="小5"；「"6+1)=工；)河川中,，且

/n<«),Cg=Cg=l,C?=CSm.

(3)二项式定理:(。+〃)〃=(：；!。"+禺。"%+……+C；；〃(〃eN“);

二项展开式的通项:「r+i=，；；""〃；

各二项式系数和:Cg+C3+第+...+啜=2”

(1)分布列、均值、方差

离散型随机变量X的分布列

XX|X2...Xi...Xn

Pplp2...pi...Pn

均值:E(X)=X1〃I+X2P1+...+Arp,+...+.xtlpn,E(aX+h)=aE(X)+/?;

方差：D(X)=z[Xi-E{X)Vp„D[aX^b)=crD(X).

i=i

(2)条件概率:事件A发生的条件下，事件B发生的概率为P(四田二鬻.

概率的乘法公式:P(A8)=P(5|A)P(A).

(3)相互独立事件:事件A与事件B相互独立，则P(48)=P(A)P(8).

(4)全概率公式:

随机变量一般地，设4工2,…/”是一组两两互斥的事件AUA2U...LM尸Q,且

及其分P(/t)>0,i=l,2,…簿，则对任意的事件BGQ,有P(B)=£P(A,)P(8|A,).

i=l

布列

(5)〃重伯努利试验:每次试验中事件A发生的概率为秋0<〃<1),在〃重伯努利试验

中，事件A恰好发生k次的概率为喘/(IR)M(A=O.12.・,〃).

(6)超几何分布:假设一批产品共有N件,其中有M件次品，从N件产品中随机抽取

〃件(不放回)，用X表示抽取的〃件产品中的次品数，则X的分布列为

P(X=k)=,k=m,m+1g+2,…其中〃.M.N£N\M<N,n<N,m=mnK{O,n-

N+M},片min{儿M}.

⑺二项分布:分布列为P(X=/D=Cj//(l-prk(k=O,\,2,…，记为X〜B(〃M；

数学期望E(X)=〃〃,万差O(X)=〃p(l-〃).

(8)正态分布贸入)=篇1*的图象称为正态密度曲线，其中直线x="为对称轴.

若X〜则E(X)=%D(X)=〃.

3b原则:①PQ-dXq户0.6827,

翱(〃-20%+2亦0.9545,

潮（/一3日%+3亦0.9973

附录2关注教材中的素材挖掘拓展

一、函数

三次函数与指对数混合式函数的图象

1.对于三次函数严加+加+cx+d(aM),结合导数，我们可以确定三次函数

y=ax^+Z?%2+cx+J(a#O)单调性，从而确定其图象，如下表所示.

而且我们可以证明..")=&/+加+以+代加)的图象是关于点卷》对称

的，且对称点的横坐标是八》)二。/。)是八x)的导数)的解.更有趣的是，若凡0有极大值与

极小值，则4•二空.

3Q2

注:我们可以进一步推广〃次函数的图象的对称性如下：

若/U)是一个〃次多项式，底2(因为直线从狭义上讲没有对称中心而从广义上讲有无

数个对称中心)，其n次项系数是的,〃-1次项系数是即则有：

(1)如果y=«r)的图象是中心对称图形，那么其对称中心是(-款/(-言))

(2)如果)，寸幻的图象是轴对称图形，那么其对称轴是x=/k

2.常用指对数混合式函数的图象

(l)yrlnx的图象如图@该函数的极值点为：/《,[),该函数在(03)上单调递减，在

6,+8)上单调递增.)=卷的图象如图②图中虚线为渐近线.k1,该函数的极值点为

e,P(e,e),该函数在(0,1),(1,e)上单调递减，在(e,+8)上单调递增.

(2)产号的图象如图③该函数的极值点为e,P(e.),该函数在(0,e)上单调递增，在

(e,+8)上单调递减.尸汨的图象如图④该函数的极值点为]P(-1，T),该函数在上

单调递减，在(-1,+◎上单调递增.

(3).y*的图象如图⑤该函数的极值点为1/(1*),该函数在(-8,1)上单调递增，在

(1,+8)上单调递减的图象如图⑥该函数的极值点为1/(11),该函数在(-8,0),(0,1)上

单调递减，在(1,+8)上单调递堵.

(4)关于危)=*与其他三个函数的关系:产十(xe用代x)j=Nnx=eEnX决n

j);>'=^=-lnx1-e,n"x).

拓展:利用,/U)fe'的图象和性质，借助于同构思想构造一些其他复杂的函数：

1)©=eG-1>。川=c"-1);

磔詈二e•曙=叨-ln(ex)];

鬻手臀T-m打

二、立体几何

正方体的截面形状

用一个平面去截正方体，所得截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形.

I.三角形:当平面以一定角度只截正方体的三条棱时,得到的截面是三角形，如图，其

形状只能是锐角三角形.

当平面过正方体的共顶点的三条棱的中点时，所得截面为正三角形;当平面过正方体

的共顶点的三条棱的末端（不重合的顶点）时,得到的正三角形面积最大.

2.四边形:当平面以一定角度只截正方体的四条棱时,得到的截面是四边形，其形状可

以是正方形、非矩形的平行四边形、矩形、菱形、梯形（含等腰梯形），如图所示.

3.五边形:当平面以一定角度只截正方体的五条棱时,得到的截面是五边形，但不可能

是正五边形，如图所示.

4.六边形:当平面以一定角度截正方体的六条棱时，得到的截面是六边形，可以是正六

边形（特别地，截面与正方体各棱的交点为所在棱的中点时,截面为F六边形），如图所示.

当六边形为正六边形时，所得的截面的面积最大，可以用投影公式法证明，即用公式S,呦形

=?证明，其中。为截面与正方体底面所成的角.

cos。

三、解析几何

丫222

1.椭圆C：2+3=lS>/»0）的焦点在X轴上，若48是椭圆上关于原点对称的两点,

azb

是椭圆上异于A石的一点，直线AP的斜率存在且不为（）,则依而产耳，如图①若A.B是

aL

椭圆谆+。1（〃》〉0）上的任意两点,是弦AB的中点，直线AB的斜率存在且不为0,

且回不过原点，则如心产其中。为坐标原点，如图②若C是焦点在），轴上的椭圆,

则两个结论改为-长若。是焦点在x轴上的双曲线，则两个结论改为《若C是焦点在y

轴上的双曲线，则两个结论改为以

b

①②

2.若尸o(xo,yo)在圆x2+)2=/(r>0)上，则在Po处的圆的切线方程是人"+)梦=/；若

22

Po(xojo)在椭圆尢+%=1(。乂>0)上，则在尸。处的椭圆的切线方程是簧+等=1；若Po(xo,和)

在双曲线。3=13>0,/>0)上，则在R)处的双曲线的切线方程是学爷=1;在抛物线

y2=2px(p>0)上任一点、Po(xo,yo)处的切线方程为yyo=p(x+xo).

22

3.直线A8过椭圆Cv：3+vR=l(a>%>())的右焦点F,与。交于点43,过分别作C

的切线交于点P,则点尸在直线x=「(此直线为椭圆的•条准线)上，且PF_L48;反之，点P

在直线尸手(此直线为椭圆的一条准线)上，过点P作椭圆的两条切线,切点为4A则直线

A8过椭圆的右焦点.

四、统计与概率

甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能

地将球传给另外两个人中的任何一人.求〃次传球后球在甲手中的概率.

在概率内容考查中，常常出现以数列为背景，与递推数列有关的问题，上面的这道题就

是选择性必修第三册第91页的练习题，实质是根据题意得出递推关系:%=〃%」+式〃可是

非零常数,叱2),求通项