2025年高考数学复习(新高考专用)第10讲计数原理、概率、随机变量及其分布(2022-2024高考真题)特训(学生版+解析)

第10讲计数原理、概率、随机变量及其分布（2022-2024高考真题）（新高考专用）一、单项选择题1．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则（

）A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B相互独立C．事件A与事件B∪C互斥 D．事件A与事件B∩C相互独立2．（2024·北京·高考真题）在x−x4的展开式中，x3A．6 B．−6 C．12 D．−123．（2024·全国·高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（

）A．14 B．13 C．124．（2023·全国·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（

）A．56 B．23 C．125．（2023·全国·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（

）A．16 B．13 C．126．（2023·全国·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．207．（2023·全国·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（

）A．30种 B．60种 C．120种 D．240种8．（2023·全国·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（

）．A．C40045⋅C200C．C40030⋅C2009．（2023·全国·高考真题）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.410．（2022·全国·高考真题）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（

）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.611．（2022·全国·高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（

）A．15 B．13 C．2512．（2022·全国·高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大13．（2022·北京·高考真题）若(2x−1)4=a4xA．40 B．41 C．−40 D．−41二、多项选择题14．（2024·广东江苏·高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N1.8,0.12，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布Nx,sA．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.815．（2023·全国·高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1−α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1−β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为(1−α)B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为βC．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为βD．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率三、填空题16．（2024·上海·高考真题）x−16展开式中x4的系数为17．（2024·上海·高考真题）在(x+1)n的二项展开式中，若各项系数和为32，则x2项的系数为18．（2024·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于12的概率为19．（2024·全国·高考真题）13+x10的展开式中，各项系数中的最大值为20．（2024·天津·高考真题）在3x3+x321．（2024·全国·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是．22．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有A、B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是．23．（2024·天津·高考真题）A,B,C,D,E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为．24．（2024·广东江苏·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.25．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为5:4:6．且其中的黑球比例依次为40%,25%,50%．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为26．（2023·天津·高考真题）在2x3−1x6的展开式中，27．（2023·全国·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．28．（2022·全国·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．29．（2022·全国·高考真题）1−yx(x+y)8的展开式中x230．（2022·浙江·高考真题）已知多项式(x+2)(x−1)4=a0+a1x+a231．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为.32．（2022·浙江·高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ=2)=，E(ξ)=．33．（2022·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布N2,σ2，且P(2<X≤2.5)=0.36．四、解答题34．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．35．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：赔偿次数01234单数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.（i）记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中36．（2024·全国·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．(1)若p=0.4，q=0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设0<p<q，（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？37．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+用频率估计概率．(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）38．（2023·全国·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第i次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且PXi=1=1−PXi=0=qi39．（2022·全国·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间40．（2022·全国·高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．41．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9．50m甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）第10讲计数原理、概率、随机变量及其分布（2022-2024高考真题）（新高考专用）一、单项选择题1．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则（

）A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B相互独立C．事件A与事件B∪C互斥 D．事件A与事件B∩C相互独立【解题思路】根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可．【解答过程】选项A，事件A和事件B可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件A与事件B不互斥，A错误；选项B，∵PA=12，∴P(A)P(B)=P(AB)，B正确；选项C，事件A与事件B∪C可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误；选项D，∵PA=12，∴P(A)P(B∩C)≠P(A∩(B∩C))，∴A与B∩C不独立，故D错误．故选：B．2．（2024·北京·高考真题）在x−x4的展开式中，x3A．6 B．−6 C．12 D．−12【解题思路】写出二项展开式，令4−r2=3【解答过程】x−x4的二项展开式为令4−r2=3故所求即为C4故选：A.3．（2024·全国·高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（

）A．14 B．13 C．12【解题思路】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.【解答过程】解法一：画出树状图，如图，由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，故所求概率P=8解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是A4根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为824故选：B.4．（2023·全国·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（

）A．56 B．23 C．12【解题思路】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答.【解答过程】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：乙甲1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)共有36个不同结果，它们等可能，其中甲乙抽到相同结果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，共6个，因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率P=30故选：A.5．（2023·全国·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（

）A．16 B．13 C．12【解题思路】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.【解答过程】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C4其中这2名学生来自不同年级的基本事件有C2所以这2名学生来自不同年级的概率为46故选：D.6．（2023·全国·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．20【解题思路】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.【解答过程】不妨记五名志愿者为a,b,c,d,e，假设a连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有A4同理：b,c,d,e连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有5×12=60种.故选：B.7．（2023·全国·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（

）A．30种 B．60种 C．120种 D．240种【解题思路】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.【解答过程】首先确定相同得读物，共有C6然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A5根据分步乘法公式则共有C6故选：C.8．（2023·全国·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（

）．A．C40045⋅C200C．C40030⋅C200【解题思路】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.【解答过程】根据分层抽样的定义知初中部共抽取60×400600=40根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有C400故选：D.9．（2023·全国·高考真题）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4【解题思路】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解.【解答过程】同时爱好两项的概率为0.5+0.6−0.7=0.4，记“该同学爱好滑雪”为事件A,记“该同学爱好滑冰”为事件B，则P(A)=0.5,P(AB)=0.4，所以P(B∣A)=P(AB)故选:A.10．（2022·全国·高考真题）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（

）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6【解题思路】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.【解答过程】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.3+7.52对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.116B选项结论正确.对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值616C选项结论错误.对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值1316D选项结论正确.故选：C.11．（2022·全国·高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（

）A．15 B．13 C．25【解题思路】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.【解答过程】[方法一]：【最优解】无序从6张卡片中无放回抽取2张，共有1,2,1,3,1,4,[方法二]：有序从6张卡片中无放回抽取2张，共有1,2,其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为1230故选：C.12．（2022·全国·高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【解题思路】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率p甲；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率p乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率【解答过程】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为12则此时连胜两盘的概率为p则p=p记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p乙则p记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p则p则pp即p甲<p则该棋手在第二盘与丙比赛，p最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；p与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D.13．（2022·北京·高考真题）若(2x−1)4=a4xA．40 B．41 C．−40 D．−41【解题思路】利用赋值法可求a0【解答过程】令x=1，则a4令x=−1，则a4故a4故选：B.二、多项选择题14．（2024·广东江苏·高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N1.8,0.12，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布Nx,sA．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8【解题思路】根据正态分布的3σ原则以及正态分布的对称性即可解出.【解答过程】依题可知，x=2.1,s2故PY>2因为X~N1.8,0.12因为PX<1.8+0.1≈0.8413，所以而PX>2故选：BC．15．（2023·全国·高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1−α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1−β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为(1−α)B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为βC．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为βD．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【解题思路】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.【解答过程】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1−β)(1−α)(1−β)=(1−α)(1−β)对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1−β)⋅β⋅(1−β)=β(1−β)对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为C3对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率P=(1−α)单次传输发送0，则译码为0的概率P′=1−α，而因此P−P′=故选：ABD.三、填空题16．（2024·上海·高考真题）x−16展开式中x4的系数为【解题思路】根据给定条件，利用二项式定理直接求出结果.【解答过程】x−16展开式中令x4的项为所以x−16展开式中x故答案为：15.17．（2024·上海·高考真题）在(x+1)n的二项展开式中，若各项系数和为32，则x2项的系数为【解题思路】令x=1，解出n=5，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.【解答过程】令x=1，∴(1+1)n=32，即2所以(x+1)5的展开式通项公式为Tr+1=C5∴T故答案为：10．18．（2024·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于12的概率为715【解题思路】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为a,b，第三个球的号码为c，则a+b−3≤2c≤a+b+3，就c的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.【解答过程】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A6设前两个球的号码为a,b，第三个球的号码为c，则a+b+c3故2c−(a+b)≤3，故−3≤2c−(a+b)≤3故a+b−3≤2c≤a+b+3，若c=1，则a+b≤5，则a,b为：2,3,若c=2，则1≤a+b≤7，则a,b为：1,3,3,1,当c=3，则3≤a+b≤9，则a,b为：1,2,2,1,故有16种，当c=4，则5≤a+b≤11，同理有16种，当c=5，则7≤a+b≤13，同理有10种，当c=6，则9≤a+b≤15，同理有2种，共m与n的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为2故所求概率为56120故答案为：71519．（2024·全国·高考真题）13+x10【解题思路】先设展开式中第r+1项系数最大，则根据通项公式有C10r1【解答过程】由题展开式通项公式为Tr+1=C10r设展开式中第r+1项系数最大，则C10⇒r≥294r≤334，即所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为C10故答案为：5.20．（2024·天津·高考真题）在3x3+【解题思路】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【解答过程】因为3x3+令6r−3=0，可得所以常数项为30故答案为：20.21．（2024·全国·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有24种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是112．【解题思路】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.【解答过程】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有4×3×2×1=24种选法；每种选法可标记为(a,b,c,d)，a,b,c,d分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)，(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)，(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)，(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15+21+33+43=112.故答案为：24；112.22．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有A、B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是0.85．【解题思路】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.【解答过程】由题意知，A,B,C题库的比例为：5:4:3，各占比分别为512则根据全概率公式知所求正确率p=5故答案为：0.85．23．（2024·天津·高考真题）A,B,C,D,E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为35；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为12【解题思路】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A活动，他再选择B活动的概率.【解答过程】解法一：列举法从五个活动中选三个的情况有：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种情况，其中甲选到A有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE，则甲选到A得概率为：P=6乙选A活动有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE，其中再选则B有3种可能性：ABC,ABD,ABE，故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为36解法二：设甲、乙选到A为事件M，乙选到B为事件N，则甲选到A的概率为PM乙选了A活动，他再选择B活动的概率为P故答案为：35；124．（2024·广东江苏·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为12【解题思路】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【解答过程】设甲在四轮游戏中的得分分别为X1,X对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在该轮得分的概率PXk=1从而EX记pk如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以p0如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以p3而X的所有可能取值是0，1，2，3，故p0+p所以p1+p2+112所以甲的总得分不小于2的概率为p2故答案为：1225．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为5:4:6．且其中的黑球比例依次为40%,25%,50%．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为0.05【解题思路】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；根据古典概型的概率公式可求出第二个空．【解答过程】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n,4n,6n，所以总数为15n，所以甲盒中黑球个数为40%×5n=2n，白球个数为乙盒中黑球个数为25%×4n=n，白球个数为丙盒中黑球个数为50%×6n=3n，白球个数为记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A，所以，PA记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B，黑球总共有2n+n+3n=6n个，白球共有9n个，所以，PB故答案为：0.05；3526．（2023·天津·高考真题）在2x3−1x6的展开式中，【解题思路】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式Tk+1=−1k×26−k【解答过程】展开式的通项公式Tk+1令18−4k=2可得，k=4，则x2项的系数为−1故答案为：60.27．（2023·全国·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有64种（用数字作答）．【解题思路】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.【解答过程】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C4（2）当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C4②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C4综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.故答案为：64.28．（2022·全国·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为310【解题思路】根据古典概型计算即可【解答过程】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率P=3故答案为：310解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为C甲、乙都入选的方法数为C31故答案为：31029．（2022·全国·高考真题）1−yx(x+y)8的展开式中【解题思路】1−yxx+y【解答过程】因为1−y所以1−yxx+y8的展开式中含1−yxx+y故答案为：-28.30．（2022·浙江·高考真题）已知多项式(x+2)(x−1)4=a0+a1x+a2【解题思路】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令x=0求出a0，再令x=1【解答过程】含x2的项为：x⋅C4令x=0，即2=a令x=1，即0=a∴a1故答案为：8；−2．31．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为1221；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为117【解题思路】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率.【解答过程】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,则P(BC)=4故答案为：1221；32．（2022·浙江·高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ=2)=1635，E(ξ)=127【解题思路】利用古典概型概率公式求P(ξ=2)，由条件求ξ分布列，再由期望公式求其期望.【解答过程】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有C73种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有C4由已知可得ξ的取值有1，2，3，4，P(ξ=1)=C62，P

所以E(ξ)=1×15故答案为：1635，1233．（2022·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布N2,σ2，且P(2<X≤2.5)=0.360.14．【解题思路】根据正态分布曲线的性质即可解出．【解答过程】因为X∼N2,σ2，所以P故答案为：0.14．四、解答题34．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．【解题思路】（1）利用组合知识和超几何分布求概率公式求出答案；（2）利用分层抽样的定义进行求解；（3）根据公式计算出总体样本平均质量和方差，并预估平均质量.【解答过程】（1）设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，样本空间的样本点的个数n=CA事件的样本点的公式m=C所以PA（2）因为一级果箱数：二级果箱数=102:34=3:1，所以8箱水果中有一级果抽取8×33+1=6（3）设一级果平均质量为x，方差为Sx2，二级果质量为y，方差为总体样本平均质量为z，方差为S2因为x=303.45，y=240.41，Sx所以z=S2=120预估平均质量为10213635．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：赔偿次数01234单数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.（i）记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中【解题思路】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;（2）（ⅰ）设ξ为赔付金额，则ξ可取0,0.8,0.1.6,2.4,3，用频率估计概率后可求ξ的分布列及数学期望，从而可求（ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求EY【解答过程】（1）设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得PA（2）（ⅰ）设ξ为赔付金额，则ξ可取0,0.8,1.6,2.4,3，由题设中的统计数据可得Pξ=0P(ξ=1.6)=601000=P(ξ=3)=10故E故EX（ⅱ）由题设保费的变化为0.4×4故EY从而EX36．（2024·全国·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．(1)若p=0.4，q=0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设0<p<q，（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？【解题思路】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i）首先各自计算出P甲=1−(1−p)3q3【解答过程】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，∴比赛成绩不少于5分的概率P=1−（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙∵0<p<q，∴=(q−p)=(p−q)=3pq(p−q)(pq−p−q)=3pq(p−q)[(1−p)(1−q)−1]>0，∴P(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15，P(X=0)=(1−p)P(X=5)=1−P(X=10)=1−P(X=15)=1−∴E(X)=15记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15，同理E(Y)=15∴E(X)−E(Y)=15[pq(p+q)(p−q)−3pq(p−q)]=15(p−q)pq(p+q−3)，因为0<p<q，则p−q<0，p+q−3<1+1−3<0，则(p−q)pq(p+q−3)>0，∴应该由甲参加第一阶段比赛.37．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+用频率估计概率．(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）【解题思路】（1）计算表格中的+的次数，然后根据古典概型进行计算；（2）分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算；（3）通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第41天的情况.【解答过程】（1）根据表格数据可以看出，40天里，有16个+，也就是有16天是上涨的，根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：16（2）在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是0.4，0.35，0.25，于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是C（3）由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不变的有9次，下跌的有2次，因此估计第41次不变的概率最大.38．（2023·全国·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人