2025年高考数学一轮复习讲义(新高考专用)专题30平面向量的数量积及其应用(原卷版+解析)

2/2专题30平面向量的数量积及其应用（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 4【考点1】数量积的计算 4【考点2】数量积的应用 5【考点3】平面向量的综合应用 6【分层检测】 7【基础篇】 7【能力篇】 9【培优篇】 10考试要求：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的长度的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知识梳理知识梳理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(3)投影向量如图，在平面内任取一点O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq\o(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(3)夹角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).3.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).4.平面几何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.真题自测真题自测一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（

）A． B．C． D．3．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B．C． D．4．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．65．（2022·全国·高考真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．2二、填空题6．（2023·全国·高考真题）已知向量，满足，，则．7．（2022·全国·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则．8．（2021·全国·高考真题）已知向量，，，．9．（2021·全国·高考真题）已知向量，若，则．10．（2021·全国·高考真题）已知向量．若，则．考点突破考点突破【考点1】数量积的计算一、单选题1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知向量，满足，，且与的夹角为，则（

）A． B． C．1 D．132．（2024·湖北·模拟预测）直线与圆交于M、N两点，O为坐标原点，则（）A． B． C．1 D．2二、多选题3．（2024·广东广州·二模）在梯形中，，则（

）A． B． C． D．4．（2024·全国·模拟预测）已知是两个单位向量，若，，则（

）A．三点共线 B．C． D．三、填空题5．（2024·河南·模拟预测）已知向量，，若，则的取值范围为．6．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，，反思提升：平面向量数量积的两种运算方法(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.【考点2】数量积的应用一、单选题1．（2024·四川眉山·三模）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．2．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知向量的夹角为，且，若，则（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）在边长为正六边形中，是线段上一点，，则下列说法正确的有（

）A．若，则B．若向量在向量上的投影向量是，则C．若为正六边形内一点（包含端点），则的取值范围是D．若，则的值为4．（2023·河北唐山·二模）已知向量，，，下列命题成立的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．设，，当取得最大值时，三、填空题5．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量满足，则实数的值为．6．（2024·四川·模拟预测）平面向量，满足，，且，则的值为．反思提升：(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.(2)计算向量的模：①当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；②利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；③几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.【考点3】平面向量的综合应用一、单选题1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．2．（2024·广东广州·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长等于（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·广东广州·二模）已知双曲线的左右焦点分别为，左顶点为，点是的右支上一点，则（

）A．的最小值为8B．若直线与交于另一点，则的最小值为6C．为定值D．若为的内心，则为定值4．（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（

）A．B．C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为D．的最大值为三、填空题5．（2024·全国·模拟预测）已知等边的外接圆的面积为，动点在圆上，若，则实数的取值范围为．6．（2024·河北秦皇岛·二模）已知双曲线C：的左焦点为F，过坐标原点O的直线与C交于A，B两点，且，，则C的离心率为.反思提升：向量数量积综合应用的方法和思想(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·湖南长沙·二模）已知向量中，是单位向量，与的夹角为，则（

）A．2 B． C． D．-12．（2024·浙江·三模）已知单位向量满足，则（

）A．0 B． C． D．13．（2023·山东青岛·二模）已知为坐标原点，复数，，分别表示向量，，，若，则（

）A． B． C． D．4．（2024·湖北武汉·二模）已知，向量，且，则在上的投影向量为（

）A． B．5 C． D．二、多选题5．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（

）A．B．在方向上的投影向量为C．若，则D．若，则6．（2023·山东·二模）下列说法正确的是（

）A．B．非零向量和，满足且和同向，则C．非零向量和满足，则D．已知，，则在的投影向量的坐标为7．（2024·全国·模拟预测）已知向量，若，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量为三、填空题8．（2024·江西·模拟预测）已知平面内非零向量在向量上的投影向量为，且，则与夹角的余弦值为．9．（2024·全国·模拟预测）已知向量，若，则.10．（2024·湖北·模拟预测）已知向量，，若，则实数.四、解答题11．（23-24高三上·北京·阶段练习）在中，．(1)求C；(2)若，求的最小值．12．（2024·黑龙江·二模）已知向量，，且函数在上的最大值为．(1)求常数的值；(2)求函数的单调递减区间．【能力篇】一、单选题1．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量，则（

）A． B． C． D．二、多选题2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知向量，则下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．的最大值为6D．若，则三、填空题3．（2024·湖北·模拟预测）已知正方形的边长为，两个点，（两点不重合）都在直线的同侧（但，与在直线的异侧），，关于直线对称，若，则面积的取值范围是.四、解答题4．（2024·广东惠州·一模）在中，已知，，分别为角，，的对边．若向量，向量，且．(1)求的值；(2)若，，成等比数列，求的值．【培优篇】一、单选题1．（2024·广东佛山·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B在C上，且满足，，则C的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题2．（2023·福建·模拟预测）半圆形量角器在第一象限内，且与轴、轴相切于、两点.设量角器直径，圆心为，点为坐标系内一点.下列选项正确的有（

）

A．点坐标为 B．C． D．若最小，则三、填空题3．（2024·上海长宁·二模）已知平面向量满足：，若，则的最小值为．专题30平面向量的数量积及其应用（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 9【考点1】数量积的计算 9【考点2】数量积的应用 12【考点3】平面向量的综合应用 17【分层检测】 24【基础篇】 24【能力篇】 30【培优篇】 33考试要求：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的长度的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知识梳理知识梳理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(3)投影向量如图，在平面内任取一点O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq\o(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(3)夹角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).3.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).4.平面几何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.真题自测真题自测一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（

）A． B．C． D．3．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B．C． D．4．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．65．（2022·全国·高考真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．2二、填空题6．（2023·全国·高考真题）已知向量，满足，，则．7．（2022·全国·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则．8．（2021·全国·高考真题）已知向量，，，．9．（2021·全国·高考真题）已知向量，若，则．10．（2021·全国·高考真题）已知向量．若，则．参考答案：1．D【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为,所以,即,即,所以.如图,设,由题知,是等腰直角三角形,AB边上的高,所以,,.故选:D.2．A【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.【详解】如图所示，，则由题意可知:，由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，则：，则当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，则：，，则当时，有最大值.综上可得，的最大值为.故选：A.【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.3．D【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．4．C【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：,,即,解得,故选：C5．C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵，又∵∴9，∴故选：C.6．【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.【详解】法一：因为，即，则，整理得，又因为，即，则，所以.法二：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即.故答案为：.7．【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．故答案为：．8．【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得，因此，.故答案为：.9．【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为，所以由可得，，解得．故答案为：．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，，注意与平面向量平行的坐标表示区分．10．.【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值【详解】,，解得,故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.考点突破考点突破【考点1】数量积的计算一、单选题1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知向量，满足，，且与的夹角为，则（

）A． B． C．1 D．132．（2024·湖北·模拟预测）直线与圆交于M、N两点，O为坐标原点，则（）A． B． C．1 D．2二、多选题3．（2024·广东广州·二模）在梯形中，，则（

）A． B． C． D．4．（2024·全国·模拟预测）已知是两个单位向量，若，，则（

）A．三点共线 B．C． D．三、填空题5．（2024·河南·模拟预测）已知向量，，若，则的取值范围为．6．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，，参考答案：1．B【分析】根据，结合数量积运算求解.【详解】根据题意，，则.故选：B2．C【分析】先联立方程，结合韦达定理可求出，根据向量数量积可求答案.【详解】联立,得，则，即，所以，设，则：，，故选：C3．ABD【分析】在中由正弦定理求解判断A；利用两角和差公式求解判断B；利用向量数量积计算判断C；利用数量积计算判断D．【详解】在中，，则，由正弦定理知，即，故A正确；，，，故B正确；，故C错误；，故，即，故D正确．故选：ABD4．ABD【分析】利用平面向量共线的性质判断A，利用向量模的性质判断B，用定义计算向量积判断C，D即可.【详解】对于选项A：，，所以，于是三点共线，故A正确.选项B：设的夹角为，则，，，，所以，故，同理，所以，故，因此，故B正确.选项C：易知，所以，，，因为的值不确定，所以无法比较大小，故C不正确.选项D：，，，显然，故D正确.故选：ABD5．【分析】根据数量积的坐标表示得到，再利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可求出其范围.【详解】因为，，，所以，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的取值范围为.故答案为：6．【分析】根据平面向量数量积的运算及数量积的性质即可得结论.【详解】因为向量，，，所以，因此，．故答案为：．反思提升：平面向量数量积的两种运算方法(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.【考点2】数量积的应用一、单选题1．（2024·四川眉山·三模）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．2．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知向量的夹角为，且，若，则（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）在边长为正六边形中，是线段上一点，，则下列说法正确的有（

）A．若，则B．若向量在向量上的投影向量是，则C．若为正六边形内一点（包含端点），则的取值范围是D．若，则的值为4．（2023·河北唐山·二模）已知向量，，，下列命题成立的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．设，，当取得最大值时，三、填空题5．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量满足，则实数的值为．6．（2024·四川·模拟预测）平面向量，满足，，且，则的值为．参考答案：1．A【分析】根据数量积的运算律求出、、，即可求出、、，再根据夹角公式计算可得.【详解】由题意得，则有，解得，又由，则有，解得，同理可得，所以，，，所以.故选：A2．A【分析】利用平面向量的数量积运算公式结合已知直接计算即可.【详解】因为，所以，即，因为，向量的夹角为，所以，所以，即.故选：A.3．AC【分析】由向量线性运算可利用表示出，知A正确；由投影向量定义可求得向量在上的投影向量为，知B错误；以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标运算可知C正确；设，根据可求得的值，进而得到，知D错误.【详解】对于A，若，则为中点，，A正确；对于B，由正六边形的性质知向量与的夹角为，则向量在上的投影向量为，，B错误；对于C，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，则，，设，，，，C正确；对于D，由题意知：，，，设，，，，解得：，，，，即，D错误.故选：AC.4．AD【分析】若，则，结合两角差的正弦公式即可判断A；若，则，再结合二倍角的正弦公式及正弦函数的值域即可判断B；若，则，再结合二倍角的余弦公式即可判断C；求出再结合两角差的余弦公式即可判断D.【详解】对于A，若，则，即，所以，即，故A正确；对于B，若，则，即，即，因为，所以，所以，所以，所以，故B错误；对于C，，由，得，即，即，则，则或，所以或，故C错误；对于D，，，则，当取得最大值时，，此时，所以，故D正确.故选：AD.5．1或【分析】结合平面向量的相关知识，将两边平方，计算即可.【详解】将两边平方，得，得，即，解得或．故答案为：或.6．【分析】首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】因为，，所以，又，所以，解得.故答案为：反思提升：(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.(2)计算向量的模：①当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；②利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；③几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.【考点3】平面向量的综合应用一、单选题1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．2．（2024·广东广州·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长等于（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·广东广州·二模）已知双曲线的左右焦点分别为，左顶点为，点是的右支上一点，则（

）A．的最小值为8B．若直线与交于另一点，则的最小值为6C．为定值D．若为的内心，则为定值4．（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（

）A．B．C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为D．的最大值为三、填空题5．（2024·全国·模拟预测）已知等边的外接圆的面积为，动点在圆上，若，则实数的取值范围为．6．（2024·河北秦皇岛·二模）已知双曲线C：的左焦点为F，过坐标原点O的直线与C交于A，B两点，且，，则C的离心率为.参考答案：1．C【分析】可由重心的性质结合向量运算得到点的轨迹，再结合圆上的点到圆外定点的距离最小值为圆心到定点减半径得到；亦可建立适当平面直角坐标系，借助向量的坐标运算结合圆的性质得解.【详解】法一：设的重心为，则，点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，又，的最小值是.法二：以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系，则，设，即，化简得，点的轨迹方程为，设圆心为，，由圆的性质可知当过圆心时最小，又，故得最小值为.故选：C.2．A【分析】由设，可得的值，进而可求得的值，结合余弦定理可得，由可求得，即可求得结果.【详解】由题意知，设，则，如图所示，由可得，整理得，即，又因为，所以，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以，由是边上的中线，得.所以，中线长.故选：A3．ACD【分析】根据双曲线的定义判断A；取直线可判断B；由向量的数量积公式和运算律进行化简判断C；根据双曲线的定义判断D.【详解】对A，得，所以，所以，当为双曲线右支与轴交点时，取等号，即的最小值为8，故A正确；对B，若直线经过，当直线的斜率为0时，直线的方程为，与双曲线的两个交点为，此时，故B错误；对C，因为，所以，，两式相加得，，所以，故C正确；对D，设为的内心，，，，在双曲线上，,为定值，D正确，故选：ACD．4．AD【分析】对于A：根据正六边形的性质结合向量的线性运算求解；对于C：根据结合投影向量的定义分析判断；对于BD：建系，根据向量的坐标运算求解.【详解】对于选项A：因为，故A正确；对于选项C：由题意可知：，若P为EF的中点，所以在上的投影向量为，故C错误；对于选项BD：如图，建立平面直角坐标系，则，可得，所以，故B错误；设，可知，则，可得，则，可知当，即点与点重合时，的最大值为，故D正确；故选：AD.5．【分析】根据正三角形的几何性质可得外接圆半径，再由正弦定理得边长，取线段的中点，取线段的中点，根据向量的线性运算及数量积的运算性可得，且再由三角形三边关系列不等式得结论.【详解】依题意，设的外接圆的半径为，则，故，在等边中由正弦定理得，则；取线段的中点，连接，则，所以；取线段的中点，连接，则在线段上，且，所以，则又，故，则．故答案为：.6．【分析】记C的右焦点为，连接，，由双曲线的定义结合题意可得，，再由数量积的定义和余弦定理可得，即可求出答案.【详解】记C的右焦点为，连接，，如图所示.过坐标原点O的直线与C交于A，B两点，所以四边形为平行四边形，所以，因为，，所以，.因为，所以.在中，由余弦定理可得，因为，所以，即，即C的离心率为.故答案为：.反思提升：向量数量积综合应用的方法和思想(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·湖南长沙·二模）已知向量中，是单位向量，与的夹角为，则（

）A．2 B． C． D．-12．（2024·浙江·三模）已知单位向量满足，则（

）A．0 B． C． D．13．（2023·山东青岛·二模）已知为坐标原点，复数，，分别表示向量，，，若，则（

）A． B． C． D．4．（2024·湖北武汉·二模）已知，向量，且，则在上的投影向量为（

）A． B．5 C． D．二、多选题5．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（

）A．B．在方向上的投影向量为C．若，则D．若，则6．（2023·山东·二模）下列说法正确的是（

）A．B．非零向量和，满足且和同向，则C．非零向量和满足，则D．已知，，则在的投影向量的坐标为7．（2024·全国·模拟预测）已知向量，若，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量为三、填空题8．（2024·江西·模拟预测）已知平面内非零向量在向量上的投影向量为，且，则与夹角的余弦值为．9．（2024·全国·模拟预测）已知向量，若，则.10．（2024·湖北·模拟预测）已知向量，，若，则实数.四、解答题11．（23-24高三上·北京·阶段练习）在中，．(1)求C；(2)若，求的最小值．12．（2024·黑龙江·二模）已知向量，，且函数在上的最大值为．(1)求常数的值；(2)求函数的单调递减区间．参考答案：1．B【分析】根据数量积的定义及运算律求解.【详解】，所以.故选：B2．B【分析】计算出，，，利用向量夹角余弦公式求出答案.【详解】，，故，，故，所以.故选：B3．C【分析】根据复数的几何意义确定向量，，的坐标，再根据向量垂直的坐标运算即可求得的值，从而可得的值.【详解】由题意可得，，所以又，所以，所以则.故选：C.4．C【分析】借助向量垂直可得，结合投影向量定义计算即可得解.【详解】由，则有，即，则，故.故选：C.5．AB【分析】由题意可得，根据可判断A；根据在方向上的投影向量为可判断B；根据可判断C；根据数量积的运算律可判断D.【详解】因为，都是单位向量，所以，所以，即，故A正确；在方向上的投影向量为，故B正确；若，则，即，即，因为，所以，故C错误；若，则，所以，即，故D错误.故选：AB6．AC【分析】根据数量积的运算律判断A、C，根据向量的定义判断B，根据投影向量的定义判断D.【详解】对于A：根据数量积的运算律可知，故A正确；对于B：向量不可以比较大小，故B错误；对于C：非零向量和满足，则，即，所以，则，故C正确；对于D：因为，，所以，，所以在的投影向量为，故D错误；故选：AC7．ABD【分析】利用向量垂直的坐标表示求出x，再结合向量的坐标运算逐项判断即得.【详解】对于A，由，，得，解得，A正确；对于B，，则，于是，B正确；对于C，，，则与不垂直，C错误；对于D，，则在上的投影向量为，D正确．故选：ABD8．【分析】利用投影向量公式计算即可.【详解】设与的夹角为，因为，即，又，则，即．故答案为：.9．【分析】先利用向量垂直的坐标运算求得，然后代入模的坐标运算公式求解即可.【详解】，，，.故答案为：10．【分析】根据向量垂直的坐标表示，由可得即可得解.【详解】由得，，.故答案为：11．(1)(2)【分析】（1）根据两角和正弦余弦公式化简可得，再根据诱导公式化简可得；（2）由余弦定理求出的取值范围后即可求出.【详解】（1）因为，所以，，即即，因为是的内角，所以，即，所以.（2）在中，，得，因为是的边长所以，所以，即因为，所以，所以的最小值为.12．(1)(2)【分析】（1）根据向量数量积运算、二倍角和辅助角公式可化简，根据正弦型函数最大值可构造方程求得的值；（2）采用整体代换的方式，构造不等式，解不等式即可求得单调递减区间.【详解】（1），，，解得：.（2）由（1）知：，令，解得：，的单调递减区间为.【能力篇】一、单选题1．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量，则（

）A． B． C． D．二、多选题2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知向量，则下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．的最大值为6D．若，则三、填空题3．（2024·湖北·模拟预测）已知正方形的边长为，两个点，（两点不重合）都在直线的同侧（但，与在直线的异侧），，关于直线对称