数学教育学课程教学大纲

数学教育学课程教学大纲

课程名称：数学教育学/MathematicsEducation

课程代码：0806004008开课学期：5

学时/学分：48学时/3……学分(课内教学20学时，实验上机28学时，课外28学时)

先修课程：教育学，心理学，中学数学研究

适用专业：数学与应用数学

开课院(系)：数学与计算机科学学院

一、课程的性质与任务

本课程是数学与应用数学(师范类)专业的专业基础课之一。它是在唯物辩证法的指导

下，运用教育学、心理学的基本原理，根据数学学科及学生的特点，研究数学教学规律的综

合性的独立学科。它的主要任务是研究数学课程的教学内容和教学方法，以及确定这些内容

和方法的理论依据。通过本课程的学习，使学生系统学习数学教育的一般理论和受到数学教

学的初步训练，具备一定的课堂教学能力、教育教学管理能力、教育教学研究能力。

二、课程的教学内容、基本要求及学时分配

(一)、数学教育的发展与展望2学时

(1)了解数学教育的发展历史。

(2)了解中学数学改革的概况。

(3)数学课程标准。

重点：中学数学改革的概况

难点：数学课程改革的

(-)数学教育学的结构2学时

(1)了解数学课程的内容及编排要求。

(2)了解数学学习的类型和方法。

(3)理解数学学习过程的心理活动。

重点：数学学习的类型和方法。

难点：数学学习过程的心理活动。

(三)数学教学原则2学时

(1)理解在数学教学过程中学生、教师和教材的地位、作用以及学生的心理特点。

(2)掌握数学教学的基本原则。

重点：数学教学的基本原则。

难点：教学过程中学生的心理特点。

(四)数学基础知识的教学和基本能力的培养6学时

(1)掌握数学教学中有关的逻辑知识。

(2)掌握数学概念、命题、例题和习题教学的一般方法。

(3)明确数学基本能力的培养与方法。

重点：数学概念、命题、例题和习题教学的一般方法。

难点：数学教学中有关的逻辑知识。

(五)数学教学方法与艺术2学时

(1)掌握数学课中常用的教学方法。

(2)明确选择数学教学方法的基本依据，会在具体的问题中选用恰当的教学方法。

(3)了解数学教学艺术在教学中的作用。

重点：数学课中常用的教学方法。

难点：在具体的问题中选用恰当的教学方法。

(六)数学教学工作4学时

(1)掌握备课方式，撰写不同课型的教案。

(2)掌握数学课的类型、结构和课堂教学的基本环节。

(3)理解数学教学评价和学生学习成绩评价的意义并掌握评价的基本方法。

(4)理解数学教师课外工作的目的和方式。

重点：课堂教学的基本环节及撰写教案。

难点：数学教学评价。

(七)数学教育实践和数学教学研究2学时

(1)明确教育实习的任务与方法

(2)理解数学教学研究的意义和方法

(3)了解教师的专业发展方向

重点：教育实习的任务与方法。

难点：数学教学研究。

三'推荐教材及参考书

推荐教材：

(1)张奠宙、宋乃庆主编，数学教育概论。北京：高等教育出版社，2004。

参考书：

(1)曹才翰，中学数学教学概论，北京：北京师范大学出版社，1990。

(2)周学海，数学教育学概论，沈阳：东北师范大学出版社，1996。

(3)罗增儒、李文铭，数学教学论，西安：陕西师范大学出版社，2003o

(4)十三院校协编组，中学数学教材教法总论(第2版)，北京：高等教育出版社，1987。

(5)赵振威，中学数学教材教法(修订本)，上海：华东师范大学出版社，1994。

(6)周春荔、张景斌，数学学科教育学，北京：首都师范大学出版社，2000。

大纲制订者：陈晓春

大纲审定者：高等数学教研室

数学分析课程教学大纲

课程名称：数学分析/MathematicalAnalysis

课程代码：0806004301、0806004302、0806004303开课学期：1、2、3

学时/学分：264学时/18学分（其中课内学时264学时，实验上机0学时）

先修课程：初等数学

适用专业：数学与应用数学

开课院（系、部、室）：数学与计算机科学学院

一、课程的性质与任务

数学分析是数学与应用数学专业一门重要的基础课。学好本课程为进一步学习微分方

程、复变函数、数值计算方法以及概率论等后继课程必将打下坚实的基础。通过本课程的学

习有助于学生树立辩证唯物主义思想和观点，有助于培养学生严密的逻辑思维能力和较强的

抽象思维能力。本课程以极限为工具，研究函数的微分和积分的一门学科，其主要内容包括

极限论、一元微积分理论、多元微积分和级数等四大部分。理论学时共264学时，分三学期

完成:《数学分析学》88学时；《数学分析II*》88学时;《数学分析HI*》88学时。

其任务是：通过本课程的学习，使学生达到：

1、对极限思想和极限方法有深刻的认识，从而树立辩证唯物主义观点。

2、掌握数学分析的基本知识和基本理论，能熟练地进行基本运算（如求极

限、导数、微分和积分等），并具有一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，以及

分析论证能力。

3、能应用微积分方法解决一定的实际问题。

二、《数学分析I*》课程的教学内容、基本要求与学时分配（总学时

88）

（­）函数6学时

1、熟练掌握函数、反函数、复合函数、单调函数、有界函数、奇偶函数与周期函数等

概念。

2、会求函数的定义域。

3、了解函数的各种表示法，掌握分析（或解析）表示法特别对分段表示的函数要很好

地理解。

4、熟悉基本初等函数，初等函数。

重点：函数、反函数、复合函数、单调函数、有界函数、奇偶函数与周期函数等概念。

难点：反函数、复合函数的概念。

（二）极限28学时

1、掌握数列极限、函数极限、无穷小量、无穷大量及确界概念，对极限的否定形式要

有所了解。

2、会用“--6”，“e-A”方法处理极限问题。

3、对下述性质与定理，如唯一性、有界性、保号性、柯西收敛定理和海涅定理等，能

准确地叙述并会证明。

4、会运用四则运算、两边夹定理、单调有界数列极限存在定理及两个重要极限熟练地

求极限。

5、理解无穷小量、无穷大量的概念，并会用无穷小量、无穷大量的性质处理极限问题。

重点：极限的相关概念及其相关理论。

难点：极限的概念，柯西收敛定理和海涅定理。

（三）连续函数8学时

1、理解一点连续、单侧连续与区间上连续的定义；理解间断点及其分类概念。理解保

号性，有界性，四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性。

2、会准确叙述并会证明闭区间上连续函数的介值性，有界性，最值定理；一致连续定

理（一致连续性定理的证明可不作要求），并进行相关证明。

3、了解初等函数的连续性。

重点：函数连续的概念及其相关性质。

难点：一点处连续、左右连续的概念和性质。

（四）实数的连续性9学时

1、准确地叙述并会证明实数系的几个基本定理

区间套定理，确界概念，确界存在定理，单调有界数列极限存在定理，聚点原理，收敛

准则，有限覆盖定理。

2、会用上述定理处理某些证明问题。

重点：用实数的连续性的几个定理处理有关证明问题。

难点：实数的连续性几个定理的证明及其等价性。

（五）导数与微分14学时

1、掌握导数（包括单侧导数与导函数）的概念，熟悉它的几何意义，掌握可导与连续

的关系。

2、能熟练地应用导数定义与四则运算，复合函数的导数，反函数的导数，基本公式表,

隐函数求导法，参数方程求导法求函数的导数。

3、会求一些函数的高阶导数。

4、理解微分的定义，微分的几何意义，微分与导数的关系，微分法则，一阶微分形式

的不变法，会用微分进行近似计算。

重点：导数（包括单侧导数与导函数）微分的概念，导数微分的计算。

难点：导数（包括单侧导数函数）微分的概念

（六）微分中值定理及泰勒公式，导数的应用23学时

1、能正确叙述并证明费尔马引理，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。

2、会用中值定理证明一些恒等式与不等式。

3、会求一些简单函数的泰勒展开式。

4、能熟练地应用洛毕大法则求不定型的极限。

“9”型与"当“型（艺型不证），其它形式的不定型转化成以上两种形式的不定型。

00000

5、函数单调性判别法。理解函数单调的充要条件，函数严格单调的充要条件，应用函

数的单调性证明不等式。

6、理解极值概念，极值判别法，最大值与最小值概念，能熟练地求函数的极值和最大

（小）值。

7、理解函数的凹凸性，拐点，渐近线等概念，会用有关的知识讨论函数的凹凸性及拐

点，能应用导数较正确地作出函数的图像。

重点：中值定理的相关应用。

难点：中值定理的证明。

三、《数学分析II*》课程的教学内容'基本要求与学时分配（总学

时88）

（一）不定积分18学时

1、掌握原函数与不定积分的概念，熟记基本积分表，理解线性运算法则。

2、熟练掌握换元积分法与分部积分法。

3、掌握有理函数积分法，三角函数有理式的积分。

4、掌握简单无理函数的积分。

重点：不定积分计算

难点：原函数与不定积分的概念，无理函数的积分。

（二）定积分18学时

1、掌握定积分概念。

2、可积的必要条件。理解大和与小和及其性质，可积的充要条件。

3、理解可积的充要条件，并能应用它判断或证明函数的可积性（包括可积函数类）。

4、定积分的性质。熟悉定积分的线性，有限可加性，单调性，绝对可积性，积分中值

定理。

5、理解可变上限的定积分的性质并能熟练的处理相关问题。

6、能熟练应用牛顿一一莱布尼兹公式、换元积分法和分部积分法计算定积分。

7、了解定积分的近似计算方法。

重点：可积理论，定积分的性质与计算。

难点：大小和的性质，可积准则。

（三）定积分的应用10学时

1,会用微元法解决几何、物理中的一些问题。

2、掌握平面图形的面积，已知截面面积函数的立体体积，旋转体的侧面积，曲线的弧

长与曲率。

3、定积分在物理上的应用：会求压力、功、静力矩、重心。

重点：几何与物理上的应用。

难点：微元法思想。

（四）级数42学时

1、数项级数

（1）掌握无穷级数的收敛、发散、和、绝对收敛及条件收敛等概念。

（2）掌握收敛级数的性质（包括绝对收敛与条件收敛的性质）。

（3）熟练掌握正项级数的敛散性判别法。

（4）掌握交错级数的莱布尼兹判别法，理解任意项级数的狄利克雷、阿贝耳判别法。

（5）了解级数的重排性质（黎曼定理不证明）。

重点：级数收敛的性质，正项级数收敛判别法。

难点：级数收敛的定义，绝对收敛及条件收敛等概念及其判别。

2、数项级数

（1）理解收敛域、极限函数、和函数和一致收敛等概念。

（2）熟练掌握优级数判别法；理解狄利克雷判别法、阿贝耳判别法。

（3）理解函数列的极限函数的连续性、可积性、可微性、函数项级数的和函数的连续

性、可积性（逐项积分）与可微性（逐项微分）。会用性质处理一些相关问题。

重点：函数项级数一致收敛的性质、和函数的分析性质。

难点：函数项级数一致收敛的概念。

3、鬲级数

（1）理解塞级数、函数的泰勒级数的概念，了解函数可展成泰勒级数的条件。

（2）掌握基级数的内闭一致收敛性，和函数的连续性，可积性（逐项积分）与可微性

（逐项微分）。

（3）熟练掌握幕级数的收敛半径与收敛域的求法。

（4）能用事级数做某些近似计算。

重点：塞级数收敛的性质，和函数的性质和计算。

难点：和函数的计算。

4、傅里叶哀级数

（1）掌握三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念。

（2）能正确叙述傅里叶级数收敛性判别法。

（3）能将一些函数展成傅里叶级数。

重点：傅里叶级数收敛定理及函数的傅里叶级数的展开。

难点：傅里叶级数收敛定理的证明（可不做要求）。

四'《数学分析III*》课程的教学内容、基本要求与学时分配（总学

时88学时）

（一）多元函数及其连续性10学时

1、掌握平面点集的有关概念，多元函数的极限，累次极限以及连续性等概念。

2、了解闭区域套定理、聚点原理、有限覆盖定理以及多元连续函数的性质。

重点：多元函数的极限、累次极限以及连续性等概念，多元函数的性质

难点：平面点集的概念，多元函数极限的概念。

（二）多元函数微分学14学时

1、掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数等概念。

2、掌握全微分、偏导数、连续三者之间的关系。

3、会求函数的偏导数、全微分、方向导数。

4、了解多元函数的泰勒公式。

5、理解极值和最值的概念，掌握极值的必要条件，充分条件，会求多员函数的极值和

某些函数的最大（小）值。

重点：偏导数、全微分的概念和计算，极值和最值的判别和计算。

难点：全微分的概念，泰勒公式。

（三）隐函数14学时

1、了解隐函数、函数行列式、条件极值的概念。

2、能用隐函数存在定理判别隐函数的存在性，会求隐函数的导数或偏导数。

3、理解条件极值的概念及Lagrange's乘数法。会求多元函数的条件极值。

4、会求曲线的切线方程和法平面方程，曲面的切平面方程和法线方程。

重点：隐函数的概念和存在定理的应用。

难点：隐函数存在定理的证明。

（四）反常积分与含有参变量的积分14学时

1、掌握反常积分（无穷积分、瑕积分）收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念。

2、能用收敛性判别法判断一些广义积分的敛散性。

3、理解含有参变量积分的概念和分析性质，了解函数、函数的性质。

4、能用收敛性判别法判断一些广义含参积分的敛散性。

重点：反常积分与含参积分收敛、发散、绝对收敛与条件收敛的性质与判别.

难点：含参积分的分析性质的证明。

（五）重积分18学时

1、理解二重积分与三重积分的概念。

2、理解二重积分与三重积分的性质。

3、掌握直角坐标系及极坐标系下二重积分的计算方法，能将三重积分化为累次积分，

并利用柱面坐标、球面坐标计算三重积分。

4、会求一些图形的面积、体积以及一些物体的质量和重心。

重点：二重积分与三重积分的计算。

难点：二重积分与三重积分换元积分法。

（六）曲线积分与曲面积分18学时

1、理解第一型曲线积分及第二型曲线积分的定义、性质，掌握第一型、第二型曲线积

分的计算方法，了解第二型曲线积分与第一型曲线积分的关系；掌握格林公式。

2、理解第一型曲面积分的定义、性质；第二型曲面积分的定义、性质，掌握第一型、

第二型曲面积分的计算方法，了解第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系；理解奥一一高

公式，了解斯托克斯公式。

3、了解场论初步。

重点：第一、第二曲线积分与曲面积分的计算，格林公式与高斯公式。

难点：第一、第二曲线积分与曲面积分的概念，斯托克斯公式。

五'推荐教材和主要参考书：

1、推荐教材：

（1）刘玉琏等编著，《数学分析讲义》（上、下册）北京：高等教育出版，第四版，2003。

2、推荐参考书：

（1）谢惠民等，《数学分析讲义》（上、下册），北京：高等教育出版。

（2）陈纪修等著，《数学分析》（上、下册，北京：高等教育出版。

（3）华东师范大学数学系著，《数学分析》（上、下册），北京：高等教育出版。

（4）裴礼文著，《数学分析典型问题与方法》，北京：高等教育出版社出版。

大纲制订者：刘学飞

大纲审定者：函数论教研室

高等代数课程教学大纲

课程名称：：高等代数/HigherAlgebra

课程代码：0806004304,0806004305开课学期：1、2学期

学时/学分168学时/10.5学分（课内教学168学时，实验上机0学时，课外0学时）

先修课程：无

适用专业：数学与应用数学

开课院（系）：数学与计算机科学学院

一、课程的性质与任务

高等代数是数学与应用数学专业的一门专业基础课程。它是中学代数的继续和提高，是

后续的专业课程的先修课，是一年级学生的必修课程。其任务是通过本课程的教学，使学生

初步熟悉和掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法；理解具体与抽象，特

殊与一般、有限与无限、形式和实质等辨证关系；着重培养学生的抽象思维能力；逻辑推理

能力和判断能力；熟练的计算能力及其应用代数工具解决实际问题的能力。

二、课程的内容、基本要求与学时分配

（一）多项式24学时

1、了解数域P上一元多项式的概念，掌握多项式的运算及多项式的和与积的次数。

2、理解多项式整除的概念，掌握其性质，并能掌握整除与带余除法的关系。

3、熟练掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素的概念和性质。

4、理解不可约多项式的概念，了解多项式的因式分解定理。

5、理解多项式的微商及重因式的概念，掌握重因式的性质，掌握多项式有无重因式的

判别方法。

6、理解多项式函数的概念，并了解多项式由形式观点向函数观点的转变。

7、知道代数基本定理，了解复数域、实数域上多项式的因式分解定理。

8、掌握本原多项式的性质及其有理数域上因式分解定理。掌握艾森斯坦因判别法，会

求有理系数多项式的有理根。

重点：最大公因式和互素，不可约多项式，因式分解定理和标准分解式，有理数域上的

多项式。

难点：两个多项式作为形式多项式的相等和作为多项式函数相等的定义和两者的等价；

重因式的判定与分离；有理系数多项式不可约性的判定。

（二）行列式14学时

1、理解n阶行列式的定义。

2、掌握行列式的性质及行列式按行（列）展开定理，能熟练地计算行列式。

3、掌握Vandermonde行列式，克莱姆法则。

4、知道拉普拉斯定理。

重点：行列式的性质，典型行列式的计算。

难点：行列式的计算。

（三）线性方程组8学时

1、理解消元法与矩阵初等变换的关系，熟练掌握用矩阵的初等变换解线性方程组。

2、理解矩阵的概念，熟练掌握用初等变换求矩阵的秩。

3、理解线性方程组有解的判别定理、解的个数定理，并会进行应用。熟练掌握齐次线

性方程组有非零解的充要条件。

4、理解齐次线性方程组解的性质，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，能熟练地

求出齐次线性方程组的基础解系。

5、掌握齐次线性方程组及非齐次线性方程组解的结构，能熟练地求出其通解。

重点：消元法，解的性质及通解。

难点：基础解系

（四）矩阵20学时

1、熟练掌握矩阵的运算及其性质，特别是矩阵的乘法运算。

2、掌握可逆矩阵的概念、可逆矩阵的判定及其性质，熟练掌握求逆公式及用初等变换

求逆矩阵的方法。

3、了解矩阵乘积的行列式，理解矩阵秩的概念，了解矩阵乘积的秩的结论。

4、理解初等矩阵的概念，熟练掌握矩阵的初等变换与矩阵乘法及初等矩阵的关系。

5、掌握矩阵的等价标准形的概念，能将任意机X”矩阵化为等价标准形，并能用式子

正确地、完整地反映两者（一般矩阵与特殊的等价标准形）之间的关系。

6、掌握分块矩阵的概念及分块的规则，并会应用矩阵的分块，将矩阵与线性方程组、

向量组联系起来。

重点：矩阵的乘法运算及其运算规则，矩阵的初等变换，逆矩阵及其求法。

难点：矩阵的初等变换与初等矩阵的关系：分块矩阵的应用。

（五）二次型14学时

I、理解二次型、二次型的矩阵及二次型的秩。

2、理解矩阵合同的概念及其性质，掌握二次型经过非退化线性替换后，新二次型的矩

阵与原二次型的矩阵是合同的。

3、了解二次型的标准形，掌握二次型化为标准形的方法。

4、掌握复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性，理解惯性定理。

5、理解正定二次型、正定矩阵的概念，熟练掌握正定二次型、正定矩阵的性质及判定。

知道半正定二次型和负定二次型的性质和判定.

重点：二次型与对称矩阵间的互相关系，二次型化为标准形的方法，惯性定理。

难点：正定性的判定

（六）线性空间32学时

1、理解集合、映射、双射的定义，掌握双射与可逆映射的关系。

2、理解线性空间的概念及其简单性质，初步知道公理化的思想。

3、理解向量组的线性组合、向量组的等价、线性相关性、极大线性无关组、向量组的

秩等概念，并掌握其性质。了解矩阵的秩与其列秩行秩间的关系。

4、理解有限维线性空间的基、维数的概念，掌握它的求法，了解它在线性空间理论中

所起的重要作用。

5、理解线性空间的子空间及其交、和、直和的概念，熟练掌握子空间、直和的判别方

法。熟练掌握求子空间的交与和的基及维数的方法，掌握维数公式。

6、理解向量的坐标、过渡矩阵的概念，掌握基变换与坐标变换公式。

7、理解线性空间同构的意义及其性质，熟练掌握有限维空间同构的充要条件。

重点：线性空间的定义，线性相关性及其理论，子空间及其运算，性空间的基、维数，

直和的判定，线性空间的同构。

难点：线性相关性及其理论，有限维线性空间的基，维数，子空间的直和，线性空间的

同构。

（七）线性变换26学时

1、理解线性变换的概念，掌握它的运算及其性质。

2、理解线性变换的矩阵的概念，掌握线性变换与矩阵间的一一对应关系。

3、理解矩阵的相似及线性变换（矩阵）的特征根、特征向量的概念，熟练掌握求线性

变换（矩阵）的特征值、特征向量的方法，熟练掌握矩阵可以对角化的充要条件。

知道HamiIton-Caylayd定理。

4、理解线性变换的值域、核的概念，了解并能应用其有关结论。

5、了解线性变换的不变子空间的概念及其在化简线性变换的矩阵中的作用。

6、知道最小多项式的概念。

重点：线性变换的定义及运算，线性变换的矩阵，与线性变换有关的子空间（核、值域、

不变子空间），矩阵的相似及性质，特征值与特征向量，对角化。

难点：线性变换的值域与核，线性空间按特征值分解成不变子空间的直和。

（八）欧氏空间18学时

1、理解内积、欧氏空间、向量的长度、两向量夹角、正交等概念，掌握柯西一一布涅

柯夫斯基不等式。

2、理解标准正交基的概念、性质及作用，掌握Schimidt正交化方法，会求标准正交基。

3、理解欧氏空间同构的概念，掌握欧氏空间同构的充要条件。

4、理解子空间正交的概念及其性质，了解正交补。

5、了解正交变换与正交矩阵的概念、性质及它们间的关系。

6、了解对称变换与对称矩阵的概念、性质及它们间的关系

7、熟练掌握实对称矩阵正交相似与对角阵的方法。

8、熟练掌握用正交线性替换化实二次型为标准形。

重点：欧氏空间的定义，标准正交基的性质及构造，正交子空间、正交补，正交变换

和正交矩阵的对应，对称变换与对称矩阵的对应，实对称矩阵正交相似于对角阵。

难点：正交补及其相关问题

（九）％-矩阵12学时

1、理解几-矩阵、几-矩阵的初等变换，4-矩阵的等价，4-矩阵的标准形，不变

因子的概念，了解/I-矩阵可逆的充要条件.

2、熟练掌握2-矩阵的初等变换，会求/I-矩阵的标准形。

3、理解4-矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子及它们间的关系。

4、熟练掌握矩阵相似的充要条件。

5、熟练掌握若当标准形的概念及求若当标准形的方法。

重点：几-矩阵的初等变换，行列式因子、不变因子、初等因子的概念及其关系。

难点：若当标准形的求法，两矩阵相似的充要条件

三、推荐教材和主要参考书

1、推荐教材：

北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，高等代数，北京，高等教育出版社，

2003,第三版

2、推荐参考书：

（1）张禾瑞、郝炳新编，高等代数，北京，高等教育出版社，2003,第三版

（2）邱维声编，高等代数（上、下册），北京，高等教育出版社，1995。

（3）邱维声编，高等代数学习指导书（上、下册），北京，清华大学出版社，2005。

（4）孟道骥编，高等代数与解析几何（上、下册），北京，科学出版社，2004,第二版。

(5)王品超编，高等代数新方法(上、下册)徐州，中国矿业大学出版社，2003。

大纲制订者：杨贤仆

大纲审定者：代数几何教研室

解析几何课程教学大纲

课程名称：解析几何/AnalyticGeometry

课程代码：0806004306开课学期：1

学时/学分：48学时/3.0学分（课内教学48学时，实验上机0学时，课外0学时）

先修课程：无

适用专业：数学与应用数学

开课院（系）：数学与计算机科学学院

一、课程的性质与任务

本课程是数学与应用数学专业的专业基础课之一。是从《初等数学》到《高等数学》的

过渡性学科，是《数学分析》及《高等数学》的重要基础课，本课程的任务是以矢量为工具，

采用代数的方法研究平面及空间图形的性质，建立图形的方程及研究方程的图形。主要讲述

解析几何的基本内容和基本方法，内容包括：矢量代数，空间直线和平面，常见曲面，坐标

变换，二次曲线方程的化简等。在教学中应重视对代数结果的几何解释，以便更好地理解用

解析法研究几何的基本思想。而坐标法、矢量法正是贯穿整个课程的基本方法。

二、课程的教学内容、基本要求及学时分配

（一）矢量与坐标8学时

在中学已有内容基础上进一步加深矢量及其线性运算、矢量的内积的学习；增加对矢量

的外积与混合积的学习；矢量及其运算的坐标表示、矢量代数在初等几何中的应用（求长度、

面积、体积）。

1、理解矢量的概念、矢量的线性关系与矢量的分解、三矢量的混合积。

2、了解矢量在轴上的射影。

3、知道三矢量的双重矢性积。

4、熟练掌握矢量的加法、数量与矢量的乘法、两矢量的数性积、两矢量的矢性积。

5、掌握标架与坐标、会求一点关于坐标轴、坐标面及坐标原点的对称点。

6、会以矢量为工具解决初等几何问题。

重点：矢量的运算及几何意义，将几何条件转化成矢量表达式的方法。

难点：矢量的内积、外积不满足消去律，外积不满足交换律。

（二）轨迹与方程8学时

图形与方程的关系、曲线、曲面、空间曲线及其方程，由图形求方程与用方程研究图形

的基本方法，普通方程与参数方程。

1、理解曲面与方程关系。

2、了解平面曲线、曲面、空间曲线方程的区别与联系。

3、知道同一个二元方程在平面及空间表示不同的图形。

4、熟练掌握平面曲线与的方程关系。

5、掌握母线平行于坐标轴的柱面方程。

6、会求空间曲线的方程。

重点：平面曲线、曲面及空间曲面的普通方程及参数方程的异同。

难点：求动点及动曲线的轨迹。

（三）平面与空间直线8学时

点、直线、平面的方程及其它们之间的位置关系、异面直线间的距离及共垂线方程。

1、理解确定平面及空间直线的各种条件及它们的方程的求法。

2、了解空间两直线的相关位置、空间直线与点的相关位置。

3、知道平面束在解析几何中的应用。

4、熟练掌握平面方程的各种形式及互化、空间直线方程的各种形式互化。

5、掌握直线与平面的相关位置。

6、会判定平面与点的相关位置、判定两平面的相关位置、会求异面直线的

公垂线方程。

重点：平面与空间直线的各种方程及其互化。

难点：异面直线间的距离及共垂线方程的求法。

（四）柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面8学时

柱面、锥面、旋转曲面、研究曲面的平行截割法，二次曲面的性质及其方程，直纹曲面。

1、理解柱面、锥面、旋转曲面及二次曲面的概念。

2、了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性。

3、知道柱面、锥面、旋转曲面的参数方程。

4、熟练掌握柱面、锥面、旋转曲面的方程的求法；常见二次曲面的方程及

图形特征。

5、掌握用“平行截割法”研究椭球面、抛物面、双曲面的特性。

6、会求柱面、锥面及旋转曲面的方程。

重点：特殊二次曲面的方程；研究曲面方程的平行截割法。

难点：双曲抛物面的形状；旋转曲面的方程的求法；直纹曲面。

（五）二次曲线的一般理论10学时

用一般方法研究二次曲线、给出渐近方向、中心、直径、主直径、渐近线，按不同标准

对二次曲线进行分类，二次曲线方程的化简，坐标变换下的不变量及应用。

1、理解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线等概念，用不变量化简二次曲

线的方程的方法。

2、了解确定一条二次曲线的各种条件、二次曲线与直线的相关位置。

3、知道退化二次曲线与二元二次多项式的因式分解之间的关系。

4、熟练掌握求二次曲线的切线及直径的方法。

5、掌握二次曲线的主直径与主方向的求法、二次曲线方程的化简与分类。

6、会用矩阵表示二次曲线，会判断二次曲线与直线的相关位置。

重点：中心、直径、主直径的定义。

难点：利用不变量化简二次曲线方程。

（六）二次曲面的一般理论（简介）6学时

用一般方法研究二次曲面、给出渐近方向、中心、直径、主直径、渐近线，了解不同形

式的二次曲面的形状，二次曲面的切平面与法线，坐标变换下的不变量及应用。

1、理解二次曲面的渐近方向、中心、渐近线等概念，用不变量化简二次曲

面的方程的方法。

2、了解二次曲面与直线的相关位置、二次曲面的径面与奇向。

3、知道各种退化二次曲面的大致形状。

4、掌握求二次曲面的切线、切平面及法线的方法。

5、掌握二次曲面的主径面及主方向的求法、二次曲面方程的化简与分类。

6、会用矩阵表示二次曲面，会判断二次曲面与平面及直线的相关位置。

重点：中心、直径、主径面的定义。

难点：利用不变量化简二次曲面方程。

注意事项：认真地区分矢量与标量；将几何条件转化成代数表达式的方法；对方程的同

解变形在求射影柱面中的应用。

三、推荐教材及参考书

推荐教材：

吕林根许子道编，解析几何，北京，高等教育出版社，2006年，第三版。

参考书：

1、宋卫东，空间解析几何习题课设计与解题指导，北京，中国科学技术大学出版，1995

年，第一版。

2、朱鼎勋，空间解析几何，上海，上海科学技术出版社，1981年，第二版。

3、吕林根张紫霞孙存金编，解析几何，北京，高等教育出版社，2006年，第一版。

四、结合近几年的教学改革与研究，对教学大纲进行的新调整

加强数学思想方法的训练及数学模型思想的渗透。在多媒体教室里结合几何画板软件进

行教学以突出几何的动态特征。结合现行高中教材增加了平面矢量的内容，本大纲对相应内

容的学习时间相应减少。教学中注意增加矩阵的应用，增强与高等代数课程的联系。加强二

次曲面与二次曲线间各种概念的类比。

大纲制订者：王绍恒

大纲审定者：代数几何教研室

概率论与数理统计课程教学大纲

课程名称：概率论与数理统计/ProbabilityandStatistics

课程代码：0806004307开课学期：4

学时/学分：72学时/4.5学分(其中课内教学72学时，实验上机0学时，课外学时0学时)

先修课程：高等代数、数学分析

适用专业：数学与应用数学专业

开课院(系)：数学与计算机科学学院

一、课程的性质与任务

本课程是数学与应用数学专业的专业基础课程之一,是研究随机现象及其统计规律性的

学科。由于随机现象是普遍存在的，因而概率论的概念和方法具有普遍的意义，其应用也是

很广泛的。

数理统计以概率论为基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象统计规律性的

学科。目的是让学生了解统计推断检验等方法并能够应用这些方法对研究对象的客观规律性

作出种种合理的估计和判断。

二'课程的教学内容、基本要求与学时分配

(-)随机事件和概率18学时

1.理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，熟练掌握事件之间的关系与运算。

2.理解概率的公理化定义，熟练掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。

3.理解条件概率的概念，熟练掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公

式，以及应用这些公式进行概率计算。

4.理解事件的独立性概念，会应用事件独立性进行概率计算。

5.熟练掌握贝努利Bernoulli概型及其计算。

重点：概率的定义与性质，条件概率与概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶

斯公式,贝努利(Bernoulli)概型。

难点：全概率公式、贝叶斯公式及贝努利(Bernoulli)概型的应用。

教学中应注意的问题：全概率公式、贝叶斯公式的条件、二项分布的应用。

(-)随机变量及其概率分布8学时

1.理解随机变量的概念。

2.理解随机变量分布函数的概念及性质。

3.理解离散型随机变量的分布律及其性质。

4.理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。

5.掌握。一1分布、二项分布、泊松(Poisson)分布、正态分布、均匀分布和指数分布

及应用。

6.会求简单随机变量的函数的概率分布。

重点：离散型随机变量的分布律及其性质，连续型随机变量的概率密度及其性质，随机

变量分布函数及性质，0—1分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布，

随机变量函数的分布。

难点：随机变量函数的分布。

教学中应注意的问题：一维连续型随机变量的函数的概率密度的求法。

(三)二维随机变量及其概率分布8学时

1.理解二维随机变量的概念。

2.理解二维随机变量的联合分布函数及其性质掌握离散型随机变量的联合分布、边缘分

布和条件分布、连续型联合概率密度、边缘密度和条件密度；并会用它们计算有关事件的概

率。

3.理解随机变量独立性及不相关的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。

4.了解二维均匀分布和二维正态分布。会求两个独立随机变量的简单函数分布。

重点：二维随机变量的联合分布函数及其性质，离散型随机变量的联合分布、边缘分布

和条件分布；连续型联合概率密度、边缘概率密度、条件概率密度，随机变量的独立性。

难点：随机变量函数的分布。

教学中应注意的问题：二维连续型随机变量的函数的概率密度的求法。

（四）随机变量的数字特征5学时

1.理解数学期望与条件数学期望、方差及其性质与计算。

2.掌握二项分布、泊松分布和正态分布均匀分布和指数分布的数学期望和方差。

3.会计算随机变量函数的数学期望。

4.了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。

重点：随机变量的数学期望、方差的概念和性质，二项分布、泊松分布和正态分布、均

匀分布和指数分布的数学期望和方差，随机变量函数的数学期望。

难点：各种数字特征的概念和算法。

教学中应注意的问题：随机变量的独立性与相关性的关系，随机变量和的方差公式。

（五）大数定律和中心极限定理5学时

1.理解切比雪夫不等式及应用。

2.理解切比雪夫定理和贝努利定理及应用。

3.掌握独立同分布的中心极限定理和隶莫弗一拉普拉斯定理的应用条件和结论，并会用

相关定理近似计算有关随机事件的概率。

4.了解随机变量序列的两种收敛性。

重点：独立同分布的中心极限定理和隶莫弗-拉普拉斯定理。

难点：切比雪夫定理和贝努利定理，随机变量序列的两种收敛性。

教学中应注意的问题：中心极限定理的条件。

（六）数理统计的基本概念6学时

1.掌握随机抽样、样本、总体、统计量及常用统计量及经验分布函数的基本概念

2.掌握三种重要的分布（力?分布、t分布、F分布）、正态总体样本的均值及样本方差

的分布，掌握其分位数概念并会查表。

3.了解次序统计量及其分布.

重点：样本函数与统计量，样本分布函数及样本矩。

难点：抽样分布。

教学中应注意的问题：样本的两个特性。

（七）点估计10学时

1.理解估计量的评选标准，会验证无偏性。

2.掌握未知参数的矩估计与极大似然估计法。

3.了解罗一克拉美不等式。

4.了解充分统计量。

5.了解罗―勃拉克维尔定理和一致最小方差无偏估计。

重点：矩估计法、极大似然估计法、区间估计。

难点：罗一克拉美不等式，罗―勃拉克维尔定理和一致最小方差无偏估计。

教学中应注意的问题：求置信区间所应用的统计量。

(八)假设检验6学时

1.理解假设检验的原理与方法

2.掌握参数假设检验，正态总体参数的区间估计。

3.了解非参数假设检验。

重点：参数假设检验，正态总体参数的区间估计。

难点：非参数假设检验。

教学中应注意的问题：假设检验所应用的统计量。

(九)方差分析和回归分析6学时

1.掌握单因素试验的方差分析的相关概念及方法，掌握平方和分解公式。

2.了解双因素试验的方差分析。

3.掌握最小二乘法原理。

4.掌握一元线性回归分析的基本概念及方法，会求一元线性回归方程。

5.了解线性假设检验。

重点：单因素试验的方差分析，平方和分解公式，回归概念，一元线性回归方程。

难点：回归概念，双因素试验的方差分析。

教学中应注意的问题：单、双因素试验的方差分析表。

三'推荐教材和主要参考书

1.推荐教材：

(1)魏宗舒著，概率论与数理统计教程，高等教育出版社，1983.10,1版。

2.推荐参考书：

(1)盛骤等著，概率论与数理统计，高等教育出版社，2001.12,3版。

(2)中山大学著，概率论及数理统计上、下，高等教育出版社，1980.7,1版。

(3)范大茵等著，概率论与数理统计，浙江大学出版社，1996.10,1版。

大纲制订者：陈文英

大纲审定者：高等数学教研室

常微分方程课程教学大纲

课程名称：常微分方程/OrdinaryDifferentialEquation

课程代码：0806004308开课学期：3

学时/学分：48学时/4学分（其中课内教学48学时，实验上机0学时）

先修课程：数学分析，高等代数

适用专业：数学与应用数学

开课院（系，部，室）：数学与计算机科学学院

一、课程性质与任务

常微分方程课程是数学与应用数学专业的基础理论课之一；是培养学生用数学方法定

量思维不同物理现象和提高应用数学能力的必修课。其任务是，通过本课程的学习，使学生

初步掌握建立简单自然现象的数学模型的基本思想和求解这些数学模型的基本方法;为扩大

数学知识面和接触实际应用问题奠定必要的数学基础。

二'课程内容'基本要求与学时分配

（一）绪论2学时

1.知道不同的物理现象可以具有相同的数学模型这一事实，会运用已有知识建立简单

的微分方程模型。

2.理解微分方程的基本概念一一常微分方程、偏微分方程、微分方程的阶数、线性方

程与非线性方程、通解与特解、定解条件与定解问题等。

（-）一阶微分方程的初等解法14学时

1.熟练掌握一阶微分方程的分离变量法；掌握齐次方程的解法；知道用变量变换求解

微分方程的基本思想。

2.熟练掌握一阶线性微分方程的常数变易法；理解一阶线性微分方程的通解公式；掌

握Bernoulli方程的解法。

3.理解恰当方程的概念和充-要条件；掌握恰当方程的求解方法；了解积分因子的概念,

会求只与x有关的积分因子和只与y有关的积分因子。

4.了解一阶隐方程的几种形式：掌握可以解出未知函数（或自变量）的方程的解法；

知道不显含未知函数（或自变量）的方程解的参数表示。

5.会处理简单的应用问题。

重点：初等积分法。

难点：隐方程的解法。

（三）一阶微分方程解的存在定理2学时

.了解一阶微分方程解的存在唯一性定理；理解一阶微分方程初值问题与积分方程的等

价关系；会用Picard逐步逼近法求简单一阶微分方程的近似解。

重点：一阶微分方程解的存在定理。

（四）高阶微分方程18学时

1.理解高阶线性微分方程解的性质与结构；掌握高阶非齐线性方程的常数变易法。

2.熟练掌握求解常系数齐线性方程的特征根法；掌握常系数非齐线性方程的待定系数

法和Laplace变换法；会解Euler方程。

3.掌握可降阶的一些方程的类型和解法；

4.会解二阶微分方程简单的应用问题。

重点：常系数非齐线性方程的待定系数法。

难点：Laplace变换法；Euler方程。

(五)线性微分方程组10学时

1.了解线性微分方程组解的存在唯一性定理；会将高阶线性微分方程的初值问题化成

为一阶线性微分方程组的初值问题；

2.理解齐线性方程组解的性质与结构：了解非齐线性方程组解的性质与结构；了解非

齐线性方程组的常数变易法。

3.了解矩阵指数的定义和性质；熟练掌握常系数齐线性方程组基解矩阵的计算方法。

4.掌握求解常系数非齐线性方程组初值问题的Laplace变换法，会求解一般的常系数

非齐线性方程组。

重点：常系数齐线性方程组基解矩阵的计算方法。

难点：Laplace变换法，常系数非齐线性方程组。

(六)总复习课2学时

三、推荐教材和主要参考书

1.推荐教材：

(1)王高雄、周之铭等著，常微分方程，高等教育出版社(第二版)，1995。

2.推荐参考书：

(1)袁相碗、徐洪义、包雪松著，常微分方程，南京大学出版社。

(2)秦化淑、林正国著，常微分方程及其应用，国防工业出版社。

(3)东北师范大学数学系著，常微分方程，人民教育出版社。

(4)王柔怀、伍卓群著，常微分方程讲义，人民教育出版社。

大纲制订者：刘国祥

大纲审定者：函数论教研室

抽象代数课程教学大纲

课程名称：抽象代数/AbstractAlgebra

课程代码：0806004309开课学期：4

学时/学分：64学时/4学分（课内教学64学时，实验上机0学时，课外0学时）

先修课程：高等代数，初等数论。

适用专业：数学与应用数学

开课院（系）：数学与计算机科学学院

一、课程的性质与任务

本课程是数学与应用数学专业的专业必修课之一。本课程的任务是在学生已经熟悉《高

等代数》、《初等数论》等课程的基础上，进一步讲授代数中典型的代数系统。使学生牢固地

掌握抽象代数的基本知识，使学生掌握运用算律描写代数运算以及从算律出发推导其它性质

的能力，学会把这种能力熟练地运用于中等学校及高等学校里数学课程所涉及的一些最重要

的代数系统，增强使用代数方法处理问题的能力，帮助学生深刻领会这些代数系统的本质特

征及它们之间的联系，提高学生统帅中学代数教材中的代数部分的能力，进一步实现思维方

式的数学化，提高数学素质。

二、课程的教学内容、基本要求及学时分配

（一）集合与映射8学时

教学要点：映射、代数运算、结合律、交换律、分配律、同态与同构、等价关系与集合

分类、结合律、交换律、分配律的作用以及同态满射保持这些运算律的数学事实。

1、理解映射、变换、关系、同态与同构等概念；代数运算的概念。

2、了解结合律的检查法。

3、知道同余关系；全体代表团。

4、熟练掌握等价关系与集合的分类之间的关系。

5、掌握笛卡尔积的概念；代数运算的结合律、交换律等性质。

6、会建立及判断单射、满射、一一映射。

重点：正确区分单射、满射、一一映射，并能按要求建立各种映射。

难点：等价关系与集合的分类

（二）群论26学时

群、群中元素的阶、子群、循环群、变换群、置换群、陪集、指数、群同态、同构、正

规子群、商群、共辄子群、一群、中心化子、群的直积、Sylow子群等概念；判断子群的方

法，一些重要结论及Cayley定理、Lagrange定理和循环群、置换群中的一些重要结论，介

绍群同态基本定理.三个同构定理，三个Sylow定理和有限交换群的结构定理。

1、理解群、子群、单位元、可逆元、群的几种等价定义、群同构、群同态的概念；循

环置换、对换、置换群、子群的陪集、不变子群、商群、单群等概念；群对集合的作用。

2、了解：变换群的概念；单群的概念；共规子群、不变子群、子群的陪集；Sylow定

理；轨道与稳定子群；群中共物元素，中心化学，正规化子、群的类方程，共转子群；群的

外直积，内直积，了解Sylowp一子群，Sylow子群的概念，介绍Sylow第一、二和