中考数学图形的相似与位似试题

-、图形的相似与位似选择题

1.(2016•山东省济宁市・3分)如图，AB〃CD〃EF,AF与BE相交于点G,且AG=2,

GD=LDF=5,那么黑的值等于尚_.

CE—5-

【考点】平行线分线段成比例.

【分析】首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式番喘口

可得到结论.

【解答】解：：AG=2,GD=1,

；.AD=3,

；AB〃CD〃EF,

•.•1BC1=■AD=_"3,

CEDF5

故答案为：

5

2.(2016•山东省东营市・3分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(—3,6)、B(—9,

一3),以原点O为位似中心，相似比为/把AAB。缩小，则点A的对应点4的坐标是

()

A.(—1,2)B.(—9,18)

C.(—9,18)或(9,—18)D.(―1,2)或(1,—2)

【知识点】相似三角形——位似图形、位似变换

【答案】D.

r

0A1.A'E

【解析】方法一：AB。和△A50关于原点位似，.ABOszXAb。且777=3

Cz/iJ-',AD~

^^^\.^.A!E—\AD—2,OE=^OD=\..".A'(—1,2).

同理可得A"(1,—2).

方法二：：点A(—3,6)且相似比为:，

.,.点A的对应点4的坐标是(一3x；,6x1),(-1,2).

•.•点A"和点4(一1,2)关于原点。对称，

(1,—2).

故选择D.

第8题答案图

【点拨】每对对应点的连线所在的直激都相交于一点的相似图形叫做位似图形.位似图形

对应点到位似中心的距离比等于位似比（相似比）；在平面直角坐标系中，如果位似图形是

以原点为位似中心，那么位似图形对应点的坐标比等于相似比.注意：本题中，AAB。以

原点。为位似中心的图形有两个，所以本题答案有两解.

3.（2016•山东省东营市・3分）如图，在矩形A8CO中，E是AZ）边的中点，BE±AC,垂

足为点凡连接。尸，分析下列四个结论：①②C『=2AF；@DF=DC；

④tan/CAD=45.其中正确的结论有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【知识点】特殊平行四边形——矩形的性质、相似三角形——相似三角形的判定与性质、锐

角三角函数——锐角三角函数值的求法

【答案】B.

【解析】•.•矩形A8C。中，.............①正确；

4/7AJ71

■:MEFsXCAB,二无=讦=3，.'.CF=2AF......................②正确；

Cr£>CZ

过点D作DHLAC于点”.易证4ABF^/\CDH(AAS).：.AF=CH.

・AF_AE

,:EF〃DH,.•丽=丽=1.・・・AF=FH.：.FH=CH.

・・・Q”垂直平分CF.：.DF=DC.③正确;

第10题答案图

ApBF________l

设EF=1,则BF=2.•:.•.而=而.：.AF=yJEF^BF=4l^2=y[2.

sp、历、历

；：.......④错误.

.•.tan/ABFD=r,=Z4.ZCAD=NABF,.tanZCAD=tanZABF=Z\-

故选择B.

【点拨】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，锐角三角函

数值的求法，正确的作出辅助线是解本题的关键.

4.（2016・重庆市A卷M分）△ABC与ADEF的相似比为1：4,则△ABC与△DEF的周长

比为（）

A.1：2B.1：3C.1：4D.I：16

【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果.

【解答】解：:△ABC与△DEF的相似比为1：4,

.二△ABC与4DEF的周长比为1：4；

故选：C.

【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的

关键.

5.（2016广西南宁3分）有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为，，S2,

则S|：S2等于（）

A.1：72B.1：2C.2：3D.4：9

【考点】正方形的性质.

【分析】设小正方形的边长为X,再根据相似的性质求出S|、S2与正方形面积的关系，然后

进行计算即可得出答案.

【解答】解：设小正方形的边长为X,根据图形可得：

..EF_1

AC3

.1

,•c-----=9'

bADAC

.SiJ_

S正方形2SBCD181

S「jgS正方彩ABCD，

S1

24'

S21

S正方形ABO

••§2=^5正方形ABCD，

o

.12

・・Se2=^-X,

o

：

,'S1S2%2：iX2=4：9;

故选D.

【点评】此题考查了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正

方形的面积公式，关键是根据题意求出，、S2与正方形面积的关系.

6.（2016河北3分）如图，△ABC中，NA=78。，AB=4,AC=6.将△4BC沿图示中的虚线剪

开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（C）

第15题图

解析：只要三个角相等，或者一角相等，两边成比例即可。C项不成比例。

知识点：相似三角形

7.（2016•内蒙古包头—3分）如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°,E是AB上

一点，且DEJ_CE.若AD=1,BC=2,CD=3,则CE与DE的数量关系正确的是（）

A.CE=A/3DEB.CEM^/^DEC.CE=3DED.CE=2DE

【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质.

【分析】过点D作DHLBC,利用勾股定理可得AB的长，利用相似三角形的判定定理可

得△ADEsaBEC,设BE=X,由相似三角形的性质可解得x,易得CE,DE的关系.

【解答】解：过点D作DHLBC,

VAD=1,BC=2,

；.CH=1,

DH=AB=VcD2-CH^Vs2-

VAD/7BC,ZABC=90°,

・•・ZA=90°,

VDEICE,

/.ZAED+ZBEC=90°,

VZAED+ZADE=90°,

AZADE=ZBEC,

.,.△ADE^ABEC,

,AD_AE_DE

一而童

设BE=x,则AE=2&-x,

即；运二x,

X2

解得x=亚，

.AD_DE1

••瓦■二CE二亚'

••.CE=&DE，

故选B.

D

8.（2016・湖北随州・3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE〃AC,

AE、CD相交于点O,若SADOE：SACOA=1：25,则SABDE与显CDE的比是（）

A.1：3B.1：4C.1：5D.1：25

【考点】相似三角形的判定与性质.

【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOEsaCOA,根据相似三角形的性质定理得

到怨=!，黑器斗，结合图形得到察士，得到答案.

AC5BCAC5EC4

【解答】解：：DE〃AC,

，△DOEs△COA,又DOE：SACOA=1：25,

,DE_1

••，

AC5

VDE/7AC,

•BE_DE_1

•,武正V

..•BE=—1,

EC4

；•SABDE与SACDE的比是1：4，

故选：B.

9.（2016・江西・3分）如图，在•正方形网格中，每个小正方形的边长均相等.网格中三个多

边形（分别标记为①，②，③）的顶点均在格点上.被一个多边形覆盖的网格线中，竖直部

分线段长度之和记为m,水平部分线段长度之和记为n,则这三个多边形中满足m=n的是

（）

A.只有②B.只有③C.②③D.①②③

【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理.

【分析】利用相似三角形的判定和性质分别求出各多边形竖直部分线段长度之和与水平部分

线段长度之和，再比较即可.

【解答】解：假设每个小正方形的边长为1,

①：m=l+2+1=4,n=2+4=6,

则m知;

②在AACN中，BM〃CN,

.BM_AM_1

","CN=AN2

.\BM=—,

2

在AAGF中，DM〃NE〃FG,

■柿_DM=1AN_NE上

**AG^FG^'AG^FG~^3

i110

.•.=2+-±-2.5,n=i+l+-±-+-^=2.5,

m2233

/.m=n；

③由②得：BE』CF=g,

m=2+2+^+l+4^=6,n=4+2=6,

..m=n,

则这三个多边形中满足m=n的是②和③;

故选C.

10.（2016•辽宁丹东・3分）如图，在AABC中，AD和BE是高，NABE=45。，点F是AB

的中点,AD与FE、BE分别交于点G、H,NCBE=NBAD.有下列结论:①FD=FE；②AH=2CD；

③BOAD=&AE2；®SAABC=4SAADF.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质.

【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=gAB,证明AABE是等腰直角三角形，

2

得出AE=BE,证出FE=LkB,延长FD=FE,①正确；

2

证出NABC=NC,得出AB=AC,由等腰三角形的性质得出BC=2CD,

ZBAD=ZCAD=ZCBE,由ASA证明△AEH也ZXBEC,得出AH=BC=2CD,②正确；

证明AABD〜ABCE,得出双电，即BOAD=AB・BE,再由等腰直角三角形的性质和三

ABAD

角形的面积得出BC«AD=V2AE2；③正确；

由F是AB的中点，BD=CD,得出SAABC=2SAABD=4SAADF.④正确；即可得出结论.

【解答】解：：在△ABC中，AD和BE是高，

ZADB=ZAEB=ZCEB=90°,

•••点F是AB的中点，

.\FD=—AB,

2

VZABE=45O,

.•.△ABE是等腰直角三角形，

；.AE=BE,

:点F是AB的中点,

，FE」AB,

2

；.FD=FE,①正确;

VZCBE=ZBAD,ZCBE+ZC=90°,ZBAD+ZABC=90°,

ZABC=ZC,

；.AB=AC,

VAD±BC,

；.BC=2CD,ZBAD=ZCAD=ZCBE,

rZAEH=ZCEB

在△AEH和△BEC中，，AE=BE，

,ZEAH=ZCBE

A△AEHBEC(ASA),

；.AH=BC=2CD,②正确：

VZBAD=ZCBE,ZADB=ZCEB,

.".△ABD-ABCE,

.•.空"1,即BOAD=AB・BE,

ABAD

V2AE2=AB«AE=AB«BE,BOAD=AC・BE=AB・BE,

2

.,.BC«AD=A/2AE;③正确；

；F是AB的中点,BD=CD,

S△ABC=2S△ABD=4S△ADF.④正确；

故选：D.

11.（2016•辽宁丹东・3分）如图，正方形ABCD边长为3,连接AC,AE平分/CAD,交

BC的延长线于点E,FA1AE,交CB延长线于点F,则EF的长为6\sqrt{2}.

【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质.

【分析】利用正方形的性质和勾股定理可得AC的长，由角平分线的性质和平行线的性质可

得NCAE=NE,易得CE=CA,由FA_LAE,可得NFAC=NF,易得CF=AC,可得EF的长.

【解答】解：；四边形ABCD为正方形，且边长为3,

/.AC=3&,

YAE平分NCAD,

/CAE=/DAE,

：AD〃CE,

/DAE=/E,

/CAE=/E,

.".CE=CA=3-72>

VFA1AE,

AZFAC+ZCAE=90°,ZF+ZE=90°,

ZFAC=ZF,

；.CF=AC=3近,

EF=CF+CE=3&+35/2=65/2

故答案为：672.

12.（2016•四川内江）一组正方形按如图3所示的方式放置，其中顶点与在y轴上，顶点

G，Ei，E2,C2，E3,E4,C3...在无轴上，已知正方形4BC1D1的边长为1,ZB1C1O=

60°,B\C\〃B2c2〃B3C3……则正方形A2OI6B2016c2。初2。16的边长是（）

A.(1)2015B.(1)2016C.(争2016口.(坐严5

［答案］D

［考点］三角形的相似，推理、猜想。

[解析]易知AB2c2E2sACQIEI，；.黑=舞=绰=tan30。.

C}D}C]E]Cg

：.B2C2=CyDvtan30°=.—坐.

2

同理，B3C3=C2D2-tan30°=(^)；

由此猜想5G=(W)"[

当”=2016时,B2016c2016=(^^严5.

故选D.

13.（2016•四川南充）如图，正五边形的边长为2,连结对角线AD,BE,CE,线段AD

分别与BE和CE相交于点M,N.给出下列结论：①/AME=108。；②AM=AMAD；③MN=3

；其中正确结论的个数是（）

-V5@SAEBC=2>/5-1.

A.I个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据正五边形的性质得到NABE=NAEB=/EAD=36。，根据三角形的内角和即可

得到结论；由于/AEN=108。-36。=72。，ZANE=36°+36O=72°,得到NAEN=/ANE,根据

AE_AM

等腰三角形的判定定理得到AE=AN,同理DE=DM,根据相似三角形的性质得到而不

等量代换得到AN2=AMAD；根据AE?=AMAD,歹U方程得至MN=3-遍在正五边形ABCDE

事>1V（1+V5）2-I2

中，由于BE=CE=AD=1+，得至1JBH=2BC=1,根据勾股定理得至I」EH=

R5+2旄,根据三角形的面积得到结论.

【解答】解：VZBAE=ZAED=108°,

VAB=AE=DE,

JZABE=ZAEB=ZEAD=36°,

・・・ZAME=180°-ZEAM-ZAEM=108°,故①正确；

ZAEN=108°-36°=72°,ZANE=36°+36°=72°,

AZAEN=ZANE,

AAE=AN,

同理DE二DM,

AAE=DM,

,/ZEAD=ZAEM=ZADE=36°,

.".△AEM^AADE,

AE二AM

AD-AE,

.,.AE2=AMAD：

.-.AN2=AMAD；故②正确；

VAE-=AMAD,

.,,22=(2-MN)(4-MN),

；.MN=3-V5；故③正确；

在正五边形ABCDE中，

VBE=CE=AD=I+V5,

1

；.BH=2BC=1,

...EH=7(1+V5)2-1^5+2^

1175+27575+2备

...SAEBC=2BCEH=2X2X=,故④错误;

故选c.

E

BH

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正五边形的性质，熟练掌握正五

边形的性质是解题的关键.

14.（2016•四川泸州）如图，矩形ABCD的边长AD=3,AB=2,E为AB的中

点，F在边BC上，且BF=2FC,AF分别与DE、DB相交于点M,N,则MN

的长为（）

人•等B.梁C.等D.等

【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质.

【分析】过F作FHLAD于H,交ED于O,于是得到FH=AB=2,根据勾股

定理得到AF=7FH2+AH2=V22+22=2^2-根据平行线分线段成比例定理得到

11AMAE13.3,3>/2

OH=3AE=3，由相似三角形的性质得到丽=而直=可，求得AM=®AF=一二，

-3

根据相似三角形的性质得到需备.求得AN咯AF=&2,即可得到结论.

rNDrzb5

【解答】解：过F作FHJ_AD于H,交ED于O,则FH=AB=2

VBF=2FC,BC=AD=3,

ABF=AH=2,FC=HD=1,

AF=^FH2+AH2=^22+22=2V2,

•；OH〃AE,

.HO__DH__1

"AEADT

，OH=5AE=g

33

15

，OF=FH-0H=2--i——,

33

YAE〃FO,

△AMESFMO,

AHAE12

•••FI=F0T='5>

-3

・…3

..AM=—AF=—342-2=.,

84

；AD〃BF,

△ANDS/XFNB,

,AN_AD___3

••而而—5，

•AM-An-^V2

.・AN-"zrAF-,

55

/.MN=AN-AM=-^S-

5420

故选B.

15.（2016•黑龙江龙东・3分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连

接AE,BF交于点G,将ABCF沿BF对折，得到△BPF,延长FP交BA延长线于点Q,

下列结论正确的个数是（）

4

①AE=BF；②AE_LBF；③sin/BQP=f④S四边彩ECFG=2SABGE.

5

A.4B.3C.2D.1

【考点】四边形综合题.

【分析】首先证明AABE畛aBCF,再利用角的关系求得NBGE=90。，即可得至U①AE=BF；

②AEJ_BF；ZiBCF沿BF对折，得到△BPF,利用角的关系求出QF=QB,解出BP,QB,

根据正弦的定义即可求解；根据AA可证ABGE与ABCF相似，进一步得到相似比，再根

据相似三角形的性质即可求解.

【解答】解：；E,F分别是正方形ABCD边BC,CD的中点，

；.CF=BE,

在小ABEfHABCF中，

rAB=BC

-NABE=/BCF，

、BE=CF

Z.RtAABE^RtABCF(SAS),

.,.NBAE=NCBF,AE=BF,故①正确；

又•；NBAE+NBEA=90。，

/.ZCBF+ZBEA=90°,

ZBGE=90°,

AAE1BF,故②正确;

根据题意得，FP=FC,ZPFB=ZBFC,ZFPB=90°

・・・CD〃AB,

AZCFB=ZABF,

/.ZABF=ZPFB,

・・・QF=QB,

令PF=k(k>0),则PB=2k

在R3BPQ中，设QB=x,

x2=(x-k)2+4k2,

.,.x=5"k-,

2

RP4

sin=ZBQP二诬故③正确；

VZBGE=ZBCF,NGBE=NCBF,

/.△BGE^ABCF,

VBE=4-BC,BF=2^BC,

22

ABE：BF=1：遥，

•••△BGE的面积：ZkBCF的面积=1：5,

=

***S四边形ECFG4SABGE，故④错误.

故选：B.

二、填空题

1.（2016•山东省滨州市4分）如图，矩形ABCD中，AB=，g,BC=退，点E在对角线

BD上，且BE=1.8,连接AE并延长交DC于点E则枭

【考点】相似三角形的判定与性质；铺形的性质.

【分析】根据勾股定理求出BD,得到DE的长，根据相似三角形的性质得到比例式，代入

计算即可求出DF的长，求出CF,计算即可.

【解答】解：：四边形ABCD是矩形,

.-.ZBAD=90°,XAB=V3.BC=通,

•,-BD"VAB2+AD2^3,

VBE=1.8,

；.DE=3-1.8=1.2,

；AB〃CD,

.DFDE,DF1.2

"IfBE,即Bl7TT?

解得,DF_A/3,

3

则CF=CD-DF3W

3

CFV31

CD=3=3,

73

故答案为：

【点评】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似

三角形的判定定理、性质定理是解题的关键.

2.（2016贵州毕节5分）在△ABC中，D为AB边上一点，且/BCD=/A.已知BC=2&，

Q

AB=3,贝BD=三.

一3一

【考点】相似三角形的判定与性质.

【分析】证明4DCB丝Z\CAB,得黑二空，由此即可解决问题.

BCAB

【解答】解：；NBCD=NA,NB=NB,

/.△DCB^ACAB,

.BDCB

*'BCAB'

._BD2V2

3

故答案为■!

3

3.（2016•广西桂林-3分）如图,在RSACB中，ZACB=90°,AC=BC=3rCD=1,CH1BD

于H,点O是AB中点，连接OH,则OH=之匹.

一5一

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.

CH_CD

BC

【分析】在BD上截取BE=CH,连接CO,OE,根据相似三角形的性质得到

求得CH=，根据等腰直角三角形的性质得到AO=OB=OC,

10

ZA=ZACO=ZBCO=ZABC=45°,等量代换得到NOCH=/ABD,根据全等三角形的性质

得至lJOE=OH,/BOE=NHOC推出△HOE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质

即可得到结论.

【解答】解：在BD上截取BE=CH,连接CO,OE,

VZACB=90℃H±BD,

：AC=BC=3,CD=1,

...BD=7,

.,.△CDH^ABDC,

.CHCD

•>'一二.，

BCBD

ACH-1°，

「△ACB是等腰直角三角形，点。是AB中点,

AAO=OB=OC,ZA=ZACO=ZBCO=ZABC=45°,

AZOCH+ZDCH=45°,ZABD+ZDBC=45°,

VZDCH=ZCBD,.\ZOCH=ZABD,

'CH=BE

在△CHO与aBEO中，，ZHCO=ZEBO»

OC=OB

/.△CHO^ABEO,

AOE=OH,ZBOE=ZHOC,

VOC1BO,

JZEOH=90°,

即△HOE是等腰直角三角形，

.・FH—RDDHCH-VlOV103^103^/10

10105

3

；.OH=EHx返一,^,

25

故答案为：结•.

5

4.（2016・贵州安顺-4分）如图，矩形EFGH内接于△ABC,且边FG落在BC上，若AD±BC,

期W

BC=3,AD=2,EF=:EH,那么EH的长为2.

【分析】设EH=3x,表示出EF,由AD-EF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三

角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值,

即为EH的长.

【解答】解：如图所示：

•.•四边形EFGH是矩形，

；.EH〃BC,

.•.△AEH^AABC,

VAMXEH,AD1BC,

AM_EH

AD-BC,

设EH=3x,贝有EF=2x,AM=AD-EF=2-2x,

2-2x_3x

二.2~3,

1

解得：x=~2,

3_

则EH=2.

3.

故答案为：~2.

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判

定与性质是解本题的关键.

5.（2016・湖北随州S分）如图（1）,PT与。Oi相切于点T,PAB与。Oi相交于A、B两点,

可证明△PTA-APBT,从而有PT2=PA,PB.请应用以上结论解决下列问题：如图（2）,PAB、

PCD分别与。。2相交于A、B、C、D四点，已知PA=2,PB=7,PC=3,则CD=—.

一3-

【考点】相似三角形的判定与性质；切线的性质.

【分析】如图2中，过点P作。O的切线PT,切点是T,根据PT2=PA・PB=PC・PD,求出

PD即可解决问题.

【解答】解：如图2中，过点P作。O的切线PT,切点是T.

VPT2=PA«PB=PC«PD,

：PA=2,PB=7,PC=3,

，2x7=3xPD,

14

二PD=­

3

145.

；.CD=PD-PC=3-3=3.

6.（2016・湖北武汉・3分）如图，在四边形ABCD中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,CD

=10,DA=5后，则BD的长为.

【考点】相似三角形，勾股定理

【答案】2历

【解析】连接AC,过点。作BC边上的高，交BC延长线于点从在Rt/iABC中，AB=3,

BC=4,：.AC=5,又C£>=10,D4=5石，可知△ACD为直角三角形，且NACD=90。，

易证AABCsZ\CHD,则CH=6,DH=8,；.BD=J（4+6>+8?=2历.

7.（2016•黑龙江龙东-3分）已知：在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE《AD,

连接CE交BD于点F,则EF：FC的值是马蝮.

一3一3一

【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质.

【分析】分两种情况：①当点E在线段AD上时，由四边形ABCD是平行四边形，可证得

△EFD^ACFB,求出DE：BC=2：3,即可求得EF：FC的值；

②当当点E在射线DA上时，同①得：AEFD^ACFB,求出DE：BC=4：3,即可求得EF：

FC的值.

【解答】解：VAE^AD,

分两种情况：

①当点E在线段AD上时，如图1所示

•.•四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,AD=BC,

/.△EFD^ACFB,

AEF：FC=DE：BC,

：AE」AD,

3

DE=2AE=—AD=-=BC,

33

ADE：BC=2：3,

.,.EF：FC=2：3；

②当点E在线段DA的延长线上时，如图2所示：

同①得：ZiEFDsZXCFB,

AEF：FC=DE：BC,

•.•AE《AD,

44

，DE=4AE/AD=NBC,

33

ADE：BC=4：3,

AEF：FC=4：3；

综上所述：EF：FC的值是告或《；

33

故答案为：/■或卷.

33

8.（2016•黑龙江齐齐哈尔・3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、

OC分别在x轴和y轴上，且OA=2,OC=1.在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位

似中心放大为原来的"I倍，得到矩形AQGB”再将矩形AQGBi以原点O为位似中心放

大盘倍，得到矩形A20c2B2…，以此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为（-

3n3\

242向一,

【考点】位似变换；坐标与图形性质；矩形的性质.

【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么

位似图形对应点的坐标的比等于k或-k,即可求得&的坐标，然后根据矩形的性质即可求

得对角线交点的坐标.

【解答】解：•••在第二象限内，将矩形AOCB以原点0为位似中心放大为原来的日倍，

矩形AQCIBI与矩形AOCB是位似图形，点B与点B(是对应点，

；0A=2,OC=1.

:点B的坐标为(-2,1),

/.点Bi的坐标为(-2xW,1x2),

22

•••将矩形AQCIBI以原点O为位似中心放大W倍，得到矩形A20c2B2…,

2

Bi(-2x—x—,lx—x"),

■2222

on«n

Bn(-2x1,lx---),

2n2n

11

・・,矩形AOCB的对角线交点-2x^-x^,lx^-x^)

nnn2n22n2

故答案为木券)•

三、解答题

1.(2016.湖北武汉.10分)在AABC中，P为边A8上一点.

(1)如图1,若求证：AC2=APAB.

(2)若M为CP的中点，AC=2,

①如图2,若NP8W=NACP,A8=3,求BP的长;

②如图3,若NABC=45。，NA=NBMP=60。，直接写出8P的长.

【考点】相似形综合，考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形中位线性质，

勾股定理。

【答案】(1)证AACPSAABC即可；(2)①3P=石；②5-1

【解析】⑴证明：•.,NACP=/B,ZBAC^ZCAP,：./\ACP^ABC,：.AC：AB=AP：

AC,.".Ad^APAB；

(2)①如图，作CQ〃8M交A8延长线于。，设8P=x,MPrQ=2x

2

VZPBM^ZACP,ZPAC^ZCAQ,：.AAPC^AACg,由4c2=APAQ得：2=(3~x)

(3+x),/.X=y/5

即BP=y[s;

②如图：作CQLAB于点Q,作CPo=CP交AB于点A,

VAC=2,：.AQ=\,CQ=BQ=V3,

设尸oQ=PQ=l-x,BP=G—1+X,

,：ZBPM=ZCP()A,NBMP=NCAPo,.,.△AP0C^AMPB,外=空，

MPBP

2()2+(1)2

：.MP-PaC=-f^C=^~^=APaBP=x-1+x),解得

22

.••BP=V3-1+V7-V3=V7-1.

2.（2016•辽宁丹东•12分）如图①，△ABC与4CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD

在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、

BD.

（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；

（2）现将图①中的ACDE绕着点C顺时针旋转a（0。<（1<90。），得到图②，AE与MP、

BD分别交于点G、H.请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说

明理由；

（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC,CD=kCE,如图③，写出

PM与PN的数量关系，并加以证明.

DD

图①图②图③

【考点】相似形综合题.

【分析】(1)由等腰直角三角形的性质易证△ACEgABCD,由此可得AE=BD,再根据三

角形中位线定理即可得到PM=PN,由平行线的性质可得PM1PN；

(2)(1)中的结论仍旧成立，由(1)中的证明思路即可证明；

(3)PM=kPN,由已知条件可证明△BCDs^ACE,所以可得BD=kAE,因为点P、M、N

分别为AD、AB、DE的中点，所以PM」BD,PN=—AE,进而可证明PM=kPN.

22

【解答】解：

(1)PM=PN,PM1PN,理由如下：

VAACBfllAECD是等腰直角三角形，

；.AC=BC,EC=CD,ZACB=ZECD=90°.

在^ACE和4BCD中

rAC=BC

<ZACB=ZECD=90°，

,CE=CD

.".△ACE^ABCD(SAS),

；.AE=BD,ZEAC=ZCBD,

•.•点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，

BD,PN=—AE,

22

；.PM=PM,

VZNPD=ZEAC,ZMPN=ZBDC,ZEAC+ZBDC=90°,

.,.ZMPA+ZNPC=90°,

・・・ZMPN=90°,

即PM±PN；

(2)VAACB和^ECD是等腰直角三角形，

AAC=BC,EC=CD,

ZACB=ZECD=90°.

JNACB+NBCE=NECD+NBCE.

.\ZACE=ZBCD.

AAACE^ABCD.

/.AE=BD,ZCAE=ZCBD.

XVZAOC=ZBOE,

ZCAE=ZCBD,

AZBHO=ZACO=90°.

・・,点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点,

・・・PM=ZD,PM〃BD；

2

PN=A-AE,PN〃AE.

2

/.PM=PN.

.\ZMGE+ZBHA=180°.

・・・ZMGE=90°.

・・・/MPN=90。.

APM1PN.

(3)PM=kPN

VAACB和^ECD是直角三角形，

/.ZACB=ZECD=90°.

・・・NACB+NBCE=NECD+NBCE.

/.ZACE=ZBCD.

VBC=kAC,CD=kCE,

•.B•C二CD一二,一K.

ACCE

.,.△BCD^AACE.

；.BD=kAE.

•.•点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，

/.PM=—BD,PN=—AE.

22

PM=kPN.

3.(2016•四川泸州)如图，4ABC内接于OO,BD为(DO的直径，BD与AC

相交于点H,AC的延长线与过点B的直线相交于点E,且NA=NEBC.

(1)求证：BE是。。的切线；

(2)已知CG〃EB,且CG与BD、BA分别相交于点F、G,若BG・BA=48,

FG=料，DF=2BF,求AH的值.

【考点】圆的综合题；三角形的外接圆与外心；切线的判定.

【分析】(1)欲证明BE是。。的切线，只要证明/EBD=90。.

(2)由AABCs/\CBG,得BC-AB求出BC,再由ABFCs^BCD,得

BGBC

BC2=BF・BD求出BF,CF,CG,GB,再通过计算发现CG=AG,进而可以证

明CH=CB,求出AC即可解决问题.

【解答】(1)证明：连接CD,

VBD是直径，

NBCD=90°,即/D+/CBD=90°,

VZA=ZD,ZA=ZEBC,

，ZCBD+ZEBC=90°,

ABEIBD,

ABE是。O切线.

(2)解：VCG/7EB,

二/BCG=NEBC,

NA=NBCG,

ZCBG=ZABC

，AABC^ACBG,

二凶.一纯,g|jBC?=BG・BA=48,

BGBC

BC=473.

：CG〃EB,

ACFIBD,

△BFCs/XBCD,

ABC2=BF«BD,

；DF=2BF,

ABF=4,

在RTABCF中，CF=^BC2_pB2=4y[2,

，CG=CF+FG=5血，

在RTABFG中，BGWBJ^+FG=&

VBG«BA=48,

•••BA=8及即AG=5g,

，CG=AG,

AZA=ZACG=ZBCG,ZCFH=ZCFB=90°,

，ZCHF=ZCBF,

，CH=CB=475，

VAABC^ACBG,

,.A,C——BC,

CGBG

・•.AC=^=迎

CG3

AH=AC-CH=^^.

4.(2016•四川内江)(12分)如图15,已知抛物线C：y=Xi-3x+m,直线/：y=kx(k>0),

当上=1时，抛物线C与直线/只有一个公共点.

(1)求〃？的值；

⑵若直线/与抛物线C交于不同的两点A,B,直线/与直线小y=~3x+h交于点尸，且与

+1,知求b的值;

OB

(3)在(2)的条件下，设直线6与y轴交于点Q,问：是否存在实数人使SAAP2=SABPQ，若存

在，求&的值；若不存在，说明理由.

［考点］二次函数与一元二次方程的关系，三角形的相似，推理论证的能力。

解：（1）...当％=1时，抛物线C与直线/只有一个公共点,

.••方程组［y=x--3x+根，有且只有一组解.....................................2分

y=x

消去y,得f—以+〃?=0,所以此一元二次方程有两个相等的实数根.

.,.△=0,即（一4尸一4〃?=0.

工m=4..........................................................................................................................................4分

（2）如图，分别过点A,P,3作y轴的垂线，垂足依次为CD,E,

则△OACs△0尸£）,.=丝.

OAAC

同理,OP_PD

~OB~~RE

..1,1_2.OP上OP_个

・।«♦・I乙

OAOBOPOAOB

・PD.PD

,*AC+B£-2

•••志+羡=盍'即要兼=盍

........................................................................5分

解方程组;六十1=用即陆磊•..........................................................6分

y=l（x

由方程组1消去y,得f—伏+3）x+4=0.

y=x2-3x+4

'.'AC,8E是以上一元二次方程的两根，

；.AC+BE=k+3,ACBE=4.7分

•女+32

IT'

k+3

解得匕=8....................................................................................................................................8分

(3)不存在.理由如下：.......................................................9分

假设存在，则当SA“Q=SABP2时有AP=P8,

于是PD~AC=PE-PD,即AC+BE=2PD.

由(2)可知AC+8E=&+3,PO=丁

k+3

：.k+3=2x-^~,即优+3猿=16.

k+3

解得《=1(舍去k=-7)..........................................................................................................11分

当k=l时，A,B两点重合，AQAB不存在.

♦•♦不存在实数人使SAAPQ=5A........................................................................................12分

5.(2016•四川南充)已知正方形ABCD的边长为1,点P为正方形内一动点，若点M在

AB上，且满足△PBCs/XPAM,延长BP交AD于点N,连结CM.

(1)如图一，若点M在线段AB上，求证：AP±BN；AM=AN；

(2)①如图二，在点P运动过程中，满足△PBCsaPAM的点M在AB的延长线上时,

AP_LBN和AM=AN是否成立？(不需说明理由)

1

②是否存在满足条件的点P，使得PC=受?请说明