2024-2025学年高中数学第三章函数的应用章末复习提升课热考强化素养提升新人教A版必修1

PAGE1-第三章函数的应用1．(2024·沈阳期末)函数f(x)＝2x＋log2x－3的零点所在区间为()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)解析：选B.因为f(1)＝2＋log21－3＝－1＜0，f(2)＝22＋log22－3＝5－3＝2＞0，依据零点存在性定理，得f(x)的零点所在区间为(1，2)．故选B.2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)＋\f(7,8)（x≥3）,log3x（0<x<3）))，若函数g(x)＝f(x)－k恰有两个零点，则实数k的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)，1))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,8)，1)) D．(0，1)解析：选A.函数g(x)＝f(x)－k恰有两个零点，即为f(x)＝k有两个不等实根，即函数y＝f(x)和y＝k有两个交点，作出y＝f(x)的草图，由x≥3时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋eq\f(7,8)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,8)，1))，由图象可得eq\f(7,8)＜k＜1，故选A.3．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量削减eq\f(1,4)，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)()A．8 B．9C．10 D．11解析：选D.设至少须要过滤n次，则0.02×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))eq\s\up12(n)≤0.001，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(n)≤eq\f(1,20)，所以nlgeq\f(3,4)≤－lg20，即n≥eq\f(lg20,lg4－lg3)＝eq\f(1＋0.3010,2×0.3010－0.4771)≈10.42，又n∈N，所以n≥11，所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求．故选D.4．已知方程2x＝8－x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝____________．解析：由2x＝8－x得2x＋x－8＝0，令f(x)＝2x＋x－8，因为f(1)＝2＋1－8＝－5＜0，f(2)＝4＋2－8＝－2＜0，f(3)＝8＋3－8＝3＞0，依据零点存在性定理得f(x)的零点在(2，3)内，所以k＝2，答案：25．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售岀8台，为了协作国家“家电下乡”政策的实施，商场确定实行适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．(1)假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；(不要求写自变量的取值范围)(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？(3)每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最大？最大利润是多少？解：(1)y＝(2400－2000－x)(8＋0.08x)＝(400－x)×(8＋0.08x)＝－0.08x2＋24x＋3200.(2)当y＝4800时，－0.08x2＋24x＋3200＝4800，解这个方程得x1＝100，x2＝200.因为若要使老百姓获得更多实惠，则x1＝100不符合题意，舍去．答：若要使老百姓获得更多实惠，每台冰箱应降价200元．(3)由y＝－0.08x2＋24x＋3200，当x＝eq\f(24,2×0.08)＝150时，y最大，最大为－0.08×1502＋24×150＋3200＝5000.答：每台冰箱降价150元时，商场每天销售这种冰箱的利润最大，最大利润是5000元．6．小萌高校毕业后，家里给了她10万元，她想办一个“萌萌”加工厂，依据市场调研，她得出了一组毛利润y(单位：万元)与投入成本x(单位：万元)的数据如下：投入成本x0.5123456毛利润y1.061.2523.2557.259.98为了预料不同投入成本状况下的利润，她想在两个模型f(x)＝ax2＋b，g(x)＝p·2x＋q中选一个进行预料．(1)依据投入成本2万元和4万元的两组数据分别求出两个模型的函数解析式，请你依据给定数据选出一个较好的函数模型进行预料(不必说明理由)，并预料她投入8万元时的毛利润；(2)若小萌打算最少投入2万元开办加工厂，请预料加工厂毛利润率r的最大值，并说明理由．(毛利润率＝eq\f(毛利润,投入成本))解：(1)先求第一个模型f(x)＝ax2＋b的解析式，由已知数据可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋b＝2，,16a＋b＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝1，))所以f(x)＝eq\f(1,4)x2＋1(0<x≤10)，同理可求得g(x)＝eq\f(1,4)·2x＋1(0<x≤10)．选择f(x)＝eq\f(1,4)x2＋1(0<x≤10)作为较好的模型，当x＝8万元时，y＝17万元．(2)由已知得r＝eq\f(y,x)＝eq\f(\f(1,4)x2＋1,x)＝eq\f(x,4)＋eq\f(1,x)(2≤x≤10)，设2≤x1＜x2≤10，则r1＝eq\f(x1,4)＋eq\f(1,x1)，r2＝eq\f(x2,4)＋eq\f(1,x2)，r2－r1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(1,x2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,4)＋\f(1,x1)))＝eq\f(（x2－x1）（x1x2－4）,4x1x2).因为2≤x1＜x2≤10，所以x2－x1＞0，x1x2－4＞0，所以r2－r1＞0，所以r＝eq\f(y,x)＝eq\f(x,4)＋eq\f(1,x)在[2，10]上是增函数，所以当x＝10万元时，rma