2024-2025学年高中数学课时分层作业9事件的独立性含解析苏教版选修2-3

PAGE1-课时分层作业(九)事务的独立性(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．有以下三个问题：①掷一枚骰子一次，事务M：“出现的点数为奇数”，事务N：“出现的点数为偶数”；②袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事务M：“第1次摸到白球”，事务N：“第2次摸到白球”；③分别抛掷2枚相同的硬币，事务M：“第1枚为正面”，事务N：“两枚结果相同”．这三个问题中，M，N是相互独立事务的有()A．3个 B．2个C．1个 D．0个C[①中，M，N是互斥事务；②中，P(M)＝eq\f(3,5)，P(N)＝eq\f(1,2).即事务M的结果对事务N的结果有影响，所以M，N不是相互独立事务；③中，P(M)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(1,2)，P(M∩N)＝eq\f(1,4)，P(M∩N)＝P(M)·P(N)，因此M，N是相互独立事务．]2．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A.eq\f(4,9) B.eq\f(2,9)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,3)A[“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事务A，则P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事务B，则P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，事务A、B相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，故选A.]3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队须要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,2)A[问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝eq\f(1,2)；其次类，需竞赛2局，第一局甲负，其次局甲赢，其概率P2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝eq\f(3,4).]4．甲、乙二人各进行1次射击，假如两人击中目标的概率都是0.7，两个人射中与否相互之间没有影响，那么其中恰有1人击中目标的概率是()A．0.49 B．0.42C．0.7 D．0.91B[由题意可知，两人恰有1人击中目标有两种状况：甲击中乙没击中或甲没击中乙击中，设“恰有1人击中目标”为事务A，则P(A)＝0.7×(1－0.7)＋(1－0.7)×0.7＝0.42.]5．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是eq\f(1,2)，且是相互独立的，则灯亮的概率为()A.eq\f(3,16) B.eq\f(3,4)C.eq\f(13,16) D.eq\f(1,4)C[记A，B，C，D这4个开关闭合分别为事务A，B，C，D，又记A与B至少有一个不闭合为事务eq\x\to(E)，则P(eq\x\to(E))＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＋P(eq\x\to(AB))＝eq\f(3,4)，则灯亮的概率为P＝1－P(eq\x\to(E)eq\x\to(C)eq\x\to(D))＝1－P(eq\x\to(E))P(eq\x\to(C))P(eq\x\to(D))＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).]二、填空题6．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8，0.8，则系统正常工作的概率为________．0．864[可知K，A1，A2三类元件是否正常工作相互独立，所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.]7．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是________．eq\f(1,2)[从甲袋中任取一球是白球的概率为eq\f(8,12)＝eq\f(2,3)，是红球的概率为eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)；从乙袋中任取一球是白球的概率为eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，是红球的概率为eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，故所求事务的概率为eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).]8．台风在危害人类的同时，也在爱护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星精确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报精确的是________．0．902[设甲、乙、丙预报精确依次记为事务A，B，C，不精确记为eq\x\to(A)，eq\x\to(B)，eq\x\to(C)，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P(eq\x\to(A))＝0.2，P(eq\x\to(B))＝0.3，P(eq\x\to(C))＝0.1，至少两颗预报精确的事务有ABeq\x\to(C)，Aeq\x\to(B)C，eq\x\to(A)BC，ABC，这四个事务两两互斥且独立．∴至少两颗预报精确的概率为P＝P(ABeq\x\to(C))＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(eq\x\to(A)BC)＋P(ABC)＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.]三、解答题9．依据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．[解]记A表示事务：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事务：该地的1位车主购买乙种保险；C表示事务：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事务：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；E表示事务：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买．(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.(2)D＝eq\x\to(C)，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，P(E)＝0.8×0.2×0.8＋0.8×0.8×0.2＋0.2×0.8×0.8＝0.384.10．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客巡游这3个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且游客是否巡游哪个景点互不影响，用ξ表示该游客离开该城市时巡游的景点数与没有巡游的景点数之差的肯定值，求ξ的分布列．[解]设游客巡游甲、乙、丙景点分别记为事务A1，A2，A3，已知A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6，游客巡游的景点数可能取值为0,1,2,3，相应的游客没有巡游的景点数可能取值为3,2,1,0，所以ξ的可能取值为1,3.则P(ξ＝3)＝P(A1·A2·A3)＋P(eq\x\to(A)1·eq\x\to(A)2·eq\x\to(A)3)＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P(eq\x\to(A)1)·P(eq\x\to(A)2)·P(eq\x\to(A)3)＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24.P(ξ＝1)＝1－0.24＝0.76.所以分布列为：ξ13P0.760.24[实力提升练]1．设两个独立事务A和B都不发生的概率为eq\f(1,9)，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事务A发生的概率P(A)是()A.eq\f(2,9) B.eq\f(1,18)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)D[由P(A∩eq\x\to(B))＝P(B∩eq\x\to(A))，得P(A)P(eq\x\to(B))＝P(B)·P(eq\x\to(A))，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，∴P(A)＝P(B)．又P(eq\x\to(A)∩eq\x\to(B))＝eq\f(1,9)，∴P(eq\x\to(A))＝P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)，∴P(A)＝eq\f(2,3).]2．从某地区的儿童中选择体操学员，已知儿童体型合格的概率为eq\f(1,5)，身体关节构造合格的概率为eq\f(1,4).从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)()A.eq\f(13,20) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,4) D.eq\f(2,5)D[设体型合格为事务A，身体关节构造合格为事务B，A与B为独立事务，且P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,4)，所以两项中至少一项合格的概率为P＝1－P(eq\x\to(AB))＝1－P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(4,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(2,5).]3.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳动时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是________．eq\f(1,3)[由已知逆时针跳一次的概率为eq\f(2,3)，顺时针跳一次的概率为eq\f(1,3).则逆时针跳三次停在A上的概率为P1＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，顺时针跳三次停在A上的概率为P2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27).通过分析跳三次停在A荷叶上只有这两种状况，所以跳三次之后停在A上的概率为P＝P1＋P2＝eq\f(8,27)＋eq\f(1,27)＝eq\f(1,3).]4．(2024·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，实行七场四胜制(当一队赢得四场成功时，该队获胜，决赛结束)．依据前期竞赛成果，甲队的主客场支配依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场竞赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．0．18[记事务M为甲队以4∶1获胜，则甲队共竞赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.]5．在一个选拔项目中，每个选手都要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为eq\f(5,6)，eq\f(4,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的概率分布．[解]设事务Ai(i＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”，由已知P(A1)＝eq\f(5,6)，P(A2)＝eq\f(4,5)，P(A3)＝eq\f(3,4)，P(A4)＝eq\f(1,3).(1)设事务B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则P(B)＝P(A1A2eq\x\to(A3))＝P(A1)P(A2)P(eq\x\to(A3))＝eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(1,6).(2)设事务C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则P(C)＝P(eq\x\to(A1)＋A1eq\x\to(A2)＋A1A2eq\x\to(A3))＝P(eq\x\to(A1))＋P(A1eq\x\to(A2))＋P(A1A2eq\x\to(A3))＝eq\f(1,6)＋eq\f(5,6)×eq\f(1,5)＋eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(1,2).(3)X的可能取值为1,2,3,4.P(X＝1)＝P(eq\x\to(A1))＝eq\f(1,6)，P(X＝2)＝P(A1eq\x\to(A2)