第6章图形的相似第02讲探索三角形相似的条件知识梳理+课后巩固【含试卷答案】数学苏科版九年级下册

第02讲探索三角形相似的条件1．掌握平行线等分线段及平行线分线段成比例定理的内容；2．了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；3．进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力；知识点1平行线分线段成比例类型1

平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．几何语言：如图一：直线ABCDEF，直线AE、BF分别交ABCD、EF干A、B、C、D、E、F．若AC=EC．则BD=FD拓展：1）．如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等；如图一：直线ABCDEF，直线AE、BF分别交AB、CD、EF于A、B、C、D、E、F．且AB、CD、即F距离为d、d，若d，=d．．则AC=EC，BD=FD2）．经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边；如图：在ABC中，D为AB中点，DEBC交AC于点F，则AE=CE．3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半．如图三：在梯形ABCD中，E为AB中点，EFBC交DC于点F，则AF=CF；EF=-（AD+BC）类型2平行线分线段成比例定理（1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例．如图四，在中，，则如图五，在中，，交CA、BA延长结于E、D，则（2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例如图四，在中，，则如图五，在中，，交CA、BA延长结于E、D，则知识点2

相似三角形的相关概念∽，如果我们就说与相似，记作∽．k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”．注意：（1）书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；（2）对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比．当相似比为1时，两个三角形全等．知识点3相似三角形的判定1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的．判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似．【题型1平行线分线段成比例定理及其推论基本应用】【典例1】（2022秋•惠安县期末）1．如图，直线，若，，，则的长是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【变式1-1】（2023•武侯区校级模拟）2．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（）

A． B． C．5 D．9【变式1-2】（2023春•张店区期末）3．如图，直线，直线a，b，c分别交直线m，n于点A，C，E，B，D，F，若，，，则（

）

A．2 B．3 C． D．【典例2】（2023春•任城区期末）4．如图：，，那么CE的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式2-1】（2023春•罗定市校级期中）5．如图，已知，，若，则的长为（）

A．3 B．4 C．5 D．6【变式2-2】（2023•宁化县模拟）6．如图，已知一组平行线，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且，则（）A． B． C． D．【典例3】（2023•市中区一模）7．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【变式3-1】（2022秋•西岗区校级期末）8．如图，已知D，E分别是，上的点，且，，那么等于（）

A．4 B．5 C．6 D．8【变式3-2】（2023•吉林）9．如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（

）

A． B． C． D．【变式3-3】（2023•三明模拟）10．如图，在中，，，，则的长为（

）A． B．4 C．6 D．【题型2相似三角形的概念】【典例4】（2022秋•郯城县校级期末）11．如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与相似的是（）A． B． C． D．【变式4】（2023春•梁溪区校级期末）12．下列两个三角形不一定相似的是（）A．两个等边三角形 B．两个顶角是的等腰三角形C．两个全等三角形 D．两个直角三角形【题型3三边对应成比例，两三角形相似】【典例5】13．如图，已知．求证：．

【变式5】（2023•瑶海区三模）14．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．(1)填空：______，______；(2)判断与是否相似？并证明你的结论．【题型4两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】【典例6】（2022秋•铜仁市期末）15．如图，D，E分别为边上两点，且，，，．求证：．

【变式6-1】（2022秋•泉州期末）16．如图，相交于点O，已知，，求证：．【变式6-2】（2023•海淀区校级开学）17．如图，在中，，，点D，E分别在边上，且，．求证：．【变式6-3】（2022秋•商南县期末）18．如图，，与交于点E，且．(1)求的长．(2)求证：．【题型5两角对应相等，两三角形相似】【典例7】（2023•平潭县模拟）19．如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，点F为线段上一点，且．求证．【变式7-1】（2023•凤庆县二模）20．如图，为菱形的对角线，点E在的延长线上，且．求证：．

【变式7-2】（2023•涵江区一模）21．如图，在和中，于A，于D，相交于点O，，求证：．

【变式7-3】（2023•越秀区校级二模）22．如图，在平行四边形中，点E为边上的点（不与点B，点C重合），连接并延长，交的延长线于点F．求证：．

（2023•吉林）23．如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（

）

A． B． C． D．（2022•巴中）24．如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（

）A．4 B．5 C．6 D．7（2022•临沂）25．如图，在中，，，若，则（

）A． B． C． D．（2023•北京）26．如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为．

（2023•大庆）27．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是．

（2023•岳阳）28．如图，在中，为直径，为弦，点为的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点．(1)若，，则的长是（结果保留）；(2)若，则．（2022•襄阳）29．如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为．（2023•朝阳县三模）30．如图，，若，，，则的长度是（

）A．6 B． C． D．（2023•阳谷县一模）31．如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（

）．A． B． C．50 D．30（2023•仙桃校级一模）32．如图，，，，则的长是（

）A．3 B．4 C．6 D．10（2023秋•商水县期中）33．如图，不能判定和相似的条件是（

）A． B．C． D．（2023•昔阳县模拟）34．如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（

）

A． B． C． D．（2023秋•高新区期中）35．如图，在中，，，，D为的中点，若动点E以的速度从点B出发，沿方向运动，设点E的运动时间为t秒，连接，当以C，D，E为顶点的三角形与相似时，t的值为（）

A．0.5或2 B．0.5或3.5 C．2或2.5 D．2或3.5（2023秋•宜兴市月考）36．如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与相似的是（）A． B． C． D．（2023秋•鲁山县期中）37．如图，已知．下列四个三角形，与相似的是（）A． B． C． D．（2022秋•卧龙区校级期末）38．如图，在中，为上一点，下列四个条件中：①；②；③﹔④能满足与相似的条件是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④（2023春•肇源县期末）39．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（）

A． B． C． D．（2023秋•商河县期中）40．如图，在边长为4的正方形中，是上的点，且，是的中点，求证：．

（2023秋•衡南县期中）41．如图，在中，，F是边上一点，且，过点A作的垂线，交的延长线于点D，求证：．

（2023秋•邗江区校级月考）42．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿着边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．设运动时间为．(1)当移动几秒时，的面积为？(2)当移动几秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似？（2023秋•西安期中）43．如图，是的角平分线，延长至点使得．求证：．（2023秋•西安期中）44．如图，已知点E是的边的中点，点F在边的延长线上，交于点D，如果，求．（2023秋•兴庆区校级期中）45．在和中，，，求证：．

（2023秋•东莞市校级月考）46．如图，在中，点分别在边上，，．求证：．

（2022秋•栖霞区校级期末）47．如图，在中，点D、E分别在、上，且．

(1)求证：；(2)连接、，求证：．（2023•南安市校级模拟）48．如图，A、B、C三点均在边长为1的小正方形网格的格点上．(1)请在BC上标出点D，连接AD，使得△ABD∽△CBA；(2)试证明上述结论：△ABD∽△CBA．（2023秋•金安区校级月考）49．如图，在中，、为边上的两个动点，．(1)若（即、重合），则°时，；(2)若，，则与相似吗？为什么？(3)当和满足怎样的数量关系时，？请说明理由．参考答案：1．C【分析】根据，得到，代入数值求出，即可求出的长．【详解】解：∵，∴,∴，解得，∴，故选：C．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例：一组平行线截两条直线，所截对应线段成比例．2．A【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】解：∵，∴，∵，，，，∴，∴，解得：，故选：A．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．3．A【分析】由直线，根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由，，，即可求得的长即可．【详解】解：，，，，，，解得：，故选：A．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．4．A【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】解：∵，∴，，即，∴CE＝3，故选：A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确列出比例式是解题的关键．5．B【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可.【详解】解：∵，∴，即，∴，故选：B．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确列出比例式是解题的关键．6．C【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．【详解】解：∵，∴，即，解得，，故选：C．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．7．C【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得，解比例方程可求出EC，最后即可求出AC．【详解】∵DE∥BC，∴，即，解得：EC＝2，∴AC＝AE+EC＝4+2＝6；故选C．【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理及推论和比例的基本性质是解决此题的关键．8．C【分析】先证明，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：，，，，，设，，，解得．故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．9．A【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解．【详解】解：∵中，，∴，∵∴，故选：A．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．10．B【分析】证明，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握利用相似三角形的判定和性质进行解题．11．B【分析】本题主要考查了网格信息判断相似三角形，先利用角的度数可得出A，C，D的图形中不含有，观察图形利用勾股定理求边长，利用三角形三边对应成比例来得出相似三角形．【详解】解：在中，，而A，C，D的图形中不含有，观察图形可得，，，∴，B中三角行的三边之比也为．故只有B中三角形和相似．故选：B．12．D【分析】根据相似三角形的判定定理依次判断．【详解】解：A、两个等边三角形，所有的角都是，相等，可以判定两三角形相似，故本选项错误；B、两个顶角是的等腰三角形，两个底角一定都是，可以判定两三角形相似，故本选项错误；C、全等是相似的特殊情况，两个全等三角形一定相似，故本选项错误；D、两个直角三角形，只有一个直角对应相等，无法判定相似，故本选项正确．故选：D．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键．13．【分析】利用三边对应成比例的两个三角形相似，即可得到；【详解】证明：，在中，，,在中，在△ABC和△DEF中，三边对应成比例,．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：三边对应成比例的两个三角形相似，熟悉运用相似三角形的判定与性质即可进行证明．14．(1)；(2)，理由见解析【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，利用勾股定理即可求出线段的长；（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明与相似．【详解】（1）解：，；故答案为；；（2）解：．证明：在的正方形方格中，，，．，，，，．∴．【点睛】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．15．见解析【分析】根据两边对应成比例，且夹角即可证明相似．【详解】证明：，，，，，，，，，又，．【点睛】本题考查了三角形相似的证明，掌握相似三角形判定方法是解题关键．16．见解析【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，根据边长之间对应成比例以及对顶角相等，可得到两个三角形相似，掌握相似三角形的性质是解题的关键．【详解】证明：∵，∴，又∵，∴．17．见解析【分析】首先求出，的长，再求出出，又因为，根据相似三角形的判定可证得．【详解】解：∵，，，．∴，，∴，，∴，又∵，∴．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．18．(1)18(2)见解析【分析】（1）由可得，由相似三角形的性质即可求得结果；（2）由，且公共，即可证明．【详解】（1）解：，，，，，即的长为18．（2）证明：，，，且公共，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是根据题目灵活选取相似三角形的判定方法．19．见详解【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据平行四边形性质得到和，进一步得到和，即可证明相似．【详解】证明：∵四边形为平行四边形，∴，，∴，∵，，∴，∴．20．见解析【分析】由菱形的性质可得，．则．由，，证明三角形相似即可．【详解】证明：∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∵，，∴．【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．21．见解析【分析】先根据直角三角形的性质，得，再根据相似三角形的判定即可．【详解】证明：∵于A，于D，∴，又∵，∴，又∵，∴，,∴，∴．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是本题的关键．22．见解析【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质证明，，即可证得结论．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和平行线的性质以及相似三角形的判定，熟练掌握上述知识是解题的关键．23．A【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解．【详解】解：∵中，，∴，∵∴，故选：A．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．24．C【分析】根据得出，根据，得出，根据、两点纵坐标分别为1、3，得出，即可得出答案．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵、两点纵坐标分别为1、3，∴，∴，解得：，∴点的纵坐标为6，故C正确．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出，是解题的关键．25．C【分析】由，，可得再建立方程即可．【详解】解：，，，解得：经检验符合题意故选C【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，证明“”是解本题的关键．26．【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而.【详解】，

，，，，，，；故答案为：.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键.27．【分析】由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出．【详解】解：四边形是矩形，，，由折叠的性质可得：，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键．28．(1)π(2)【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理、圆周角定理、切线的判定与性质，勾股定理，弧长的计算，掌握圆周角定理、切线的判定与性质是关键．（1）连接，根据圆周角定理可得，利用弧长公式即可求出的长；（2）连接，根据垂径定理得到，再由切线得到，利用平行线分线段成比例得出，再根据勾股求出，代入比例式即可解决问题．【详解】（1）如图，连接，，，，，的长；故答案为：；（2）如图，连接，点为的中点，，，又是的切线，，，，，设，则，，，，，．故答案为：．29．【分析】如图，过点作于点，于点，过点作交于点．证明，设，证明，设，则，求出，可得结论．【详解】解：如图，过点作于点，于点，过点作交于点．平分，，，，，，设，则，，，，，设，则，，，，的周长，故答案为：．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．30．C【分析】根据平行线分线段成比例的性质，可得，即可求解．【详解】解：∵，∴，即，解得，故选：C【点睛】此题考查了平行线分线段成比例的性质，解题的关键是掌握相关性质，正确列出式子．31．D【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．由，利用平行线分线段成比例，可求出的长．【详解】解：，，即，，的长是．故选：D．32．B【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例的性质可计算出的长．【详解】解：∵，∴，即，∴．故选：B．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键．33．D【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进行判定即可．【详解】解：A.由知，且，所以可判断和相似，故选项A不符合题意；B.∵，且，所以可判断和相似，故选项B不符合题意；C.∵，且，所以可判断和相似，故选项C不符合题意；D.由，缺少条件，无法判断和相似，故选项D不符合题意；故选：D．34．C【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可．【详解】解：A、由，满足两组对角相等，可判断，故此选项不符合题意；B、由，满足两组对角相等，可判断，故此选项不符合题意；C、由，但夹角不相等，不能判断，故此选项符合题意；D、由，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故此选项不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．35．D【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形．由含角的直角三角形的性质得到，由线段中点定义求出，分两种情况，由相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵，，∴，∴，∵D是中点，∴，当时，∴，∴∴．当时，∴，∴，∴，∴t的值为2或3.5．故选：D．36．B【分析】本题主要考查了网格信息判断相似三角形，先利用角的度数可得出A，C，D的图形中不含有，观察图形利用勾股定理求边长，利用三角形三边对应成比例来得出相似三角形．【详解】解：在中，，而A，C，D的图形中不含有，观察图形可得，，，∴，B中三角行的三边之比也为．故只有B中三角形和相似．故选：B．37．C【分析】根据相似三角形的判定条件分别判断即可；【详解】根据图形可知，，，∴，∴根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得C中的图形与相似；故选C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定条件，结合三角形内角和定理计算是解题的关键．38．C【分析】根据相似三角形的判定方法对每个条件进行分析，从而获得答案．【详解】解：①∵，∴，又∵，∴；②∵，∴，是的最短边，是的最长边，和不是对应边，不能判定与相似；③∵，，∴；④，，∴．综上所述，能满足与相似的条件是①③④．故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．39．A【分析】直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可．【详解】解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵，∴；故选A．【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是找到对应线段成比例.40．见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定，利用两边及其夹角法即可作出证明．【详解】四边形是正方形，，是的中点，，，，又，∴．41．见解析【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据，得出，进而得出，再推出，即可求证．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．42．(1)3秒(2)3秒或秒【分析】（1）求出运动时间为t秒时PB、BQ的长度，根据三角形的面积公式结合△BPQ的面积为9cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，②当△BPQ∽△BCA时，分别利用相似三角形的性质列式求解即可．【详解】（1）解：运动时间为t秒时（0≤t≤6），PB＝6−t，BQ＝2t，由题意得：＝PB·BQ＝（6−t）·2t＝＝9，解得：，答：当移动3秒时，△BPQ的面积为9cm2；（2）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，则，即，解得：，②当△BPQ∽△BCA时，则，即，解得：，综上，当移动3秒或秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的性质，正确理解题意，列出方程或比例