湘教版七年级下册数学全册教案

第1章二元一次方程组

1.1建立二元一次方程组

教学目标0

+4（35—％）=94,解得：％=23,则

1.理解二元一次方程、二元

鸡有23只，兔有12只.

一次方程组和它的解的含义.

这是用以前学习的一元一次

2.会检验一对数是不是某个

方程来解,那么这个题目还有其

二元一次方程组的解.

它的解法吗？今天我们学习用另

3.能根据问题情境列二元一

外一种方法解这个应用题.

次方程组.

二、新知探究

教学重难点3

重点：二元一次方程组和它【探究一：二元一次方程（组）

的解的概念.的概念】

难点：二元一次方程组解的1.阅读教材P2及P3第1〜3

概念.自然段，判断方程x-\-y=60,x-y

教学过程

=20有何特点？并思考什么是二

一、情境导入

元一次方程，什么是二元一次方

古老的“鸡兔同笼”问题：

程组.

“今有鸡兔同笼，上有三十

答：都含有两个未知数，且含

五头,下有九十四足.问鸡、兔各几

未知数的项的次数都是1.

何？”

归纳：含有两个未知数且所

学生展示：解：设鸡有％只，

含未知数的项的次数都是1的整

贝”兔有（35一％）只，贝可可列方程：2x

式方程叫一二元一次方程一；方1.阅读教材〜4内容,思考什

程组中有两个未知数，且含有未么叫二元一次方程组的解，怎样

知数的项的次数都是1,并且一共检验一对未知数的值是否为二元

有两个方程，这样的方程组叫—一次方程组的解？什么叫解方程

二元一次方程组一.组？

2.思考：情境导入中你可以归纳：①在一个二元一次方

设两个未知数列二元一次方程组程组中使每个方程左、右两边的

吗？值都相等的一组未知数的值，叫

学生讨论回答：设有x只做这个方程组的一个解；②把一

x+y=35，组未知数的值分别代入方程组中

鸡，y只兔.由题意得，

2x+4y=94.

的每个方程，若其左、右两边都相

3.应用:【例1】已知Im-lIxE

等,则这一组未知数的值就是方

+y2nr=3是二元一次方程，则m

程组的解；③求方程组的解的过

+n的值是多少？

程叫做解方程.

答案：m+n=O.

2.应用：【例3】已知下列四

【例2】已知下列方程：2D

对数值:

=7rx^+2x+y=0,%=3yrx+y=

8,%—y=z,1+4y=3,5y+4%=

2%X一9=2,%=4.其中，二元一次

⑴哪几对是方程2x—y=5

方程有一3个一.

的解?

【探究二：二元一次方程(组)

(2)哪几对是方程x+3y=5

的斛】

的解？

⑶哪几对是方程组2018

=—1+1=0.

2x—y=5，三、交流展示

的解?

x+3y=6

1.组织学生以小组为单位进

解：通过验算，可得：（1）①和

行有序展示（表演、口述讲解或板

②是方程2x—y=5的解；（2）①

书）学习成果，并将疑难问题展示

和③是方程x+3y=6的解；（3）

在黑板上,小组之间就上述问题

2x—y=5，

①是方程组的解.

x+3y=6“释疑”或“兵教兵”.

[例4]甲、乙两人共同解2.教师肯定点拨或矫正学生

ax+5y=15,①自学成果.

方程组，uca由于甲

[4x—by=-2，②

四、课堂小结

看错了方程①中的a,得到方程组

1.今天学习了什么？学到了

x=-3，

的解为乙看错了方程

।什么？还有什么疑惑？有什么感

②中的b,得到方程组的解为受？

5'试计算a2019+在学生回答的基础上，教师

[y=4.「HI

点评并板书：

2018

的值.

（1）二元一次方程（组）的概念.

x=-3,

解：把一代入方程②,

（）二元一次方程（组）的解.

y=-i2

得一12+b=—2,b=10,把2.分层作业：

x=5，（1）教材P5习题1.1第1、2、

，代入方程①，得5a+20=

[y=4

3、4、5、6题.

15,1,a=-1,「・a2019+[-^b]

（2）完成“智慧学堂”相应训

2018（1）练.

=（_1）2oi9+（一诟xioj

五、教学反思方程、二元一次方程组必须满足

本节课主要学习了二元一次的三个条件，以及二者的区别与

方程及其解的概念、二元一次方联系.通过学生的积极参与，培养

程组及其解的概念.在教学中，可学生的概括能力,体验成功的快

结合已学过的一元一次方程的概乐，提高学生的学习兴趣.

念,让学生归纳总结出二元一次

1.2二元一次方程组的解法

1.2.1代入消元法

教学目标口

一、情境导入

1.会用代入法解简单的二元

旧知回顾：

一次方程组.

L将方程x—2y=5表不成用

2.经历代入消元的过程，渗透

含y的代数式表示x为x=2y

化未知为已知的“转化”思想.

+5.

教学重难点

重点：用代入消元法解二元2.若x+3y=3,则2x+6y—5

一次方程组.=1.

难点：感受“消元”思想.3.在上节课中，我们列出了二

教学过程

x+y=60，【类型一：某个未知数的系

元一次方程组并知

x—y=20，

数为1】

£=x=24。0，是这个方程组的一个

【例1】用代入法解方程组

解，这个解是怎样得到的呢？2x—y=3,①

.4x+5y=l.②

二、新知探究

解：由①得y=2x—3③.把③

【探究：用代人法解方程组】

代入②得4x+5(2x—3)=1,解这

1.阅读教材P6-7内容,解二元

OO

一次方程组的解题思想是什么？个方程得X=7.把X=7代入③得

5

答：消元.y=一擀,所以这个方程组的解是

归纳：通过消去一个未知数，

f8

使二元一次方程转化为一元一次X=T

5

方程，从而使方程组得以求解的y=-7-

方法叫做一代入一消元法，简称归纳：代入消元法的基本步

代入法.骤：①从方程组中选一个系数比

2.思考：解二元一次方程组较简单的方程，将这个方程中的

的一般步骤是什么？一个未知数用含有另一个未知数

学生讨论回答：①用含一个的代数式表示出来；②将变形后

未知数的式子表示另一个未知数;的关系式代入另一个方程，消去

②代入另一个方程消元一一元一一个未知数，得到一个一元一次

次方程并解元；③求另一个未知方程；③解这个一元一次方程，求

数并写出解.出双或y)的值；④将求得的未知

3.应用：数的值代入变形后的关系式中,

求出另一个未知数的值；⑤把求未知数用另一个未知数来表示,

得的未知数的值用“{”联立起来,再代入另一个方程，消去一个未

就是方程组的解.知数，将方程转化为一元一次方

【类型二：未知数的系数不程来求解，即化“二元”为“一

等于1]元”.

【例2】解方程组：4.拓展：

2x—3y=l，

<【例3】已知关于x,y的方程

.3x+2y=8.

2x—3y=3»

和

解析：把第一个方程变形，ax+by=-1

用y表示x,再代入第二个方程,3x+2y=ll,

2ax+3by=3的解相同，求地的

消去一个未知数，把二元一次方

值.

程组转化为一元一次方程来求

2x—3y=3，

解：由题意得

解.3x+2y=11.

2x-3y=1，①x=3，

由①得解得一代入得

3x+2y=8.②[y=L

3a+b=—1，|a=-2，

x=g(3y+1)③.将③代入②，得6a+3b=3.解得|b=-5.

3xg(3y+1)+2y=8,解得y=1.【例4]“种粮补贝占“惠农

政策的出台，大大激发了农民的

将y=1代入③得x=2,所以方程

种粮积极性.某粮食生产专业户

x=2，

组的解为一

[y=1.去年计划产小麦和玉米共18吨,

归纳：用代入法解二元一次实际生产了20吨,其中小麦超产

方程组的基本思路是：选取其中12%,玉米超产10%,那么该专业

一个二元一次方程，将它的一个户去年实际生产小麦、玉米各多

少吨？1.今天学习了什么？学到了

解：设原计划生产小麦X吨,什么？还有什么疑惑？有什么感

生产玉米y吨，根据题意，得受？

x+y=18，①在学生回答的基础上，教师

12%x+10%y=20-18,②由

点评并板书：

①，得y=18-x③.将③代入②，得

(1)用代入法解二元一次方程

12%x+10%(18—x)=2.解这个

的基本方法.

方程，得x=10.将x=10代入③,

(2)解二元一次方程的一般步

得y=18—10=8.故这个方程组

骤.

x=10，

的解是°即去年小麦的实

[y=8.2.分层作业：

际产量是10X(1+12%)(1)教材42习题L2第1题.

11.2(吨)，玉米的实际产量是(2)完成“智慧学堂”相应训

8X(1+10%)=8.8(吨).练.

二、父流展不五、教学反思

1.组织学生以小组为单位进本节课从上节课的实例引入,

行有序展示(表演、口述讲解或板激发学生解二元一次方程组的求

书)学习成果，并将疑难问题展示知欲望.在教学过程中，注重启发

在黑板上,小组之间就上述问题引导，让学生自主归纳总结代入

“释疑”或“兵教兵”.消元法解二元一次方程组的基本

2.教师肯定点拨或矫正学生步骤.同时，应让学生注重数学思

自学成果.想方法的学习——消元.

四、课堂小结

1.2.2加减消元法

第1课时用加减法解系数较简单的方程组

教学目标n

1.会阐述用加减法解二元一

2.用代入法解二元一次方程

次方程组的基本思路；通过“加

组上+y=5，

减”达到“消元”的目的，从而[x-3y=6.

把二元一次方程组转化为一元一x=3，

解：T

次方程组来求解.

3.你会解这个方程组吗？

2.会用加减法解简单的二元

5x-2y=ll,

<

一次方程组.

、5x+3y=-4.

教学重难点3x=1，

解：c

重点：学会用加减法解简单[y=-3.

的二元一次方程组.二、新知探究

难点：准确灵活地选择和运【探究：用加戒法努条数较

用加减消元法解二元一次方程简单的二元一次方程组】

组.1.阅读教材08~10（第一自然

教学过程

段）思考什么叫加减消元法？怎

一、情境导入

样用加减消元法解二元一次方程

旧知回顾：

组？以及加减消元时未知数的系

1.用代入法解二元一次方程

数有何条件要求？

组的基本思路:二元逋五一元

归纳：当二元一次方程组的这两个方程相减或相加,就能消

两个方程中，同一个未知数的系去一个未知数，从而得到一个一

数相同或相反时,把这两个方程元一次方程，再解这个一元一次

的两边分别相减或相加,就能消方程，求出一个未知数的值；然后

去这个未知数，得到一个一元一把这个未知数的值代入原方程组

次方程.这种方法叫做一加减消中系数比较简单的一个方程中,

元法一,简称一加减法一.求出另一个未知数的值.最后再

2.应用：【类型一：用加减法把这两个未知数的值用大括号联

直接解二元一次方程组】立起来即为方程组的解.

【例11解方程组：【类型二：适当扩大系数后,

x+3y=8，用加减法解二元一次方程组】

5x—3y=4.

【例2】解方程组：

解析：两方程相加即可消去

x—2y=3，

y求得x的值，然后将x的值代入.3x+y=2.

第一个方程即可求得y的值.解析：把②X2,再与①式相

x+3y=8，①加，消去y,把二元一次方程组转

解：，5x—3y=4.②①+②'

化为一元一次方程求解.

得6x=12,解得x=2.把x—2代

x-2y=3，①

②X2,得

入①，得2+3y=8,解得y=2,因3x+y=2.②

x=2，6x+2y=4③，①+③,得7x=7,解

此原方程组的解是c

[y=2.

得x=1.将x=1代入②，得y=一

归纳：解二元一次方程时，如

x=1，

果两个二元一次方程中同一未知1.因此，原方程组的解为一

数的系数相同或互为相反数，把归纳：解二元一次方程组时,

如果两个方程中的某一未知数的规定，规定某种运算方式，规定某

系数是倍数关系,可选取系数的个概念的特征性质，然后要求按

绝对值较小的一个方程乘以一个照规定去计算、求值.解决此类问

适当的数,把两个方程中的这个题,关键在于正确理解新定义运

未知数的系数化为相同或互为相算的意义.

反数，再把这两个方程相减或相二、父流展不

加求出这个未知数，然后将它的1.组织学生以小组为单位进

值代入另一个未知数的系数较简行有序展示(表演、口述讲解或板

单的方程中，求出另一个未知数书)学习成果，并将疑难问题展示

的值.在黑板上,小组之间就上述问题

【类型三：根据定义新运算“释疑”或“兵教兵”.

列二元一次方程组求解】2.教师肯定点拨或矫正学生

【例3]定义运算“*”,规定自学成果.

x*y=ax?+by,其中a,b为常数，且四、课堂小结

1*2=5,2*1=6,则2*3=1.今天学习了什么？学到了

什么？还有什么疑惑？有什么感

解析：根据题意，得受？

a+2b=5,fa=1'在学生回答的基础上，教师

,解得彳/.x*y

4a+b=6，[b=2，

点评并板书：

=x2+ly,.*.2*3=224-2X3=10,

(1)用加减法直接解二元一次

故答案为10.

方程组.

归纳：定义新运算题是各类

(2)适当扩大系数后,用加减

考试的热点题，它的实质是一种

法解二元一次方程组.五、教学反思

(3)根据定义新运算列二元一本节课学习了用加减法解系

次方程组求解.数较简单的二元一次方程组，在

2.分层作业：进行加减消元时,应将某一未知

(1)教材42习题L2第2题数的系数化为相等或互为相反数.

⑵⑶⑷⑸题.在教学中，注重启发引导,让学生

(2)完成“智慧学堂”相应训积极参与课堂活动，通过自主探

练.究、合作交流,体验到成功的喜悦.

第2课时用加减法解系数较复杂的方程组及简单应用

教学目标

难点：准确选择适当的方法

1.进一步理解和区别代入消

解较复杂的二元一次方程组.

元法和加减消元法.

教学过程

2.能选择适当的方法解较复一、情境导入

杂的二元一次方程组.旧知回顾：

3.进一步领悟解二元一次方1.代入法解二元一次方程组

程组的消元思想,体会数学中的的步骤是什么？

转化思想.2.加减法解二元一次方程组

教学重难点3的步骤是什么？

重点：选择适当的方法解较

3.代入法、加减法的基本思

复杂的二元一次方程组.

想是什么？(消元)

上节课我们学习了系数较简2.应用：【类型一：方程组中

单的二元一次方程组的解法，方未知数的系数不成倍数关系】

程组中某一未知数的系数相等或【例1】解方程组：

互为相反数或成倍数关系.如果3x—2y=6,

2x+3y—17.

方程组中未知数的系数不成倍数

解析：可把x的系数化为相

关系，怎样解这样的方程组呢？

等，①X2,②义3;也可把y的系

今天我们将继续来学习解二

数化为相反数，①X3,②义2.

元一次方程组.

解：[2x+3y=17.②①X3,

二、新知探究

【探究一：用加戒法斛系数得9x—6y=18③,②X2,得4x+

较复杂的方程组】6y=34④.③+④，得13x=52,解

1.阅读教材P”例5、例6的得x=4.把x=4代入①，得12一

解法过程,并思考是如何消元化2y=6,解得y=3.所以，方程组的

二元为一元？尝试用代入法解例x=4，

解是。

[y=3.

6并比较哪两种方法较好？

归纳：解二元一次方程组的

归纳：（1）化简方程组；（2）用

关键是消元，即把“二元”化为

等式性质将方程组中某一个未知

“一元”.用加减消元法解二元

数的系数化成相同或相反；（3）当

一次方程组时，如果方程组中未

方程组中某一个未知数的系数相

知数的系数不成倍数关系，可选

同或相反的可用代入法（整体代

定一个未知数，把两个方程分别

入），也可用加减法,一般情况下用

乘以一个适当的数，使这个未知

加减法较简单.

数的系数化为相同或互为相反数,

再用加减法求解.【探究二：二元一次方程组

【类型二：先化简，再解方程的简单应用】

组】【类型一：利用二元一次方

［例2］解方程组：程组的解求字母的值】

$+尹4，【例3】已知关于x,y的二元

<2x+3y=k-3，

x+2y+9一次方程组的

x—2y=2k+l

解析：这个方程组中的方程解互为相反数，则k的值是

比较复杂，可通过去分母等步骤

把方程化简，然后再用加减法解解析：因为关于x,y的二元

方程组.2x+3y=k—3,

一次方程组，的

x—2y=2k+l

解：原方程组可化为

解互为相反数，即x=-y.把x=

14x+3y=24，①

①X5,得70x

[3x—5y=39.②—y代入原方程组中，得

+15y=120③.②义3,得9x—15y—2y+3k=k-3，

即

—y-2y=2k+1，

=117④.③+④，得79x=237,解

y=k-3,①

得x=3.把x=3代入②，得9—5y「3y=2k+l把①代入②中,得

=39,解得y=-6.所以，原方程组Q

—3(k—3)=2k+1,解得k=§.

x=3，

的解是

y=-Q归纳：求解二元一次方程（组）

归纳：解方程组时，如果系数中字母的值，一般有以下方法：①

为分数，一般先化为整数系数，并将解代入方程组,得到关于字母

把方程整理化为一般形式，然后的方程组，求解即可；②先消去一

根据方程组的特点求解.个未知数,再求另一个未知数和

字母组成的方程组的解.四、课堂小结

【类型二：同解方程组】1.今天学习了什么？学到了

［例4］已知方程组什么？还有什么疑惑？有什么感

4x+y=5，ax+by=3,受？

和有

.3x—2y=1ax—by—1

在学生回答的基础上，教师

相同的解，求a2—2ab+b2的值.

点评并板书：

解析：解第一个方程组

(1)用加减法解系数较复杂的

4x+y=5，

把求得的解代入第

3x—2y=l，方程组.

ax+by=3,(2)二元一次方程组的简单应

二个方程组求得

、ax—by=1

用.

a,b的值，再代入a2—2ab+b2中

2.分层作业：

计算.

(1)教材丹2习题1.2题，第2

x=1，a=2，

答案：a2—

y=1，b=1，题(2)(6),第3、4、5、6题.

2ab+b2=1.(2)完成“智慧学堂”相应训

三、交流展示练.

1.组织学生以小组为单位进五、教学反思

行有序展示(表演、口述讲解或板本节课的内容难度较大，在

书)学习成果，并将疑难问题展示教学中，教师应积极启发引导学

在黑板上,小组之间就上述问题生，让学生自己探究，总结出解题

“释疑”或“兵教兵”.方法,同时应积极鼓励学生，勇于

2.教师肯定点拨或矫正学生尝试并不断积累解题经验和方法.

自学成果.

1.3二元一次方程组的应用

第1课时用二元一次方程组解决较简单的实际问题

教学目标（P

什么？

1.通过实际问题感受二元一

审题、设未知数、列方程、

次方程组的广泛应用，体会到二

解方程、检验并作答.

元一次方程组是解决某些实际问

2.小明买了80分和60分的

题的一种有效的数学模型，增强

邮票共17枚，花了12.2元，试问:

应用意识.

80分与60分的邮票各买了多少

2.能够由题意找出等量关系,

枚？

列出二元一次方程组并检验所得

结果是否符合实际意义.

教学重难点

重点：把应用问题转化为数

前面我们结合实际问题，讨

学问题的过程，即对实际问题的

论了用方程组表示问题中的条件

数学模型的建立.

以及如何解方程组.本节我们继

难点：在实践探究中寻找解

续探究如何用方程组解决实际问

题方案.

教学过程题.

一、情境导入二、新知探究

1.列方程解应用题的步骤是【探究：列方程组解决所列

方程中含“X+y=”形式的实际次浏览活动中，教师和学生各有

问题】多少人？

1.阅读教材P14〜15例1、例2,解析：本题的等量关系是：

并思考：①从题目中的哪两句话,教师人数+学生人数=110人；教

找出两个相等关系？②设出未知师的总票钱+学生的总票钱=

数后是如何列出方程组？③建立2400元.根据题意列出方程组，解

二元一次方程组解决实际问题的得答案.

一般步骤是什么？解：设在这次游览活动中，教

要求从题目中用横线标出代师有x人,学生有y人，由题意得:

表两个相等关系的两句话，建立x+y=110,|x=10，

<角率得,

40x+20y=2400.〔y=100.

二元一次方程解决实际问题的步

答：在这次游览活动中，教师

骤如下：

有10人,学生有100人.

I实际问题I疆耒橐盍畲

【类型二：配套问题】

熏即一I解方程组I一

【例2］机械厂加工车间有

检验解是否符85名工人，平均每人每天加工大

合实际情况

齿轮16个或小齿轮10个,2个大

2.应用：【类型一：购票问题】

齿轮和3个小齿轮配成一套，问需

【例1】某学校在6月1日

分别安排多少名工人加工大、小

组织师生共110人到灼突泉公园

齿轮,才能使每天加工的大、小齿

游览』勺突泉公园规定：成人票价

轮刚好配套？

每位40元,学生票价每位20元.

解：设需要安排X名工人加

该学校购票共花费2400元，在这

工大齿轮，安排y名工人加工小齿

x+y=85，解析：利用图表得到两种商

轮，得解得

3X16x=2X10y.

品的进价和售价，根据所求设甲、

x=25，

y=60.乙商品分别购进x件和y件得出

答：需安排25名工人加工大它们的和为160件，再根据两种

齿轮，安排60名工人加工小齿轮.商品的利润和列式，得出二元一

总结：本题考查理解题意的次方程组求解即可.

能力，关键是能准确理解2个大齿解：设甲种商品应购进X件,

轮和3个小齿轮配成一套是什么乙种商品应购进V件，依题意得:

意思，根据理解正确列出方程.错误!解得错误！

【类型三：图表信息题】答：甲种商品应购进100件,

【例3】某商店需要购进甲、乙种商品应购进60件.

乙两种商品共160件，其进价和售【类型四：速度问题】

价如下表：（注：利润=售价一进【例4】A、B两码头相距140

价）bn,一艘轮船在其间航行，顺水航

行用了7/z,逆水航行用了10力,求

甲乙这艘轮船在静水中的速度和水流

进价（元/件）1535速度.

售价（元/件）2045解：设这艘轮船在静水中的

某商店计划销售完这批速度为xkm/h,水流速度为y

商品后能使利润达到1100元，问km/h.由题意，得

甲、乙两种商品应分别购进多少7（x+y）=140，

件？

x=17，(2)配套问题.

y=3.

(3)图表信息题.

答：这艘轮船在静水中的速

(4)速度问题.

度为17km/h,水流速度为3

2.分层作业：

km/h.

(1)教材丹8习题L3第1、2

三、交流展示

题.

1.组织学生以小组为单位进

(2)完成“智慧学堂”相应训

行有序展示(表演、口述讲解或板

练.

书)学习成果，并将疑难问题展示

五、教学反思

在黑板上,小组之间就上述问题

本节课从生活的实例引入,

“释疑”或“兵教兵”.

让学生感受到数学在实际生活中

2.教师肯定点拨或矫正学生

的作用.列方程(组)解应用题的关

自学成果.

键是找等量关系,这就要求同学

四、课堂小结

们认真审题，弄清题目中哪些是

1.今天学习了什么？学到了

已知的、哪些是要求的，已知与要

什么？还有什么疑惑？有什么感

求的量之间有什么联系.在教学

受？

中,让学生自己尝试寻找等量关

在学生回答的基础上，教师

系，在设未知数和作答时,注意不

点评并板书：

要漏写单位.

(1)购票问题.

第2课时列二元一次方程组解较复杂的实际问题

教学目标

斛决较复杂的实际问题】

1.通过对实际问题的探究与

1.阅读教材P17例3、例4,思

解决，逐步形成结合具体事例情

考如何从题目条件中提炼出相等

境发现、提出数学问题的能力.

关系，了解分段收费中相等关系

2.学会用二元一次方程组解

的特点.

决简单的实际问题.

2.应用：【类型一：行程问题】

教学重难点

重点：正确理解题目中关键【例1】雅西高速公路于

语句的含义,找出等量关系，列二2012年4月29日正式通车，西昌

元一次方程组.到成都全长420千米，一辆小汽车

难点：设辅助未知量，用式子和一辆客车同时从西昌、成都两

正确表示题目中的等量关系.地相向开出，经过2.5小时相遇，相

教学过程遇时,小汽车比客车多行驶70千

一、情境导入

米,求出小汽车和客车的平均速

通过前面一节课的学习，你

度.

能说出列二元一次方程组解决实

解