生物统计学讲稿

《生物统计学》

讲稿

福建农林大学林学院

绪论

学时数：1学时

(-)学时：1学时

(二)教学目的：

使学生掌握生物统计学研究的基本问题，生物统计的发展历史，生物统计的

研究方法及其应用与发展。

（三）教学进程与内容：

1.概率论与生物统计研究的对象

①必然现象与随机现象

②随机现象的统计规律性

2.生物统计发展简史

3.生物统计研究方法

①研究如何抽样问题

②如何进行整理、分析，进而进行估计推断

4.生物统计的应用与发展

（四）参考资料：

1.贾乃光等编著.数理统计（第四版）.中国林业出版社，2006

2.洪伟等.林业应用数理统计.大连海运学院出版社，1988

3.毕庆雨.数理统计.中国林业出版社，1992

4.贾乃光.数理统计（第三版）.中国林业出版社，1993

5.洪伟.林业试验设计技术与方法.北京科学技术出版社，1993

第一章随机事件及其概率

随机变量及其分布

学时数：21学时

§1-1随机事件

（-）学时：1学时

（二）教学目的：

使学生掌握本学科最重要的概念之一一随机事件，掌握事件的概念、事件之

间关系及事件的运算，掌握互斥事件完备群的概念。

（三）教学进程与内容：

1.随机事件

①随机事件：

定义:在某一随机试验中有可能出现、也可能不出现的事件被称为随机事件,

或简称为事件，用A、B、C等表示。

②必然事件、不可能事件与集合（举例说明）：并给全集与子集的概念。

2.事件之间的关系及运算（以图示进行说明）

①包含关系：事件A包含事件B,记为AuB；或者事件B被事件A包含,

记为3uA。

②事件的相等A=B：若AuB且5uA,则称A、B相等，记为A=B。

③事件的和（或并）A+B：事件A、B中至少一个发生的事件被称为事件A、

B的和，记为A+B。引出交换律、结合律

④事件的积（或交）AB：事件A、B同时发生的事件被称为A、B的积，

记为AB。引出分配律

⑤事件的差A-B：事件A发生但事件B不发生的事件被称为A-Bo

⑥事件的补（或逆）A：事件A未发生也是一个事件，被称为A的补或逆。

引出摩尔律

⑦事件的互斥（或互不相容）：若48=中，则称A、B互斥或互不相容。

⑧互斥事件完备群：若Ai、A2…Ak两两互斥，且A1+A2+…+Ak=Q,则称

Ai、A2…Ak为互斥事件完备群。

§1-2概率

（-）学时：5学时

（-）教学目的：

使学生掌握概率的定义、古典概型、概率的性质、条件概率、乘法法测及事

件的独立性等定义并能熟练地加以应用，掌握全概率公式与逆概率公式。

（三）教学过程与内容：

1.事件出现的频率

设同一试验被重复地做了n次，其中事件A出现了m次，则称m?n为事件

A在此n次试验中出现的频率。

2.概率的定义

当同一试验重复进行了n次，若事件A的频率随着n的增大而愈趋于稳定地

在某一常数P的附近摆动时，则称常数P为事件A的概率。

3.古典概型

若实验结果是由有限个基本事件组成，可设有n个基本事件，而且每一基本

事件发生的概率相等，则事件A的概率为：

P(A)=有利于A的基本事件的个数/n

4.概率的性质

(1)O<P(A)<1

(2)P(U)=1

(3)尸(。)=。

(4)概率的加法定理：

任给事件A、B有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)(重点)(给

出证明过程)。

(5)当A、B为互斥事件时，P(A+B)=P(A)+P(B)

推论：若A-A2…A0为两两互斥，则

P(A1+A2+…+A“)=P(A,+P(A2)+-+P(An)

(6)P(X)=1-P(A)或P(A)=1-P(A)

5.条件概率、乘法法则及事件的独立性

①条件概率的定义及其计算公式:

P(AB)

P(B/A)=

P⑷

P(AB)

P(A/B)=

P(B)

若P(A)=0或P(B)=0,规定P(AIB),规定P(AIB)=0

②概率乘法定理：(可由条件概率直接得到)

P(AB)=P(A)P(BIA)=P(B)P(AIB)

进一步推广p(A^-An)=p(A1)P(A2IA,)P(A3IAA)…P(A“1A岛…％)

③事件的独立性

i)定义1：若P(AIB)=P(A)或P(B|A)=P(B)称A、B相互独立。

ii)定义1'：若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A、B相互独立

iii)定义2：若定义&、A?…Ak这k个事件中的任一事件A都满足。

P(Ai|AjD=P(AiIA,AJ2)=-=P(AiIAJIAJ2-AJk.1)=P(Ai)

其中jl、j2…jk-l为i除外的1、2-k中k-1个数的任意种排列，则称A-A2-

Ak相互独立

iv）推论：

①若A、B相互独立，则才与B,X与豆，A与否相互独立

kk

口4,）=口「如）

②若Al、A2-Ak（k22）相互独立，则P（可>='

④举例

6.全概率公式与逆概率公式

①互斥事件完备群：

若Ai、A2…Ak两两互斥，且A1+A2+…+Ak=Q,则称A|、A2…Ak为互斥

事件完备群。

②全概率公式

设B］、B2…Bk为互斥事件完备群，则任给事件A有

P（A）=fp（Bj）P（A/Bj）

月（给出证明过程）

③逆概率公式（Bayes公式）

设Bi、B2…Bk为互斥事件完备群，且有P（A）>0

P®/A）=#2

则M

（给出证明过程，并说明与全概率公式间的联系）

④举例

（四）作业：P46：1、2、3、4、5、6、14、18题

§1-3随机变量

（-）学时：3学时

（二）教学目的：

为了更深入研究随机现象，要求学生掌握随机变量概念，重点掌握一维随机

变量的有关内容，让学生了解儿种常见的随机变量类型及其有关函数。

（三）教学过程与内容：

1、随机变量的概念（从实际例子中引入随机变量的概念）

定义：在一定条件下进行试验，如果所要观察的试验结果是某一变量或某一

组变量，并且该变量或该组变量小于任意一个特定值或小于某一组特征数值的概

率存在，则称所观察的试验结果是随机变量，当试验结果为一个变量时，称为…

维随机变量；当所观察的试验结果是一组变量时，称为多维随机变量；当所观察

的试验结果是一组变量时，称为多维随机变量。

说明：①随机变量的特性：a)随机性；b)统计规律性

②随机变量与普通变量的联系与区别

2、一维随机变量及其概率分布

①分布函数的概念：

如果3表示随机变量，x表示任一实数，则随机变量6小于x的概率为x的

函数，记作F(x)=P(6〈x)称F(x)为随机变量6为概率分布函数。

②分布函数性质：

a)F(x)是x的非减函数

b)F(-°°)=O；F(+°°)=l

c)F(x)函数至多有可列个间断点，而在其间断点上也是

右连续。

③随机变量的类型及其性质

i)离散性随机变量的概念

ii)概率函数的性质：

8

y=1

a)非负性：P(8=Xf)=P,20；b)归一性：.

iii)连续型随机变量的概念

iv)概率密度函数的性质：

a)非负性：f(x)》O；b)连续性：fg连续；c)归一性：=l

v)两类随机变量的区别

vi)举例

(四)作业：P48：29-31题

§1-4一些常见的概率分布

(-)学时：4学时

(二)教学目的：

让学生了解儿种常见的重要的概率分布，了解各种概率分布的概率函数或密

度函数，重点掌握正态分布的有关性质、计算。

(三)教学过程与内容：

1.离散型随机变量的概率分布

①两点分布(0-1分布)：P(6=1)=p；P(6=0)=q=(l-p)

②二项分布B(n,p)：P(6=k)=c-Pq(k=0,1,2-n)

③几何分布G(p)：P(5=k)=pq(k=l,2…)

「k「n-k

-MJ/V-M

④超几何分布H(n,M,N)：P(8=k)=Cv(k=0,1,2…，min(n.M))

⑤负二项分布NB(r,p)：p(8=k)=C3-iPZ'(k=0,1,2…)

Ake-2

⑥泊松分布P(入)：P(S=k)=k!(k=0,1,2…)

其中重点掌握B(n,p)、P(入)、H(n,M,N)、分布，对于其它分布举例

说明

2.连续型随机变量的分布

一--(a<x<b)

h-a

①均匀分布U(a,b)：0其它

，/、［及小(X>0)/,八、

f(x)={(x<0)(A>0)

②指数分布e(入)：1°

j-(Xi)2

,e2a~(-co<x<+8)

③正态分布N("，/)：、12g

i)f(x)图象性质

ii)标准正态分布N(0.1)及其正态分布表的应用

iii)正态分布标准变换

iv)一般正态分布的概率计算

-(lnx-M)2

2"一(x>0)

(0(xV°)

⑤Weibull分布：W(a,p,8)：

(-V-J)2

0(x<8)

⑥%2分布：%2出

⑦t分布：t(k)

⑧F分布F(k,.k2)

在连续型概率分布中，重点掌握正态分布的性质、计算，对于每一种分布,

举例说明它们在各个领域中的应用。

3.有关正态分布及统计学三大分布的定理

(1)定理1若”则对任意的0及任意的d有

rj-c^+d~N(ca+d,c2h2)

2

(2)定理2若…&相互独立，且有白~N(《也-)，则

(3)定理3若配多，…4相互独立，且有刍~N(O,1),则

(4)定理4若1~/(£),〃~力2肉),且〃相互独立，则孑+〃~42(占+左2)

(5)定理5若41~72(匕)/2(&2)£>%2。有〃=刍告2,且42力相互独立,

则〃-/(匕一女2)

(6)定理6若4~N(O,1),〃~/(Z),且,〃相互独立，则"折仄~世)

,2叫L~尸火，七)

(7)定理7若，~力(占)，〃~4(左2),且J力相互独立,则〃/七

(四)作业：P48：34-35题；P49：54题

§1-5随机变量的特征数

(-)学时：4学时

(二)教学目的：

使学生掌握随机变量的几种特征数，进而对描述随机变量有更深入的了解,

其中重点掌握随机变量的期望与方差的有关概念、性质。

(三)教学过程与内容：

1.数学期望E&

_+8

XXjPi

①定义：离散型：E；=』

连续型：£；=13(")公

②随机变量函数的数学期望：

__Zg(x,)p,

离散型：Er|=E[g(€)1=,=1

连续型：En=E[g(，)]」g3"x"

③举例说明有关数学期望的计算

④性质：i)Ec=c(c为常数)

ii)E(；]±上)=E『+E-

可进一步推广到有限个。

iii)若11，；2相互独立，则E(1•&1=E3•Ej

推论：a)E(cg)=cE；

b)E(『....")=E卜•E&2......E,卜(其中I1-；k相互独

立)

2.方差(DE,b?E)与标准差(o)

6匕=E8-Eg)2Pi

①定义：离散型:1=1

连续型：bj=f（x—造）"（x）dx

②性质：i）&=E"E+2

ii）cr2（c）=og为常数）

hi）cr2（c^）=c2a2^

iv）若；”一相互独立，则/&±$）=。胃+/42

③举例说明方差的计算及其性质的作用

说明：方差与标准差的联系与区别

3.协方差与相关系数

①定义：协方差Cov«L；2）=E[（『-Er）（2EH

pCov（^，7）

相关系数：“向屈

②性质：i）若如,&2相互独立，则Cov（『，;2）=0

ii）若C为常数，则Cov（；,0=0

iii）±&2）=/。+o■*2±2Cov（g]j2）=>b2c+c）=cr2g

iv）E&百2）=明塔2+。。喈虞）=。。哨与）=E（我2）-监%

v）-14夕41

离散型：。。丫（骷2）=22为yjp厂明造2

<i=lJ=l

X

肉斗笆八十连续型：Cov（京2）=[xyf（xy）dxdy-E^E^2

③计算公式IJ-®工8

④举例

女阶矩：匕匕/。）=a（4-。）*]

<原点矩：.•匕=塔——期望

4、矩.[中心矩：4=仇《-"力——方差

5、众数用。©）和分位数（中位数、四分位数）

6、常用统计分布表

（四）作业：P49：40、41、43、44、47

§1-6随机变量序列的极限性质

（-）学时：2学时

（-）教学目的：

让学生重点掌握二项分布的两个极限，包括其条件、结论及其在实际中的应

用，对随机变量函数的概率分布作一般性了解。

（三）教学过程与内容：

1、二次分布的两个极限分布：（进行证明）

①超儿何分布以二项分布为极限

定理1：若4~（'，加，〃），则当N、M、N-M皆充分大，而M/N充分接近p时，有

W~B(〃，p)

②以正态分布为极限:

“近似

“百N（〃p,〃pq）

定理2：若随机变量4sB（n,p）,当n>50时，且np>5,nq>5时，-

③以泊松分布为极限:

定理3：若随机变量。~B（n,p）,当n>50时，月一p<0.1或q<0.1时

j近似p（即）（或p（〃夕））

—>

——「(4=np,p<0.1)

CRqi&

--------e~\A=np,q<0.1)

即(n-m)l

举例说明这个定理的应用，并对三种计算方法进行比较。

（四）作业：P49：50、53

§1-7大数定律与中心极限定理

（-）学时：2学时

（二）教学目的：

向学生介绍数理统计的理论基础——概率论的基本定理，从而对前面所学的

知识有了更深的理解。

（三）教学过程与内容：

1、切贝谢夫不等式：

设自存在E&及/自，则任给自>0有

P（旨-%2”）拈=噬—庭|。=尸但—明<21—亳

给出证明过程并举例加以给证及其应用分析

2、大数定律：（给出证明）

①引理：若。，0…为随机变量，6,4分别为。的期望与标准差,

limlim

司"J>J)=O

若%一°°囚=0,贝I」上—00

②切贝谢夫定理：

设备,0…为相互独立的随机变量，E。，若，为。、的期望与标准差，如果

1/1e

pfi(〃-oo)

d«c(c为常数，/=12...)则1“乙'”乙'

uni=l7

③贝努里定理：

设在•系列独立进行的试验中，若每次试验某事件A出现的概率皆为P,在

lim、

1

n次试验中事件A出现的次数为m,则〃-87

④泊松定理：

设有一系列独立进行的试验，在第i次试验中，事件A出现的概率为P,，在

lim

n次试验中，事件A出现m次，则〃-00

注：大数定律中的这些定理不仅要给出证明过程，而且要详细说明每个定理的

意义。

3、中心极限定理：（不作证明）

定理：设X|,X2…Xn为相互独立同分布的随机变量系歹U,

n

Z巧-nu

zi=\___________

22

E(x,.)=M,CT(X,)=(T；令"Mb，设其分布函数为工（X）

lim

则…小=e2du

DO

第二章统计中的一些基本概念

学时数：2学时

（-）学时：2学时

（二）教学目的：

使学生掌握生物统计中的些基本概念，了解频率分布的有关内容。

（三）教学过程与内容：

1、总体与样本

①总体：研究对象的全体。

涉及：总体单元、总体单元划分方法及总体类型

②标志：说明总体单元在某一方面的特征而采用的名称。

标志值：总体单元为数量标志所作出的回答。

③样本：在全部总体单元中，按照预先设计的方法抽出一部分单元，所抽取的

这一部分单元称为样本。

④抽样及抽样类型

⑤等概抽样方法

i）抽签法；ii）随机数法；iii）经验数据法

2、样本特征数与统计量

①样本特征数与统计量的概念

②总体特征数与样本特征数的内容（见对比表）并举例说明其计算方法

3、频率分布

①频率分布定义

②方法

③样本频率分布

4、平均数与方差：简便计算方法

①数据分组后的计算方法

②利用线性变换进行计算

（四）作业：P734、10

附表：总体平均数与样本平均数对比表

特征数总体样本

1N_r_n

平均数寸=—x凡或，，=E[r]

i=|

了=之N兄t=汽七

总量

/=1i=I

平方平均数又=恪:

$2」£（七-寸

方差

标准差

势月㈤及")2

%、n,=i

zY—X

极差R二r-maxmin

S

V=­

变动系数V,=i=-X

X"

卬=丝in

频率w=­

Nn

第三章参数估计

学时数：8学时

§3-1概述

（-）学时：2学时

（-）教学目的：

使学生了解本章所要解决的基本问题及制定估计量的方法，判断估计量好坏

的标准。

（三）教学过程与内容：

1、参数估计的三个基本问题

①估计量的制定

②优良性的判断

③误差限、可靠性及精度问题

2、估计量的确定

①矩估计法②极大似然估计法

3、估计量的评价标准

①无偏性（渐近无偏性）：举例

②一致性（拟合性）：举例

③有效性

4、估计量的误差限与可靠性

①误差限与可靠性的定义

②参数估计的类型：i）点估计ii）区间估计

③估计精度

§3-2总体平均数u的矩估计

（-）学时：3学时

（-）教学目的：使学生掌握总体平均数的参数估计方法，重点掌握大样本、重

复抽样及小样本的估计方法。

（三）教学过程与内容

1、大样本估计方法（n250）

①重复抽样估计方法

a）估计值的确定：x

2

_N（H,—）

b）估计量概率分布：x~n

c）估计方法

U=X,\-可靠性1-£

i）点估计：

「竿，元+竿］可靠性

ii）区间估计：L」

当o未知时，用近似代替

u2cr2

d）样本单元数的确定：°及

e）举例说明其应用

②不重复抽样的估计方法（作简单介绍）

a）o已知的估计方法

b）。未知估计方法

区间估计:

2、小样本估计方法（n<50）

①条件：总体服从或近似服从正态分布

②。已知时的估计方法

-w|<1

uaa1-a（与大样本一致）

③。未知时的估计方法

x-u

a

a）估计原理：6~N（0,1）；/1)

X-u

品

ns2

2—

、J

b）估计量的制定：T=w-1=s~t（n-1）

c）估计方法：

u=元,A=可靠性1-a

i）点估计：而1

xx+，可靠性"a

ii）区间估计

d）举例说明其应用

e）说明大样本与小样本方法间的关系

（四）作业：P96：10、11

§3-3总体频率W的抽样估计

（-）学时：3学时

（二）教学目的：

使学生掌握有关总体频率的估计方法，重点掌握大样本重复抽样时总体频率

的估计方法。

（三）教学过程和内容：

1、估计量的确定：W

2、估计方法

①大样本估计方法

a）重复抽样条件下

i）用正态分布估计总体频率（n»50,np>5,nq>5）

ii）用泊松分布估计总体频率（n250,p<0.1或q<0.1）

由m〜B（n,w）~P（㈤，（2=nw）查《泊松分布参数人的置信区间表》（附表

7）得到人的置信区间从而推及W的置信区间。

iii）举例说明

b）不重复抽样的估计方法（简单介绍）

W«w,A（w）=uJ"-2"〃）,可靠性1一a

点估计：aVnN-1

区间估计：［w-A（w）,w+A（w）］

②小样本估计方法（二项分布估计方法）

利用《二项分布参数的置信区间》（附表5）进行求解，具体方法以例题形式

给出。

（四）；作业：P97：13、19、20

§3-4总体方差/的区间估计

（-）学时：1学时

（-）教学目的：使学生初步掌握总体方差的估计方法，学会简单运用。

（三）教学过程与内容：

1、设总体为正态或近似正态分布，于与52分别为样本均值与样本方差，有

Z2=誓~/2（〃_1）

（J

MS2

P（A<%2<%）=尸m<、<6）=i—a

2、cr-

2

通过力分布的上侧分位数表计算a、b。

（四）作业:P97：21

第四章统计假设检验

§4-1一般概念

一、统计假设和假设检验的概念

1.统计假设：任何一个有关随机变量未知分布的假设称为统计假设，简称假设。

引例：设某厂生产--种灯管，其寿命&〜N（u,40000），长期生产情况看，此管平均寿命u

=1500小时。问采用新工艺后，此管寿命是否会提高？

分析：上述问题要判别新产品寿命是服从u>1500的正态分布（显著提高），还是服从

u=1500的正态分布（设有显著提高），这两种情况用统计假设的形式表示：

第个统计假设u=1500表示采用新工艺后产品平均寿命设有显著提高称之

为原假设（零假设，解消假设），记为"。：u=1500

第二个统计假设u>1500表示寿命显著提高，称为备择假设。用符号：H\-.

u>1500表示

在许多问题中，总体分母的类型已知（如上例），仅是一个或几个参数未知，

只要对这一个或几个参数的值作出假设，就完全确定了总体的分布。这种仅涉及到总体分布

的的未知参数的统计假设称参数假设。

但有些问题，我们无法知道总体分布的具体类型。如某种农作物农药的残留量，之和

服从对数正态分布，也可能服从其它分布。因此，统计假设只能对未知分布函数的类型或其

它的某些特征提出某种假设，称之非参数假设。

2.假设检验：通过抽取一个样本进行考，从而决定它能否合理地被认为与假设相符,

这一过程称假设检验。判别参数假设检验称参数检验。

二、假设检验的基本思想

引例2：设袋中有白球及黑球1000个，但不知它们各是多少。现提出原假设：”。：白球是

999个，H：白球2999

如果”。为真，则从袋中任取一球“得黑球”的概率是0.001,也就是说若“。为真，

抽到黑球的可能性很小，即“得黑球”是个小概率事件，在一次试验中几乎不至于发生。但

假如实际抽样“得黑球”这个事件竟然发生了，这就在"。为真的情况下产生了一个不合理

的现象。于是怀疑"。为真，从而拒绝原假设"。而接受备择假设“i,即白球不是999个;

相反，如果“得黑球”事件没有发生，这就只得接受“0。但是注意不否定”。，并不意味

着H一定成立。

三、假设检验的步骤

1.根据问题的要求建立原假设“。及备择假设

2.选择一个合适的统计量（该统计量一般是在假设"。成立前提下构造）。

3.给定显著水平a,确定"。的拒绝域“或接受域％。

所谓拒绝域：接受备择假设“I的样本观测值的集合。

4.根据一次抽样结果和小概率原理作出结论。

四、关于两类错误

由于小概率事件在一次试验中有发生可能性，因此，按小概率原理进行检验，会犯两

类错误。

1.第一类错误（弃真错误）："。事实上是正确的，但结论却拒绝”。

犯第一类错误的概率为a,1-a为可靠性。

2.第二类错误（采伪错误）：事实上”。是不正确的，但结论却接受“。

犯第二类错误的概率为"，1为检验功效。

一般地，a与夕是此消彼长，不可能同时很小。若要同时变小，必须加大样本容量，

又不合实际。

§4-2总体平均数u的假设检验

一、类型："o：U="o,"i：uW"0

1.大样本方法

I:重复抽样条件下

x-u

a

在大样本，重复抽样条件下，6〜N（0,1）

于是对于给定a，P〔@

x-u

0<------------

(y

当"。成立时。有p16

也就是说，在“。成立下，出现「口"°卜箸”事件概率很小，只有七

.一〃0

(7

若令u=五，则“问〉“a”事件发生是个概率事件，在一次试验中一般不会发生。

如果真不发生，则依小概率原理，接受“。；如果发生，则没有理由接受“。，要拒绝“0

即接受“1。

于是得如下步骤：

⑴建立假设："。：瓦="0,"I：w#"。。即现实总体平均数与规定总体平均

数间无显著差异。

⑵计算统计量："空〃3已知)

(b未知)

⑶小概率标准a,查表得“a

(4)当间""a时，接受“。，当何》"a时，拒绝/

II:不重复抽样条件下

在大样本不重复抽样条件下,

因此，在“。成立下，有

则接受域卬0：拒绝域叱：IM〉分。

例1：某林场内造了一块杉木速生生产林，5年后调查其树高，从中重复抽样得50株,

x=10.8m,S=2.2m,问是否可以认为该丰产林平均高与10m无显著差异。(a=0.05)

H

解：i：设：o:u=u0=W⑷)

10.8-10

V50-1«2.55

ii：计算:2.2

u

iii；•/\=2.25]>w005=1-96

故根据原假设，即平均高与10m有显著差异。

例2：某杨树品种10年生平均高可达15m,另有一新杨树品种，10年后采取重复析样方式

随机抽取60株进行调查，得其平均高为17.2m,标准差2.3m,问新杨树品种平均高与15m

是否有显著差异？（。=0.05）

解：i：设：“。：M=Mo=15

ii：计算:

iii：vH=7.347>w005=1.96

根据原假设，即平均高与15m有显著差异。

例3：某树种仔在某地区的千粒重为185克，现从其它地方调来一批种子，随机抽取65个

样本测得平均千粒重169克，标准差13克，问所调来种子是否与该地区种子的千粒重有显

著差异？（a=0.05）

解：i：设："o："="o=侬克

x—，（）/7169—185rrz-

u=--------A-1二---------A/65—1x—9.846

ii：计算：s13

.....\u\=9.846>uc.-1.96

...根据原假设，即所调来的种子与该地区种子千粒重有显著差异。

2.小样本方法（前提：小样本，总体服从正态分布）

由第二章参数统计可知，在小样本及总体服从正态分布前提下:

x-u

T=-------\n-l八

〜X"I）

1=x_“0

故在“。成立下，s〜X"-1）

因此对于显著水平a,查f分布表有「例"工（〃T）｝二1-a或

P｛T|>7；（〃—l）｝=a

.•.%：PK%（〃T）,Wl;|T|>?a（n-l）

例5.作杨树育苗试验，得一定生长后，从株距为20cm的苗种随机抽取了12株，苗高数据

为221、244、240、243、288、233、226、210、258、245、264、200（cm）,得苗高分布近

似正态，问能否认为该杨树苗高与240cm无显著差异？（。=0.05）

解:依题可得x=239.30cm,s=24.035cm,«=12

i.设/："="。=240国

x-tinI-----7239.3—240rrz-r八八八，

T=-------=-----------------------------V12-1«-0.096

ii.计算:s24.035

W...n=0.096</5（11）=2.201

，杨树苗高与240cm无显著差异

例6.为调查某林杨滞尺蛾蛹密度，由该林志随机抽取10个1，/土方，资料为（头〃/）：

289、342、412、297、191、440、351、337、、304、357假定蛾蛹密度服从正态分布，问该

林场滞尺蛾蛹密度与352（头〃"2）是否有显著差异？（&=0.01）

解：i.设"o：”"0=352（头//）

_s=.-x=65.51

ii,计算x=332,/=i

T=三5=曦萨而…6

iii,对于a=0.01,/=〃一1=9得%）I（9）=3.25

iv..|T|=0.916<^0|（9）=3.25

，该林场滞尺蛾蛹与352（头/加之）无显著差异

例7.某营林局用一定投资按技术规程育苗，在正常管理下，A树种1年生苗木高服从平均

高为65cm的正态分布,现从苗圃中抽取5样本，平均高为72.5、76.5、58.0、65.0、46.0（cm）

x=—52-^=63.6s=J-=10.85

解：5台，N〃占

1.设：M=〃O=65

TC端……58

ii.计算:

iii,对于a=0.05,/=〃-1=4,得九05(4)=2.776

上囤=0.258＜玲,05(4)=2.776

二、类型：（a）"o：典="。，"i：M>Mo；（b）H°："="o,«<«o

在实际问题中，我们碰到的问题并不是想知道总体平均数是否向某一值无显著差异,

而是想知道总体平均数必能否（超过或低于）某一规定的标准人,前面检验问题可以从两

侧分边进行检验，而现在则规定只能从一个方向上进行，故称单侧检验。

对于双侧检验来说，两边各2.5%属推翻假设的区域，而现在必然将5%概率全部归到

一侧来，是否大于某一标准，集中于右侧，而是否小于某一标准，集中于左侧。以大样本情

况说，集中一侧等于把2个2.5%搬到一边来，相当于分属两侧时，一侧占5%,从而两侧

将是10%的情形。

其检验方法与从侧检验基本相同，所不的是临界值（即）与拒绝域。

类型确定方法由x而定。

1、样本方法

1）、重复抽样条件下

检验步骤：⑴建立假设："。：M="O,乩：u>u0（”<〃o）

u上如品二jg

（2）计算：bs

⑶对于给定查表得“2a

叫/一〃0<Ul-2a

叫x-〃o<a

由正态分布对称性知，

x-w()<-u

x-uI-----

U=-------0-7n—1>U2a

（4）对于（a）式，拒绝域为:W：

X-UI-

=Q

u--------7n-1〉~u2a

对于（b）式，拒绝域为:W.

例1.规定白杨插条育苗一年生平均高达160cm以上可以出圃，今在圃地上随机抽取65株

作为调查的平均高为155cm,标准差不24cm,问这批毛白杨能否出圃？

解：x=155cm〈160cm。・•・毛白杨杆条苗高有可能低于160cm标准

⑴设：”0：〃="0=160,"|："<〃o=16Ocm

“ST，。765-1=-1.667

⑵计算:s24

⑶对于a=0.05,u2a1.645

(4)••u——1.667<—〃2a=—1・645

故拒绝"0,接受

例2.某苗圃规定杨树苗平均高达60cm以上才能出圃，今从中随机抽取64株，并求得

x=62cm,s=8.2cm,试问该苗木能否出圃？（a=0.05）

解：x=62cm>62cm

⑴设：Ho：〃=I%=60cm,H1：M>M0

u==62-6。J64—1=1.9359

⑵计算：s8.2

⑶对于a=0.05,112a=1-645

(4)••w=1.9359>u2a=1.645

拒绝"。，接受即这批苗木可以出圃。

例3.某苗圃规定杨树苗平均高达60cm以上才能出圃，今从中抽取50株，得平均高为62.5,

标准差为9cm,问该批苗木能否出圃？（a=0。5）

解：Vx=62.5cm>60cm

60

'.⑴设“0：M=»o=,H]：U>uo=60

X—w/-62.5—60/TT7Ir.AA

u=------o-Vn-1=------------V50-1=1.944

⑵计算：s9

⑶对于。=0.05,142a=1645

(4)••u=1.944>u2a=1.645

...拒绝"。，接受"1,即可以出圃。

U=

P^x-uA<u

2）不重复抽样（简述）：由得

于是对于（a）型，拒绝域：吸：U>U2a

（b）型，拒绝域：叱：2a

2、小样本方法：仍用t分布，即将双侧检验中Q（〃一1）改为，2a（〃-1）

即有检验方法：⑴建立假设："。："="。，乩：»>««（»<»o）

⑵计算：S

⑶对于给定a,查t分布双侧分位数表得‘2a（〃-1）

（4）对于（a）型，拒绝域叱：T>t2a（n-l）

（b）型，拒绝域％：T<-tla（n-\）

例4.某木材公司购买木材时，按质论价，现从一批木材中随机抽取16根，测得它们的小

头直径为12、10.2>11.4、13.6、14.5、16、8.4、9.6、18、8.0、12.4、13.6、10.8、15.4、7.6、

16.6（cm）。假定木材的小头直径服从正态分布，试问这批木材小头直径可达12cm以上？

-1981,1e2一22605.77…

X=3=]2.38-X-——12.38-=9.5962

解：16,n,=116

/.s=3.0978,•/x>12cm

⑴设：”0：“=〃O=12C〃2,H]：u>u0=12cm

12.38-12V16-1=0.475

（2）计算:3.0978

⑶对于a=0.05,f=/?-1=15；t2a=1.753

(4)T=0.475=L753