八年级下册《正方形》课件与练习

第十八章

平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.3正方形学习目标1.经历探索正方形的性质及判定的过程,掌握正方形的性质及判定定理,发展学生的合情推理与演绎推理的能力.2.通过对四边形进行分类,增强对平行四边形、矩形、菱形及正方形定义的理解,明确它们之间的关系,培养学生自主构建知识框架的意识,发展学生的数学素养.学习重点：探索正方形的定义、性质及判定.学习难点：理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系

以及正方形的性质与判定定理的应用.学习重难点回顾复习思考：回顾矩形、菱形与平行四边形的关系.说一说是如何研究它们的.思考平行四边形是否存在边、角同时特殊的情形，是什么图形？从哪方面入手研究？导入新课观察下列图片中抽象出来的图形,它们是特殊的平行四边形吗？特殊在哪里？探究新知学生活动一【一起探究】当平行四边形边和角同时特殊时会出现什么图形？你能试着下个定义吗？定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.两层含义:（1）一组邻边相等的平行四边形(菱形);（2）有一个角是直角的平行四边形(矩形).探究新知请根据你的理解将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入下图中.平行四边形菱形矩形正方形探究新知学生活动二【探究性质】思考：平行四边形、矩形、菱形的性质正方形具有吗？为什么？请从边、角、对角线三个方面总结正方形的性质.边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角.探究新知特殊的三角形:4个全等的小等腰直角三角形和4个全等的大等腰直角三角形.特殊的角:90°和45°.思考：如图,正方形中有哪些特殊的三角形？有哪些特殊的角？探究新知学生活动三【应用性质】例1

求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O.求证:△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是全等的等腰直角三角形.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO,△BCO,△CDO,△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.探究新知例2

如图,在正方形ABCD中,点E在对角线AC上.求证:BE=DE.

探究新知例3

如图,在正方形ABCD中,△ABE是等边三角形.求证:∠ECD=∠EDC=15°.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.∵△ABE是等边三角形,∴AB=BE=AE,∠EBA=∠EAB=∠AEB=60°.∴AE=AD=BE=BC.∴△ADE,△BCE是等腰三角形,∠DAE=∠CBE=30°,∴∠ADE=∠AED=∠CEB=∠ECB=75°.∴∠EDC=∠ECD=90°-75°=15°.探究新知学生活动四【探究判定】思考：如何判定一个四边形是正方形呢？矩形正方形菱形探究新知正方形的判定方法：定义法：有一组(

)并且有一个(

)的平行

四边形叫做正方形.矩形法：有一组(

)的矩形是正方形；

对角线(

)的矩形是正方形.菱形法：有一个(

)的菱形是正方形；

对角线(

)的菱形是正方形.邻边相等角是直角邻边相等互相垂直角是直角相等探究新知学生活动五【判定应用】例如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,点O

为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE.(1)求证:四边形AEBD是矩形；证明:∵点O为AB的中点,∴OA=OB.∵OE=OD,∴四边形AEBD是平行四边形.∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.∴四边形AEBD是矩形.探究新知(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形？请说明理由.解:当∠BAC=90°时,矩形AEBD是正方形.理由:∵∠BAC=90°,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,∴AD=BD=CD.∵由(1)得四边形AEBD是矩形,∴矩形AEBD是正方形.拓展应用1.判断下列说法是否正确.(1)有一个角为直角的菱形是正方形 (

)(2)四个角都相等的四边形是正方形 (

)(3)四条边都相等的四边形是正方形 (

)(4)有一组邻边相等的矩形是正方形 (

)

(5)对角线垂直且相等的四边形是正方形 (

)(6)对角线相等的菱形是正方形 (

)(7)对角线互相垂直的矩形是正方形 (

)(8)对角线互相垂直平分的四边形是正方形

(

)

×√××√√√×拓展应用2.如图,在正方形ABCD中,F为CD延长线上一点,CE⊥AF于点E,交AD于点M，求证:∠MFD=45°.

拓展应用3.如图,已知在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的一点,且EA=EC.(1)求证:四边形ABCD是菱形;证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO.∵EA=EC,∴EO⊥AC,即BD⊥AC.∴四边形ABCD是菱形．拓展应用(2)若∠DAC=∠EAD＋∠AED,求证:四边形ABCD是正方形．证明:∵∠ADO=∠EAD+∠AED,∠DAC=∠EAD+∠AED,∴∠ADO=∠DAC.∴AO=DO.由（1）知四边形ABCD是菱形,∴AC=2AO,BD=2DO.∴AC=BD.∴四边形ABCD是正方形.回顾反思1.正方形的性质和判定分别有哪些？怎样得到的这些定理？通过本节的学习你积累了哪些数学活动经验？2.正方形与平行四边形、矩形、菱形有怎样的关系?你能用一张图表示这个关系吗?当堂训练1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是(

)A.四个角相等B.对角线互相垂直平分C.对角互补D.对角线相等B当堂训练2.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的是(

)A.AC=BD，AB∥CD，AB=CDB.AD∥BC，∠BAC=∠BCDC.AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD.AO=CO，BO=DO，AB=BCC当堂训练

D当堂训练4.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC=6cm,则正方形ABCD的面积S=

cm2

.

18当堂训练5.如图,在正方形ABCD中,G为BC边上一点,BE⊥AG于点E,DF⊥AG于点F,连接DE.求证:△ABE≌△DAF.证明:在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,∴∠BAE+∠DAF=90°.∵BE⊥AG于点E，DF⊥AG于点F，∴∠AEB=∠DFA=90°，∠ADF+∠DAF=90°.∴∠BAE=∠ADF.∴△ABE≌△DAF(AAS).1.有一组邻边

且有一个角是

的平行四边形叫做正方形.2.正方形既有

的性质又有

的性质.3.既是

形又是

形的四边形是正方形.知识梳理相等直角矩形（或菱形）菱形（或矩形）菱（或矩）矩（或菱）课后作业

A课时学业质量评价B3.学习了正方形之后,王老师提出问题:要判断一个四边形是正方形,有哪些思路?甲同学说:先判定四边形是菱形,再确定这个菱形有一个角是直角;乙同学说:先判定四边形是矩形,再确定这个矩形有一组邻边相等;丙同学说:判定四边形的对角线相等,并且互相垂直平分;丁同学说:先判定四边形是平行四边形,再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等.上述四名同学的说法中,正确的是(

)A.甲、乙 B.甲、丙C.乙、丙、丁 D.甲、乙、丙、丁D4.如图,P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点,∠1=∠2,则∠BPC的度数为

°.135

5.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD边上的点,BE=CF,连接AF,DE交于点G,求证:AF⊥DE.第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形《18.2.3正方形》同步练习正方形的概念1.下列命题为真命题的是 (

)

A.对角线相等的平行四边形是正方形B.对角线互相垂直平分的四边形是正方形C.有一个内角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形D.有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形C基础通关正方形的性质2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是(

)A.四边相等 B.对角线相等

C.对角相等 D.对角线互相垂直B3.如图,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为 (

)A.45° B.60° C.67.5° D.77.5°4.【易错题】已知,正方形ABCD,以AD为边作等边△ADE,则∠BAE=

°.150或30C正方形的判定5.[教材第59页练习第1题改编]将长方形纸片按如图所示的方式折叠,使A点落在BC上的点F处,折痕为BE,若沿EF剪下,则折叠部分是一个正方形,其数学原理是 (

)A.邻边相等的矩形是正方形B.对角线相等的菱形是正方形C.两个全等的直角三角形构成正方形D.轴对称图形是正方形A6.【原创题】如图,正方形ABCD,对角线AC,BD交于点O,EF经过点O,交AD,BC分别于E,F两点,用尺规作图在AB,CD上分别取点G,H,使EGFH是正方形.(保留作图痕迹,不写作法)解:如图所示.(方法不唯一)7.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形.证明:∵四边形ABCD是菱形.∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.∵BE=DF,∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF.∵OE=OA,∴OA=OC=OE=OF,AC=EF.又∵AC⊥EF,∴四边形AECF是正方形.

能力突破C9.如图,四边形ABCD为正方形,E是BC的中点,将正方形ABCD沿AE折叠,得到B的对应点为F,延长EF交线段DC于点P,若AB=6,则DP的长度为

.

210.如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,垂足分别为E,F.连接EF,AG,并延长AG交EF于点H.

(1)求证:∠DAG=∠EGH.证明:在正方形ABCD中,AD⊥CD,∵GE⊥CD,∴AD∥GE.∴∠DAG=∠EGH.(2)判断AH与EF是否垂直,请说明理由.解:AH与EF垂直.理由:如图,连接GC交EF于点O.∵BD为正方形ABCD的对角线,∴∠ADG=∠CDG=45°.又∵DG=DG,AD=CD,∴△ADG≌△CDG(SAS).∴∠DAG=∠DCG.在正方形ABCD中,∠ECF=90°,又∵GE⊥CD,GF⊥BC,∴四边形FCEG是矩形.∴OE=OC.∴∠OEC=∠OCE.∴∠DAG=∠OEC.又∵∠DAG=∠EGH,∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°.∴∠GH