2024-2025学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题一、单选题：本大题共10小题，共50分。1.已知直线l经过两点P1,2,Q4,3，那么直线l的斜率为A.−3 B.−13 C.132.双曲线x216−yA.34 B.43 C.543.已知椭圆x26+y22=1的一个焦点与抛物线A.2 B.3 C.4 D.64.在空间直角坐标系中，已知点A(2,3,5)，B(1,1,2)，C(0,a,b)，若A,B,C三点共线，则a+b的值为(

)A.−2 B.−1 C.0 D.15.2x−1x5的展开式中A.−80 B.−40 C.40 D.806.正四棱锥P−ABCD的所有棱长均为2，则侧面与底面所成角的余弦值为(

)A.13 B.12 C.27.从数字1,2,3,4中，可重复地取出3个数字，组成各位数字之和等于6的三位数，这样的三位数的个数为(

)A.6 B.8 C.10 D.128.已知直线l:y=kx−1，“k=23或k=−23”是“直线l与双曲线A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.在平面直角坐标系中，已知点A(−2,0)，B(−2,2)，若点P为圆C:x2+y2=1A.3 B.13 C.5 D.10.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，动点P在面ABCDA.椭圆的一部分 B.线段 C.圆的一部分 D.抛物线的一部分二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.已知直线ax−y−3=0与2x+y=0垂直，那么a=

．12.已知(3x−1)4=a4x413.某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状.由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4cm，底部CD宽5cm，AB//CD，底部离最窄处垂直高度为3cm，斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行，则其长度为

_cm．

14.已知曲线y=|x−1|与x轴交点为D，与抛物线C:y2=4x交于A、B两点，则∠ADB=

，▵ABD的面积为

15.已知M=(x,y)|y=t(x−1)2+2x+2,0≤t≤1,1≤x≤2①(2,10)∈M；②设点A∈M，则直线OA的斜率的最大值为4；③∀A,B∈M，|AB|≤④Q的面积小于12其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.某餐饮公司给学校学生配餐，现准备了5种不同的荤菜和n种不同的素菜．(1)当n=4时，若每份学生餐有1荤3素，共有多少种不同的配餐供学生选择？(2)若每位学生可以任选2荤2素，要保证至少有200种以上的不同选择，求n的最小值．17.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=1，AA1(1)求直线CD与平面BC(2)求点C到平面BC118.已知圆C经过点A(−2,0)，B(0,2)，且圆心在直线y=x上.(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线3x+y−b=0交于两点(ⅰ)求b的取值范围；(ⅱ)若在圆C上存在点D，使四边形OEDF为平行四边形，其中O为坐标原点，求b的值．19.已知椭圆C:x24+y23=1的左顶点为A，右顶点为B，点P(x0,y0)在椭圆C上(与点A、B不重合)(1)求椭圆C的短轴长和离心率；(2)若线段GH的中点为D，求点P坐标．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=4，E为PA的中点，F为PC中点．(1)求证：PD⊥CD；(2)设平面BEF与平面PAD的交线为l，(ⅰ)求二面角B−l−A的余弦值；(ⅱ)求直线l与直线PC所成角的余弦值．21.已知椭圆E:x2a2+y(1)求椭圆E的方程；(2)过点(0,2)的直线与椭圆E交于两点A,B，交x轴于点Q，直线DA,DB与直线y=t分别交于点M,N，线段MN的中点为P.是否存在实数t，使得以PQ为直径的圆总与y轴相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

参考答案1.C

2.C

3.C

4.A

5.D

6.D

7.C

8.A

9.D

10.D

11.1212.136

13.9714.π

；

；

；

；

；4

15.②③④

16.(1)当n=4时，学校共有5种不同的荤菜和4种不同的素菜，若每份学生餐有1荤3素，由分步乘法计数原理可知，不同的选择方法为C51C(2)从5种不同的荤菜和n种不同的素菜中，任取2荤2素，不同的选择方法为C52C由题意，得C52Cn因为n∈N∗，所以n≥7，所以n的最小值为

17.(1)由CC1⊥平面ABC，AC⊥CB所以以C为原点，CA,CB,CC1所在直线分别为x轴，y轴，如图建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，D(1,0,1)，B(0,1,0)，C1所以CD=(1,0,1)，C1D设平面BC1D所以C1D⋅令x=1，则y=2，z=1，于是m=(1,2,1)，设直线CD与平面BC1D则sinθ=|cos所以直线CD与平面BC1D(2)因为CC1所以点C到平面BC1D

18.(1)根据圆心C在直线y=x上，设圆心C(a,a).

因为圆C经过A(−2,0),B(0,2)，所以|CA|=|CB|，

所以(a+2)2所以圆心C(0,0)，所以圆C的方程为x2(2)(ⅰ)由题意，|−b|3+1<2即−4<b<4，所以b的取值范围是(−4,4).

(ⅱ)因为四边形OEDF为平行四边形，又因为|OE|=|OF|，所以OEDF为菱形.

因为|OD|=2，所以点O到直线EF的距离|−b|3+1所以b=±2，符合题意．

19.(1)设椭圆的半焦距为c．由椭圆方程x24所以椭圆的短轴长2b=23，离心率(2)由题意可知：直线AP的方程为y=y令x=4，得y=6y0直线BP的方程为y=y令x=4，得y=2y0因为GH的中点为D(4,0)，则6y若y0=0，则P(±2,0)，与若y0≠0，则3(x将x0=1代入x24+y2综上所述：点P坐标为1,32或

20.(1)因为PA⊥平面ABCD，因为CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，又因为AD⊥CD，AD∩PA=A，AD,PA⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD．(2)(ⅰ)取BC的中点M，连接AM，因为BC=4，AD=2，AD/​/BC，AD⊥CD，所以四边形ADCM为矩形，所以AM⊥AD．又因为AP⊥平面ABCD，可得AM,AD,AP两两垂直，所以以A为原点，AM,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系．则A(0,0,0)，B(2,−2,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．因为E,F分别为PA,PC中点，所以E(0,0,1)，F(1,1,1)，所以EB=(2,−2,−1)，EF=(1,1,0)，DCDC=(2,0,0)是平面PAD的一个法向量.设平面BEF的法向量为n=(x,y,z)EB⋅n令x=1，则y=−1，z=4，于是n=(1,−1,4)所以cosn因为二面角B−l−A为锐二面角，所以二面角B−l−A的余弦值为2(ⅱ)设平面BEF∩PD=G，因为平面BEF与平面PAD的交线为l，平面BEF∩PA=E，所以交线l即为直线EG．设G(0,i,j),i≠0，则EG=(0,i,j−1)因为EG⊥所以EG⋅所以i=4(j−1),i≠0,j≠1. ①因为G在直线PD上，所以i+j=2. ②由①②解得i=4所以G(0, 45所以EG=(0, 因为PC=(2,2,−2)，设直线l与直线PC所成角为α，所以cosα=所以直线l与直线PC所成角的余弦值为51

21.(1)由题意，得b=6,1所以a=6所以椭圆E的方程为x2(2)由题意，过(0,2)的直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+2．联立方程组y=kx+2,消去y得(1+2k显然，Δ>0.

设A(xx1+x在y=kx+2中，令y=0，得x=−2所以Q(−2直线D