2024-2025学年新教材高中数学第5章统计与概率5.3.2事件之间的关系与运算课时20事件之间的关系与运算练习含解析新人教B版必修第二册

PAGE1-课时20事务之间的关系与运算学问点一事务的运算1.掷一个质地匀称的正方体骰子，事务E＝{向上的点数为1}，事务F＝{向上的点数为5}，事务G＝{向上的点数为1或5}，则有()A．E⊆F B．G⊆FC．E＋F＝G D．EF＝G答案C解析依据事务之间的关系，知E⊆G，F⊆G，事务E，F之间不具有包含关系，故解除A，B；因为事务E与事务F不会同时发生，所以EF＝∅，故解除D；事务G发生当且仅当事务E发生或事务F发生，所以E＋F＝G.故选C.2．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事务A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事务B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事务C＝{3个球中至少有1个红球}，事务D＝{3个球中既有红球又有白球}．(1)事务D与A，B是什么样的运算关系？(2)事务C与A的积事务是什么？解(1)对于事务D，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球”，故D＝A＋B.(2)对于事务C，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球，或3个均为红球”，故CA＝A.学问点二事务关系的推断3.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数，分别有下列事务：①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．其中，为互斥事务的是()A．① B．②④C．③ D．①③答案C解析①“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是相等事务，故①不是互斥事务；②“至少有一个是奇数”包含“两个数都是奇数”的状况，故②不是互斥事务；③“至少有一个是奇数”和“两个数都是偶数”不能同时发生，故③是互斥事务；④“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”可以同时发生，故④不是互斥事务．故选C.4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参与演讲竞赛．推断下列每对事务是不是互斥事务，假如是，再推断它们是不是对立事务．(1)恰有1名男生与2名全是男生；(2)至少有1名男生与全是男生；(3)至少有1名男生与全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生．解(1)因为“恰有1名男生”与“2名全是男生”不行能同时发生，所以它们是互斥事务；当2名都是女生时它们都不发生，所以它们不是对立事务．(2)因为“2名全是男生”发生时“至少有1名男生”也同时发生，所以它们不是互斥事务．(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不行能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对立．(4)由于选出的是“1名男生1名女生”时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事务．学问点三互斥事务的概率5.盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事务A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事务B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝eq\f(3,10)，P(B)＝eq\f(1,2)，则这3个球中既有红球又有白球的概率是________．答案eq\f(4,5)解析记事务C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事务A“3个球中有1个红球，2个白球”和事务B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事务A与事务B是互斥的，所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(3,10)＋eq\f(1,2)＝eq\f(4,5).6．在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下表所示：等候人数01234大于等于5概率0.050.140.350.300.100.06求：(1)等候人数不超过2的概率；(2)等候人数大于等于3的概率．解设A，B，C，D，E，F分别表示等候人数为0,1,2,3,4，大于等于5的事务，则易知A，B，C，D，E，F彼此互斥．(1)设M表示事务“等候人数不超过2”，则M＝A＋B＋C，故P(M)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.05＋0.14＋0.35＝0.54，即等候人数不超过2的概率为0.54.(2)设N表示事务“等候人数大于等于3”，则N＝D＋E＋F，故P(N)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.30＋0.10＋0.06＝0.46，即等候人数大于等于3的概率为0.46.学问点四对立事务的概率7.从一箱产品中随机地抽取一件，设事务A＝{抽到一等品}，事务B＝{抽到二等品}，事务C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事务“抽到的不是一等品”的概率为()A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.3答案C解析由对立事务的概率知抽到的不是一等品的概率为P＝1－0.65＝0.35.8．某射击手平常的射击成果统计如下表所示：环数7环以下78910命中概率0.13ab0.250.24已知他命中7环及7环以下的概率为0.29.(1)求a和b的值；(2)求命中10环或9环的概率；(3)求命中环数不足9环的概率．解(1)因为他命中7环及7环以下的概率为0.29，所以a＝0.29－0.13＝0.16，b＝1－(0.29＋0.25＋0.24)＝0.22.(2)命中10环或9环的概率为0.24＋0.25＝0.49.(3)命中环数不足9环的概率为1－0.49＝0.51.易错点不能区分事务是否互斥而错用加法公式9.掷一个质地匀称的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是eq\f(1,6)，记事务A为“出现奇数”，事务B为“向上的点数不超过3”，求P(A＋B)．易错分析由于忽视了“和事务”概率公式应用的前提条件，由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事务，即出现1或3时，事务A，B同时发生，所以不能应用公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)求解，而致误．正解记事务“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4，由题意知这四个事务彼此互斥．则A＋B＝A1＋A2＋A3＋A4.故P(A＋B)＝P(A1＋A2＋A3＋A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).一、选择题1．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次放射一枚炮弹，设A＝{两弹都击中飞机}，B＝{两弹都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是()A．A⊆D B．BD＝∅C．A＋C＝D D．A＋C＝B＋D答案D解析由于至少有一弹击中飞机包括两种状况：两弹都击中飞机，只有一弹击中飞机，故有A⊆D，故A正确．由于事务B，D是互斥事务，故BD＝∅，故B正确．再由A＋C＝D成立可得C正确．A＋C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是必定事务，而B＋D为必定事务，故D不正确．故选D.2．下列说法正确的是()A．对立事务肯定是互斥事务，互斥事务不肯定是对立事务B．A，B同时发生的概率肯定比A，B中恰有一个发生的概率小C．若P(A)＋P(B)＝1，则事务A与B是对立事务D．事务A，B中至少有一个发生的概率肯定比A，B中恰有一个发生的概率大答案A解析依据对立事务和互斥事务的概念，得到对立事务肯定是互斥事务，互斥事务不肯定是对立事务，故A正确．对于两个不行能事务来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，且均为零，故B错误．若P(A)＋P(B)＝1，且AB＝∅时，事务A与B是对立事务，故C错误．事务A，B中至少有一个发生包括事务A发生B不发生，A不发生B发生，A，B都发生；A，B中恰有一个发生包括A发生B不发生，A不发生B发生；当事务A，B互斥时，事务A，B至少有一个发生的概率等于事务A，B恰有一个发生的概率，故D错误．3．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事务A＝“至少有1个白球”，则事务A的对立事务是()A．1个白球2个红球 B．2个白球1个红球C．3个都是红球 D．至少有一个红球答案C解析从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事务A＝“至少有1个白球”，则事务A的对立事务是所取的3个球中没有白球，∴事务A的对立事务是3个都是红球．故选C.4．一个袋子里有4个红球，2个白球，6个黑球，若随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出红球}，C＝{摸出白球}，则事务A＋B及B＋C的概率分别为()A.eq\f(5,6)，eq\f(1,2) B.eq\f(1,6)，eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)，eq\f(5,6) D.eq\f(1,3)，eq\f(1,2)答案A解析P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,6).因为事务A，B，C两两互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(5,6).P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(1,2).5．在一次随机试验中，三个事务A1，A2，A3的概率分别是0.2,0.3,0.5，则下列说法正确的个数是()①A1＋A2与A3是互斥事务，也是对立事务；②A1＋A2＋A3是必定事务；③P(A2＋A3)＝0.8；④P(A1＋A2)≤0.5.A．0 B．1C．2 D．3答案B解析由题意知，A1，A2，A3不肯定是互斥事务，所以P(A1＋A2)≤0.5，P(A2＋A3)≤0.8，P(A1＋A3)≤0.7，所以，只有④正确，所以说法正确的个数为1.选B.二、填空题6．某人在打靶时，连续射击2次，事务“至少有1次不中靶”的对立事务是________．答案2次都中靶解析事务“至少有1次不中靶”包含“1次中靶1次不中靶”和“2次都不中靶”，其对立事务是“2次都中靶”．7．从一副扑克牌(52张，无大小王)中随机抽取1张，事务A为“抽得红桃K”，事务B为“抽得黑桃”，则P(A＋B)＝________.答案eq\f(7,26)解析事务A，B为互斥事务，可知P(A)＝eq\f(1,52)，P(B)＝eq\f(13,52)＝eq\f(1,4)，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,52)＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,26).8．在掷一个骰子的试验中，事务A表示“出现不大于4的偶数点”，事务B表示“出现小于5的点数”，则事务A＋eq\o(B,\s\up6(－))发生的概率为________．(eq\o(B,\s\up6(－))表示B的对立事务)答案eq\f(2,3)解析随机掷一个骰子一次共有六种不同的结果，其中事务A“出现不大于4的偶数点”包括2,4两种结果，P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).事务B“出现小于5的点数”包括1,2,3,4四种结果，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3).且事务A和事务eq\o(B,\s\up6(－))是互斥事务，∴P(A＋eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).三、解答题9．掷一个骰子，下列事务：A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{出现点数小于3}，D＝{出现点数大于2}，E＝{出现点数是3的倍数}．求：(1)AB，BC；(2)A＋B，B＋C；(3)记eq\o(H,\s\up6(－))是事务H的对立事务，求eq\o(D,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))C，eq\o(B,\s\up6(－))＋C，eq\o(D,\s\up6(－))＋eq\o(E,\s\up6(－)).解(1)AB＝∅，BC＝{出现2点}．(2)A＋B＝{出现1,2,3,4,5或6点}，B＋C＝{出现1,2,4或6点}．(3)eq\o(D,\s\up6(－))＝{出现点数小于或等于2}＝{出现1或2点}，eq\o(A,\s\up6(－))C＝BC＝{出现2点}，eq\o(B,\s\up6(－))＋C＝A＋C＝{出现1,2,3或5点}，eq\o(D,\s\up6(－))＋eq\o(E,\s\up6(－))＝{出现1,2,4或5点}．10．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事务分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解(1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”为事务M，则M＝A＋B