上海新川中学2024届高考数学倒计时模拟卷含解析

上海新川中学2024届高考数学倒计时模拟卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5亳米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知月，工分别为双曲线c：£—・=/〉o）的左、右焦点，过E的直线/与双曲线。的左、右两支分别

交于A8两点，若4瓜3工=0,禺==,则双曲线C的离心率为（）

|隹|5

A.V13B.4C.2D.V3

2.己知函数〃x）=cosxsin2x,下列结论不正确的是（）

A.y=/（x）的图像关于点（再0）中心对称B.），=/（"既是奇函数，又是周期函数

C.y=f（x）的图像关于直线X对称D.y=/（x）的最大值是正

3.函数/。）=/一一+无的图象在点0J⑴）处的切线为/,贝I"在）,轴上的截距为（）

A.-1B.1C.-2D.2

4.已知命题p：若b>c>\,则log/,log,。；命题《：3X（1（0,-HX）,使得2"<logs/”，则以下命题为真

命题的是（）

A.〃八qB.c.八qD.（力）八（r）

rrjr

5.已知函数/（x）=sin（2x—：）的图象向左平移0（。>0）个单位后得到函数g（x）=sin（2x+—）的图象，则夕的最小

44

值为（）

713兀兀5万

A.-B.—C.-D.—

4828

22

6.设毋，K是双曲线C：*-/=1（〃>0力>0）的左，右焦点，。是坐标原点，过点用作。的一条渐近线的垂

线，垂足为尸.若则C的离心率为（）

A.V2B.6C.2D.3

7.在AABC中，内角A,6,C所对的边分别为a/,c,若一^,一^,一1^依次成等差数列，则（）

tanAtanBtanC

A.依次成等差数列B.JZ,〃，及依次成等差数列

C.依次成等差数列D.依次成等差数列

8.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径支，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭

各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引

向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自

水下的概率为（）

9.如图所示，在平面直角坐标系X。>'中，尸是椭圆’■+今=1（〃>〃>0）的右焦点，直线），=与与椭圆交于6,。两

点，且NBFC=90。,则该椭圆的离心率是（）

IF

3

4

10.已知a,b£R,3+ai=b-(2a-1)i,则()

A.b=3aB.b=6aC.b=9aD.b=\2a

11.甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这

四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

12.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

丫2A+1

13.若双曲线C：与一4=1（。>0,h>0）的顶点到渐近线的距离为不，则一尸一的最小值_______，

a2b22&

14.如图所示，平面BCGB」平面ABC,ZABC=120°,四边形BCGBi为正方形，且AB=BC=2,则异面直线BG

与AC所成角的余弦值为

15.如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1,若向量〃、/?、c满足（2。+方）=0,则实数，的值为

16.各项均为正数的等比数列｛《,｝中，S”为其前〃项和，若名=1，且S，=S2+2,则公比9的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x=cos0x'=2x

17.(12分)在平面直角坐标系X。)中，将曲线G：1.八(。为参数)通过伸缩变换J,,得到曲线G，

Ij=sinc/y=)

x=2+tcosa

r-(/为参数)与曲线。2相交于不同两点A，B.

{y=，3+/sina

TT

(1)若戊=求线段4笈的中点M的坐标；

3

(2)设点P(2,@,若|尸4■尸耳=|。叶,求直线/的斜率.

18.(12分)己知奇函数/(x)的定义域为R,且当xw(O,”)时，/("=/一1+1.

(1)求函数/(大)的解析式；

(2)记函数g(x)=/(x)-〃吠+1,若函数g(x)有3个零点，求实数机的取值范围.

19.(12分)如图，三棱柱ABC-ABC的所有棱长均相等，B1在底面ABC上的投影。在棱BC上，且4出〃平面

ADC}

(I)证明：平面AOG_L平面BCCM；

(II)求直线A3与平面AOG所成角的余弦值.

20.(12分)已知a,b,cwR*,a+b+c=\,求证：

⑴\[a+\/b-i-y/c<>/3;

,、111、3

(2)-----1------1-----N-.

3。+13/?+l3c+\2

21.(12分)已知抛物线G:)?=2px,焦悬为F,直线/交抛物线G于AB两点，交抛物线G的准线于点C,如图

Q

所示，当直线/经过焦点”时，点/恰好是AC的中点，且忸。=*

（1）求抛物线G的方程；

（2）点。是原点，设直线0403的斜率分别是K，区,当直线/的纵截距为1时，有数列｛4｝满足

a.=Vk=-\6%T£=4（%+2）2,设数列，念-，的前〃项和为S”，己知存在正整数加使得/〃<邑020<“7+1，

求m的值.

22.（10分）aA6c的内角4,B,C的对边分别为“，b,ct已知（a+2c）cos8+hcosA=O.

（1）求B；

（2）若8=4,求A4C的面积的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

由已知得A8J.8%,四周二4］，由已知比值得|A周=5x,|A叫=3x,再利用双曲线的定义可用。表示出|A用，

|A^|,用勾股定理得出4。的等式，从而得离心率.

【详解】

——...8居4

.,.可令忸图二4x,则|A用=5x,|A同=3x.设

ABBF2=0,AB"BF?工0,ZABF2=90°.又•:,

|人婿=7,得|八用人耳|=忸阡］—忸周=2a,即5xT=（3x+，）_4x=2々，解得f=3a,x=a,

・•・忸周=4%忸耳|=|AB|+|A耳|=6a,

由忸制?+忸图2=旧周2得(6〃)2+(4Q)2=(2C)2,C2=13A2,C=而〃，.,.该双曲线的离心率C=.

故选：A.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为。得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点A8到

焦点的距离都用。表示出来，从而再由勾股定理建立a，c的关系.

2、D

【解析】

通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果.

【详解】

解：A:f(2TT-x)=COS(2-T-x)sin2(2^-x)=-cos.rsin2x=-f(x),正确；

B:/(-x)=cos(-x)sin2(-x)=-cosxsinlx=-/(x),为奇函数，周期函数，正确;

C:f[7r-x)=COS(TT-x)sin2(万-Jt)=cosxsinlx-f(x),正确；

D：y=2sinxcos2x=2sinx-2sin3x,令/=sinx,fw|-1,1]则g(。=2，-2/,g,(t)=2-6r,re[-l,1],则

立或1>/>立时/(/)<1),即g(/)在39

上单调递增，在

333'3

苧〈孝，故D错误.

=g

【点睛】

本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题.

3、A

【解析】

求出函数在x=l处的导数后可得曲线在(1,/(1))处的切线方程，从而可求切线的纵截距.

【详解】

2

f\x)=3x-2x+\f故/⑴=2,

所以曲线y=/(x)在处的切线方程为：y=2(x-l)+/(l)=2x-l.

令x=0,则)，二-1,故切线的纵截距为一1.

故选：A.

【点睛】

本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与>轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题

属于基础题.

4、B

【解析】

先判断命题〃M的真假，进而根据复合命题真假的真值表，即可得答案.

【详解】

.1,111

Ioa

---->g<-=-,因为。>1,b>c>\f所以。<108/<108)，所以•;------->--------,即命题p

log*----------log“c------------------------------------------------log/logrtb

为真命题；画出函数)，=2、和y=log，x图象，知命题q为假命题，所以〃八(1q)为真.

故选:B.

【点睛】

本题考杳真假命题的概念，以及真值表的应用，解题的关键是判断出命题〃国的真假，难度较易.

5、A

【解析】

首先求得平移后的函数g(x)=sin2x+2e-?,再根据sin(2x+2°-?)=sin2x+7求°的最小值.

【详解】

根据题意，/(x)的图象向左平移*个单位后，所得图象对应的函数

7乃1717T

g(x)=sin2(x+(p)——=sin(2x+2。——)=sin(2x+—),

4444

所以功-表2时+》出所以右k兀吟,k".又叱。，所以。的最小值为；

故选：A

【点睛】

本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.

6、B

【解析】

设过点鸟(c,o)作＞=的垂线，其方程为)，二—£(x—c),联立方程，求得“二土，y=?,即由

\PF]=46\OP\f列出相应方程，求出离心率.

【详解】

解：不妨设过点鸟(c,0)作y=，x的垂线，其方程为y=-](_r—c),

b

y=-x./2.\

由a42a~abpaab

由/解得x=—,y=一,即/一,一,

a(\cc[cc)

y=--[x-c)v7

22

.IDI7I_注lea在I、I七C/6,fa,ab

由|P同二。6|。h|,所以有--;--F---FC—6—H...-,

C\C/\CC)

化简得3力=。2,所以离心率e=_£=G.

a

故选：B.

【点睛】

本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题.

7、C

【解析】

由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得2cos8=」^—,由正弦定理可得

sinAsinC

2acos6=从，再由余弦定理可得/—C2=2〃，从而可得结果.

【详解】

—,—^；,二；依次成等差数列，

tanAtanBtanC

I1_2cosAsinC-sinAcosC_sin(A+C)_sinB2cos8

••十—,———9

tanAtanCtanBsinAsinCsinAsinCsinAsinCsinB

2cos八sin”正弦定理得2a8s3=从，

sinAsinC

由余弦定理得〃+c2=e，/+C.2=2〃，即/,从42依次成等差数列，故选C.

【点睛】

本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理，属于难题.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦

定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的

式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

8、C

【解析】

由题意知：BC=2,9。=5,设4C=x,贝iJA3=A3'=x+2,在RtqAC?中，列勾股方程可解得心然后由

X

P=—;得出答案.

x+2

【详解】

解：由题意知：BC=2,B'C=5,设AC=x,贝==

921

在Rt,ACB'中，列勾股方程得：52+X2=(X+2)\解得X=]

21

Y~~721

所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为P=--=不=—

x+2I229

4-

故选C.

【点睛】

本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.

9、A

【解析】

联立直线方程与椭圆方程，解得8和C的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得3c2=24,由离心率定义可得结

果.

【详解】

二+£

由。得2，所以B

)rDb

fGbh

由题意知尸(c,0),所以BF=c+——a,——CF=\c--a

2222

因为N3W=90。,所以BF±C尸，所以

（Ji\2

从23cr-c3，12八

BFCF=c+—ac---6---a1c，--a2+---------=-c———Q-=0.

2244442

所以3c2=2/，所以6=£二^^，

a3

故选：A.

【点睛】

本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题.

10、C

【解析】

两复数相等，实部与虚部对应相等.

【详解】

由3+由=b-（勿-1）/,

3=b

得i

a=\-2a

：,b=9a.

故选：C.

【点睛】

本题考有复数的概念，属于基础题.

11、C

【解析】

分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答

案.

【详解】

①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而」说的是真话，而已知只有一个人说的是真话,

故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；

②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故

乙说谎，年纪最大的也不是乙；

③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而己知只有一个人说的是真话，

故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；

④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大

的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有闪才是年纪最大的，故假设成立，年

纪最大的是丙.

综上所述，年纪最大的是丙

故选：C.

【点睛】

本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理

能力，属于中档题.

12、A

【解析】

由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积.

【详解】

由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2,

flQ

直观图如图所示，V=-x2x2x2=-.

33

故选：A.

【点睛】

本题考杳三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2

【解析】

根据双曲线的方程求出其中一条渐近线y=顶点（氏0）,再利用点到直线的距离公式可得c=2a,由

b2+1c2-a2+\

利用基本不等式即可求解.

Ga\[3a\l3a

【详解】

由双曲线c：与一与=1(a>0,b>0,

a'b2

可得一条渐近线y=一个顶点（〃,0）,

\ab\\ab\b

所以1,=—=解得c=2〃，

>Ja-+b2c2

b2+\c2-a2+\3/+1

则=y/3Cl4—f=—22,

y/3aGay/3a

当且仅当〃=3时，取等号,

3

所以罕1的最小值为2.

y/3a

故答案为：2

【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.

14'V

【解析】

将AC平移到和BQ相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值.

【详解】

过5作8O//AC,过。作CQ//A3,画出图像如下图所示，由于四边形A3C。是平行四边形，故.BDHAC,所

以NC/。是所求线线角或其补角.在三角形AC；。中，忸G|=|CQ|=2&,8O=2JL故

ssNC\BD=8+卜8迎.

2x2V2x2V34

【点睛】

本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

3

15、——

2

【解析】

根据图示分析出〃、8、C的坐标表示，然后根据坐标形式下向量的数量积为零计算出/的取值.

【详解】

由图可知：«=（l,2）,/?=（3,l）,c=（4,4）,所以2a+法=（2+3f,4+z）,

又因为（2。+仍）十二。，所以8+12f+16+4/=0,

3

所以£=——•

2

故答案为：—5•

【点睛】

本题考查向量的坐标表示以及坐标形式下向量的数量积运算，难度较易.已知。=（%,），1）/=（%，%），若a上人则有

西/+,%二0・

>/5-1

2

【解析】

将已知由前〃项和定义整理为/+%+%=2,再由等比数列性质求得公比，最后由数列｛可｝各项均为正数，舍根得

解.

【详解】

因为=S2+2nq+a2+见+/+%=4+/+2=4+4+%=2

即由+q+。3•寸=2=+4—1=0=q=—'；

又等比数列｛q｝各项均为正数，故夕=告1

故答案为：避二1

2

【点睛】

本题考查在等比数列中由前〃项和关系求公比，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）（j|,_当）;（2）手.

【解析】

（1）由，参数方程与椭圆方程联立可得A、8两点参数和，再利用M点的参数为4、8两点参数和的一半即可求M

的坐标；

（2）利用直线参数方程的几何意义得到|94卜|即，再利用|必卜|尸耳=|0叶=7计算即可，但要注意判别式还要大

于0.

【详解】

x=2cosr2、

（1）由已知，曲线C的参数方程为.八（6为参数），其普通方程为工+9=1,

y=sm〃，4

C1

x=2+-t,

当。二\71时，将，2（，为参数）代入工+丁=1得］3/+5a+48=0,设

y=6+争,4-

4+(228

直线/上A、8两点所对应的参数为乙,%,中点M所对应的参数为“,则

213

所以M的坐标为（j1,-坐）;

x=2+tcosar2

(2)将'代入一+^2=1^(cos2cif+4sin2or)/2+(8>/3sin6Z+4cos«)/+12=0,

y=>r/3+fsina4'

io

则俨41仔网=也|=------------—,因为二7即129052。+$行。)=7(85%+45m%),

coscr+4sin~tz11

所以5cos2a=16sin2a»titan2a=—,由△=(86sina+4cos仪尸一48(cos2a+4sin2a)

16

=32(25/3sinacos(7-cos2a)>0Wlana>—，所以lana=-^.

64

【点睛】

本题考查了伸缩变换、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程的几何意义等知识，考查学生的计算能力，是一道

中档题.

X2-X4-l,X>0

18、(1)/(v)=<0,.r=0；(2)(20-l,+oo)

~x^x—1,x<0

【解析】

(1)根据奇函数定义，可知/(0)=0；令工£(-8,0)则一X£(0,+8),结合奇函数定义即可求得X£(-OO,0)时的解

析式，进而得函数/(力的解析式；

(2)根据零点定义，可得/3=如-1,由函数图像分析可知曲线y=/(x)与直线>=g-1在第三象限必1个交

点，因而需在第一象限有2个交点，将y=根1-1与y=f—x+i联立，由判别式/>0及两根之和大于0,即可求得

用的取值范围.

【详解】

(1)因为函数/(.()为奇函数，且xeR,故/(0)=0；

当了£(—,0)时，一X£(0,y),

/(-^)=(r『-(-x)+i=x2+x+l=-/(x),

贝1」/(%)=一工2一五一1；

x2-x+l,x>0

故/(x)=<0,x=0.

一厂_x—1,x<0

(2)令g(x)=/(x)-mr+l=0,

解得/(1)="a一1，画出函数关系如下图所示,

要使曲线y=/(x)与直线y=〃a-1有3个交点,

y=X2-X+l

则2个交点在第一象限，1个交点在第三象限，联立

y=tnx-\

化简可得V-(14-/n)x+2=0,

A>()(/??+1)2-8>0

令),即

+x2=1+m>0m>-I

解得〃02及一1，

所以实数〃?的取值范围为(2夜-1,叼).

【点睛】

本题考查了根据函数奇偶性求解析式，分段函数图像画法，由函数零点个数求参数的取值范围应用，数形结合的应用,

属于中档题.

5s

19、(I)见解析(II)

IT

【解析】

(I)连接AC交AG于点。，连接OD，由于平面4OG，得出A0II。。，根据线线位置关系得出AO_L8C,

利用线面垂直的判定和性质得出修。，结合条件以及面面垂直的判定，即可证出平面AOG_L平面8CCQ：

(II)根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求出84=(1,6,0)和平面A/)G的法向量

〃二(-6,0,2),利用空间向量线面角公式，即可求出直线A5与平面所成角的余弦值.

【详解】

解：(I)证明：连接AC交AG于点。，连接OD,

则平面ABCn平面ADC}=OD,

AB//平面AOC1,AB//OD,

.•0为AC的中点，二。为8。的中点，「.AOJIBC

片。_L平面ABC,

•・・3Cc4O=。，平面BCCM，

QA。u平面ADC.,平面ADC11平面BCC,B、

(II)建立如图所示空间直角坐标系Q-x)，z,设43=2

则3（-1,0,0）,A（0,6,0）,四（0,0,C,（2,0,73）

=&（）），DA=（0,V3,0）,DCi=（2,0,5/3）

岛=0

设平面AQG的法向量为〃=(x,y,z),贝卜

2x+V3z=0

取户一石得〃=(-"(),2),

设直线AB与平面ADC,所成角为0

sin〃=cos（BAyn

「.cos”前

14

直线A3与平面Aoq所成角的余弦值为迎.

14

z

G

【点睛】

本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量法求线面角的余弦值，考查空间想象能力和推理能力.

20、(1)见解析；(2)见解析.

【解析】

(1)结合基本不等式向2,痴《止,而《四可证明；

222

4I~44

(2)利用基本不等式得，一十(3。十1)22，=一•(3a+1)=4,即----->3-3«,同理得其他两个式子，三式相

367+1V367+136/4-1

加可证结论.

【详解】

(1)•Vcib《-----,ybe«----,\Jcu«----,

222

2

A(\fa+4b+y/c)=Q+Z?+c+2\[ab+2\fbc+2\[ca

wm+b+c)+(〃+Z?)+S+c)+(c+a)=3,当且仅当a=b=c等号成立，

•**>[a+\[b+4c<\/3;

(2)由基本不等式」—+(3。+1)N2J」一•(3。+1)=4,

3a+\V3t/+i

444

>3-3w,同理------N