新高考艺术生40天突破数学第09讲 导数的运算及切线方程（解析版）

第09讲导数的运算及切线方程【知识点总结】一、基本概念1、导数的概念设函数在附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限，即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数在处的导数，记作或即2、导数的几何意义函数在处的导数，表示曲线在点处的切线的斜率，即，其中为切线的倾斜角，如图所示，过点的切线方程为3、导数的物理意义:设时刻一车从某点出发，在时刻车走了一定的距离在时刻，车走了这一段时间里车的平均速度为当与很接近时，该平均速度近似于时刻的瞬时速度.若令，则可以认为，即就是时刻的瞬时速度.二、基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式如表，为正整数为有理数注：三、导数的运算法则（和、差、积、商）设均可导，则（1）（2）（3）（4）注：四、复合函数的导数复合函数的导数与函数的导数之间具有关系，该关系用语言表述就是“对的导数等于对的导数与对的导数的乘积”，也就是先把当作一个整体，把对求导，再把对求导，这两者的乘积就是复合函数对的导数，即.【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数，则曲线在点处的切线方程为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵的导数为，∴．∵，∴曲线在点处的切线方程为，即．故选：C．例2．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率是（）A．1 B．2 C． D．【答案】B【详解】设，则，，又为偶函数，∴，则对应导函数为，∴，即所求的切线斜率为2.故选：B例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的值为（）A． B． C．10 D．20【答案】D【详解】因为，所以，所以.故选：D例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则f（x）所有的切线中斜率最小的切线方程为___________.【答案】4x﹣2y﹣3=0【详解】解：由，得，由，当且仅当x=1时等号成立，∴x=1满足题意，此时，又，∴所求切线方程为，即4x﹣2y﹣3=0.故答案为：4x﹣2y﹣3=0.例5．（2022·全国·高三专题练习）若直线y＝kx与曲线y＝e2x相切，则切点坐标为____．【答案】（，e）【详解】设切点的坐标为（m，n），y＝e2x的导数为y′＝2e2x，由切线方程y＝kx，可得2e2m＝k，n＝km＝e2m，k＞0，解得m，n＝e，即切点的坐标为（，e）．故答案为：（，e）．例6．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，则曲线在点处的切线方程是_______________________．【答案】【详解】由题意得，将与分别代入，得，，解得，，而，所以所求切线方程是，即．故答案为：例7．（2022·浙江·高三专题练习）请用函数求导法则求出下列函数的导数．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【详解】（1）因为，则；（2）因为，则；（3）因为，则；（4）因为，则；（5）因为，故.例8．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线.（1）求曲线S在点处的切线方程；（2）求过点并与曲线S相切的直线方程.【详解】（1）∵，则，∴当时，，∴点处的切线方程为：，即.（2）设切点坐标为，则直线斜率，而，整理得：∴，则，即有，解得，当时：，直线方程为；当时，，直线方程为；当时，，直线方程为.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）某物体沿水平方向运动，其前进距离（米）与时间（秒）的关系为，则该物体在运动前2秒的平均速度为（）A．18米/秒 B．13米/秒 C．9米/秒 D．米/秒【答案】C【分析】利用平均变化率的定义可得出该物体在运行前秒的平均速度为，进而可求得结果.【详解】∵，∴该物体在运动前2秒的平均速度为（米/秒）．故选：C．2．（2022·全国·高三专题练习）函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用导数几何意义和过两点的直线的斜率公式，结合图象即得结果.【详解】如图所示，是函数的图象在（即点A）处切线的斜率，是函数的图象在（即点B）处切线的斜率，是割线的斜率．由图象知,，即．故选:B．3．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数可导，则等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据导函数的定义得，根据，即可求出结果.【详解】．故选：C.4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数，若，则（）A．36 B．12 C．4 D．2【答案】C【分析】根据函数在处的导数的定义将变形为即可求解.【详解】解：根据题意，，则，则，若，则，则有，即，故选：C.5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数的图象如下所示，为的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用导数的几何意义，结合函数图象，即可判断与、与，及其与0的大小关系.【详解】由曲线上一点的导数表示该点切线的斜率，结合图象知：，而，故选：B.6．（2022·浙江·高三专题练习）若函数满足，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据导数的定义可直接化简求得结果.【详解】.故选：.【点睛】本题考查根据导数的定义求值的问题，属于基础题.7．（2022·全国·高三专题练习（理））函数的图像在点处的切线方程为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导，计算，即得解【详解】，，，，因此，所求切线的方程为，即．故选：B8．（2022·全国·高三专题练习）若曲线上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是[)，则a=（）A． B． C． D．3【答案】C【分析】先求得，根据曲线切线的倾斜角的取值范围是，得到，列出方程，即可求解．【详解】由题意，函数，可得，又由曲线的切线的倾斜角的取值范围是，可得切线的斜率的取值范围是，所以，又因为，所以解得.故选：C．9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象在点处的切线过点，则（）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义结合切线经过的两点列式求解即得.【详解】依题意，，，因函数的图象在点处的切线过点，于是得，解得，所以.故选：C10．（2022·全国·高三专题练习）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线的斜率为（）A．4 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用在点处的切线方程为可得然后利用导数的几何意义求切线斜率即可.【详解】因为，所以．又曲线在点处的切线方程为，所以，所以，即曲线在点处的切线的斜率为4．故选：A.11．（2022·全国·高三专题练习）曲线在点处的切线的倾斜角为，则点的坐标为（）A． B． C． D．或【答案】D【分析】可求得切线的斜率，即，可得解【详解】切线的斜率，设切点的坐标为，则．又∵，∴，解得或，∴切点的坐标为或．故选：D12．（2022·全国·高三专题练习）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小值为（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】求出平行于直线且与曲线相切直线的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.【详解】设平行于直线且与曲线相切的直线切点为，由，则，令，整理得，解得或（舍去），由，可得，即切点坐标为，又由点到直线的距离公式，可得，即点P到直线的距离的最小值为.故选：B.13．（2022·全国·高三专题练习（文））曲线在处的切线如图所示，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出切线方程，利用导数的几何意义求出的值，利用切线方程求出的值，进而可求得的值.【详解】设曲线在处的切线方程为，则，解得，所以，曲线在处的切线方程为，所以，，，因此，.故选：C.14．（2022·全国·高三专题练习（文））直线与曲线相切于点，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】将切点坐标代入切线方程可求得，根据得到；将切点坐标代入得到；由此可求得结果.【详解】为切点，，解得：，，，又，.故选：B.15．（2022·全国·高三专题练习（文））直线是曲线的一条切线，则实数k的值为（）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据切线过定点，即可求出，从而求出切线的斜率；【详解】解：设切点为，由，得，则，则曲线在切点处的切线方程为，由已知可得，切线过定点，代入切线方程可得：，解得，则.故选：A.16．（2022·全国·高三专题练习）动点P，Q分别在函数，的图象上运动，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，当过P点的切线与直线平行时，切线与直线的距离即为所求，再根据导数的几何意义求解即可.【详解】解：因为，所以，设动点，当在P点处切线与平行，过点P作直线垂线，垂足为点Q时，取得最小值，即为两平行直线间的距离，亦即点P到直线的距离是的最小值.令，解得，故，所以.故选：C17．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据导数的几何意义可求得在点处的切线方程，设其与相切于点，由切线斜率可求得，利用两点连线斜率公式构造方程求得.【详解】，，，，在点处的切线方程为：；设与相切于点，则，解得：，又，，解得：.故选：C.18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象在点处的切线方程是，那么（）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】根据导数的几何意义确定斜率与切点即可求解答案.【详解】因为，所以，因此切线方程的斜率，所以有，得，又切点在切线上，可得切点坐标为，将切点代入中，有，得，所以.故选：D.19．（2022·全国·高三专题练习）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用导数的几何意义可知，可求得；根据为两曲线公共点可构造方程求得，代入可得结果.【详解】，，，，，又为与公共点，，，解得：，.故选：D.20．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在区间上的函数，，若以上两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（）A．2 B．5 C．1 D．0【答案】C【分析】设两曲线与公共点为，分别求得函数的导数，根据两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，列出等式，求得公共点的坐标，代入函数，即可求解.【详解】根据题意，设两曲线与公共点为，其中，由，可得，则切线的斜率为，由，可得，则切线的斜率为，因为两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，所以，解得或（舍去），又由，即公共点的坐标为，将点代入，可得.故选：C.21．（2022·全国·高三专题练习（理））设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为A． B． C． D．【答案】A【详解】因为,又因为曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则切线的斜率，所以,解得，故选A.22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为，且满足，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出导数后，把x=e代入，即可求解.【详解】因为，所以，解得．故选：C．23．（2022·全国·高三专题练习）设，，，…，，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求解，归纳可得，即得解【详解】，，，，，所以（）．故．故选：A24．（2022·全国·高三专题练习）设，且，则常数的值为（）A．0 B． C．1 D．2【答案】B【分析】求出函数的导函数，再根据给定等式列式即可求得常数.【详解】由得，，依题意得，，解得，所以常数的值为.故选：B二、多选题25．（2022·全国·高三专题练习）（多选）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量，甲、乙两人服用该药物后，血管中的药物浓度（单位：）随时间（单位：）变化的关系如图所示，则下列四个结论中正确的是（）A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同B．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同D．在，两个时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同【答案】ACD【分析】根据已知血管中的药物浓度随时间变化图象，结合瞬时变化率、平均变化率的概念判断各选项的正误.【详解】A：在时刻，两图象相交，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，正确；B：两条曲线在时刻的切线的斜率不相等，所以甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率不相同，错误；C：根据平均变化率公式，可知在这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率都是，正确；D：在时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率是，在时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率是，显然不相等，正确．故选：ACD．26．（2022·全国·高三专题练习）若直线是函数图像的一条切线，则函数可以是（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】求得已知直线的斜率，对选项中的函数分别求导，可令导数为，解方程即可判断结论【详解】解：直线的斜率为，由的导数为，即切线的斜率小于0，故A不正确；由的导数为，而，解得，故B正确；由的导数为，而有解，故C正确；由的导数为，而，解得，故D正确，故选：BCD【点睛】此题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题27．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列函数求导运算错误的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】直接利用常见函数的求导公式和导数的四则运算即可计算.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误．故选ACD．三、填空题28．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上的平均变化率为，则在区间上的平均变化率为______．【答案】【分析】根据函数平均变化率公式进行化简并计算得到，代入中得到函数表达式，再根据函数平均变化率公式求在区间上的平均变化率.【详解】函数在区间上的平均变化率为,，，,所以在区间上的平均变化率为．故答案为：29．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在处的瞬时变化率为，则______．【答案】9【分析】利用导数的定义求导函数，结合已知求参数，进而可求.【详解】由题知，，得，∴．故答案为：930．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则所有的切线中斜率最小的切线方程为_________.【答案】【分析】求得函数导数，由基本不等关系求得导数的最小值，即函数所有切线中斜率最小值，进而求得切线方程.【详解】由，，则，时等号成立，则函数所有切线中斜率最小为3，且过点，则切线方程为故答案为：31．（2022·全国·高三专题练习）曲线的一条切线过点，则该切线的斜率为_______．【答案】【分析】设切点坐标为，求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入，求切点坐标，切线的斜率．【详解】由，设切线斜率为，切点横坐标为，则，得，所以故答案为：32．（2022·浙江·高三专题练习）曲线上的任意一点P处切线的倾斜角的取值范围是________．【答案】【分析】求出导数，可得导函数的值域即为倾斜角的正切值取值范围，即可得出倾斜角范围.【详解】由可得，设点P处切线的倾斜角为，则可得，，则可得.故答案为：.33．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，则曲线在点处的切线方程是______．【答案】【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，进而可得切线方程.【详解】令，得．对求导，得，所以，故曲线在点处的切线方程为．故答案为：.34．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)＝x2，则过点P(－1，0)，曲线y＝f(x)的切线方程为__________【答案】或【分析】首先判断不在曲线上，设出切点坐标，利用导数求得斜率，由此列方程求得切点的横坐标，进而求得切线的斜率，由此求得切线方程.【详解】点P(－1，0)不在f(x)＝x2上，设切点坐标为(x0，)，由f(x)＝x2可得，∴切线的斜率.切线方程为.∵切线过点P(－1，0)，∴k＝＝2x0，解得x0＝0或x0＝－2，∴k＝0或－4，故所求切线方程为y＝0或4x＋y＋4＝0.故答案为：或35．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，若直线过点，并且与曲线相切，则直线l的方程为______________．【答案】【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义可得切线方程为，再根据切线过点，可求出，进而求出结果．【详解】∵点不在曲线上，设切点坐标为．又∵，所以∴在处的切线方程为，∵切线过点，∴，解得，∴直线的方程为：，即直线方程为.故答案为：．【点睛】方法点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．36．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象在点处的切线与直线平行．则______．【答案】0【分析】由，求得，由此求得.【详解】在图象上，，的斜率为，，，所以.所以.故答案为：37．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若直线函数，的图象均相切，则的值为________.【答案】【分析】设直线与函数的图像相切的切点为，求得的导数，可得切线的斜率，进而得到切点和切线方程，联立，利用判别式为0即可解出a.【详解】设直线与函数的图像相切的切点为，由可得，即切点为，则，所以切线方程为；联立，可得，由题意可得，解得.故答案为：38．（2022·全国·高三专题练习）函数的图象在点P处的切线方程是：，若点P的横坐标为5，则______.【答案】【分析】利用切线的斜率求得，利用切点求得.【详解】由于切线方程是，所以，由于切点在切线上，，即，所以.故答案为：39．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则a的值为___________【答案】【分析】根据点Ｐ在函数的图象上，求得ｂ的值，得到，利用导数的几何意义和直线垂直的条件求得．【详解】由已知可得在函数的图象上，所以，即，解得，所以，故.则函数的图象在点处的切线的斜率，因为切线与直线垂直，所以，即.故答案为：.40．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在处的切线方程为，则___.【答案】【分析】根据导数的几何意义可知，又在切线上，可解得的值，进而可求的值.【详解】由，得，，，又切线方程为：，即，故，解得，故，，即，故答案为：.41．（2022·全国·高三专题练习（理））我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设，则________，其在点处的切线方程为________．【答案】【分析】利用复合函数的求导法则可求得，利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程.【详解】，故，则.故曲线在点处的切线方程为.故答案为：；.42．（2022·全国·高三专题练习）设f(x)＝aex+blnx，且f′（1）＝e，f′（﹣1）＝，则a+b＝__．【答案】1【分析】可求出导函数,然后根据条件可得出关于a，b的方程组，解出a，b即可．【详解】解：∵，∴＝ae+b＝e①，②，联合①②解得，∴a+b＝1．故答案为：1．四、解答题43．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的导数：（1）y=x（x2）；（2）y=（1）（1）；（3）y=xtanx；（4）y=x﹣sincos；（5）y=3lnx+ax（a>0，且a≠1）.【答案】（1）y′=3x2；（2）y′；（3）y′；（4）y′=1cosx；（5）y′axlna.【分析】根据导数的公式，分别进行求解即可.【详解】根据导数的公式，分别进行求解即可.解：（1）y=x（x2）=x3+1；则函数的导数y′=3x2.（2）y=（1）（1）=1，则y′；（3）y=xtanx，则y′；（4）y=x﹣sinsinx；则y′=1cosx.（5）y′axlna.故答案为：（1）y′=3x2；（2）y′；（3）y′；（4）y′=1cosx；（5）y′axlna.44．（2022·全国·高三专题练习（文））下列函数的导函数（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】直接根据求导公式及导数的运算法则即可求出