2025高考数学一轮复习10.6事件的相互独立性、条件概率与全概率公式【课件】

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第6节事件的相互独立性、条件概率与全概率公式1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率.目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时分层精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICEP(A)P(B)BP(A)P(B|A)3.全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝______________，此公式为全概率公式.常用结论与微点提醒×√××2.掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为(

) A.互斥

B.互为对立 C.相互独立 D.相等C解析事件A与事件B能同时发生，故事件A与事件B既不是互斥事件，也不是对立事件，故A，B均错误；事件A与事件B相互独立，故选C.

4.(选修三P48T3改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则他在第一次拿

到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为________.解析设A＝“甲第一次拿到白球”，B＝“甲第二次拿到红球”，考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一相互独立事件的概率例1(1)(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(

) A.甲与丙相互独立

B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立

D.丙与丁相互独立B事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；解析由题意，若乙要赢得这局比赛，按照乙第三支箭的情况可分为两类：感悟提升求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积.(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算.训练1(1)(2024·锦州调研)分别抛掷3枚质地均匀的硬币，设事件M＝“至少有2枚正面朝上”，则与事件M相互独立的事件是(

)A.3枚硬币都正面朝上

B.有正面朝上的，也有反面朝上的C.恰好有1枚反面朝上

D.至多有2枚正面朝上B解析分别抛掷3枚质地均匀的硬币，则样本空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，共8个样本点，事件M＝“至少有2枚正面朝上”，设事件C＝“恰好有1枚反面朝上”，则C＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}，设事件D＝“至多有2枚正面朝上”，则D＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，解析甲获胜的情况分三类：考点二条件概率C解析法一设男生甲被选中为事件A，男生乙和女生丙至少一人被选中为事件B，解析设事件A为系统正常工作，事件B为只有K和A1正常工作，因为并联元件A1，A2能正常工作的概率为感悟提升训练2(1)(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(

)A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4A解析令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4，ACD考点三全概率公式的应用C解析设事件A1＝“冬季去吉林旅游”，事件A2＝“夏季去吉林旅游”，事件B＝“去了‘一眼望三国’景点”，(2)(2023·天津卷)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为________.解析法一设A＝“从甲盒子中取一个球是黑球”，B＝“从乙盒子中取一个球是黑球”，C＝“从丙盒子中取一个球是黑球”，感悟提升利用全概率公式的思路(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1，2，…，n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；(3)代入全概率公式计算.C解析设事件A表示“小胡答对”，事件B表示“小胡选到有思路的题”.(2)(2024·安庆模拟)设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%，35%，20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的次品率为________.5%解析令A表示“取到的是一件次品”，B1，B2，B3分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，且有P(B1)＝0.45，P(B2)＝0.35，P(B3)＝0.2.由于P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.03，设P(A|B3)＝m，由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.02×0.45＋0.03×0.35＋m×0.2.又P(A)＝2.95%，故m＝5%.拓展视野贝叶斯公式1.贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0，有2.全概率公式和贝叶斯公式的区别(1)从形式上看，全概率公式是求一个事件发生的总概率，而贝叶斯公式是求一个事件的条件概率.(2)从思想上看，全概率公式是将一个复杂的事件分解为若干个简单的子事件，然后利用子事件发生的概率和条件概率来求出复杂事件发生的概率.贝叶斯公式是利用已知的结果，反推出原因的可能性，然后利用原因发生的概率和条件概率来更新对原因发生的概率的估计.(3)从应用上看，全概率公式和贝叶斯公式可以相互配合，一般来说，全概率公式可以用来求出贝叶斯公式中的分母(结果发生的总概率)，而贝叶斯可以用来求出全概率公式中的分子(子事件发生的条件概率).ABC解析对于A，由题意任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为6%×25%＝1.5%，正确；对于B，由题设，任取一个零件是次品的概率为6%×25%＋5%×30%＋5%×45%＝5.25%，正确；对于C，由条件概率，取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为解析由题意设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，训练(1)(2024·安阳模拟)学校给每位教师随机发了一箱苹果，李老师将其分为两份，第1份占总数的40%，次品率为5%，第2份占总数的60%，次品率为4%.若李老师分份之前随机拿了一个发现是次品后放回，则该苹果被分到第1份中的概率为________.解析设事件B为“拿的苹果是次品”，Ai(i＝1，2)为“拿的苹果来自第i份”，则P(A1)＝0.4，P(B|A1)＝0.05，P(A2)＝0.6，P(B|A2)＝0.04，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.05＋0.6×0.04＝0.044，(2)(2024·石家庄调研)某批产品来自A，B两条生产线，A生产线占60%，次品率为4%；B生产线占40%，次品率为5%，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自A生产线的概率是________.解析设A＝“抽到的产品来自A生产线”，B＝“抽到的产品来自B生产线”，C＝“抽到的一件产品是次品”，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.4，P(C|A)＝0.04，P(C|B)＝0.05，由全概率公式得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝0.6×0.04＋0.4×0.05＝0.044，课时分层精练3KESHIFENCENGJINGLIAN1.小明上学可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁.已知小明上学乘坐公共汽车的概率为0.4，乘坐地铁的概率为0.6，且乘坐公共汽车与地铁时，小明迟到的概率分别为0.05和0.04，则小明没有迟到的概率为(

) A.0.954

B.0.956 C.0.958 D.0.959B解析由题意，小明没有迟到的概率为0.4×(1－0.05)＋0.6×(1－0.04)＝0.956.BA4.(2024·娄底五校联考)甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4×100米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，p3，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是(

) A.p1p2p3 B.1－p1p2p3 C.(1－p1)(1－p2)(1－p3) D.1－(1－p1)(1－p2)(1－p3)C解析∵三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，p3，∴三次交接棒不失误的概率分别是1－p1，1－p2，1－p3.∵三次交接棒相互独立，∴此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是(1－p1)(1－p2)(1－p3).5.根据历年的气象数据可知，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为(

) A.0.8 B.0.625 C.0.5 D.0.1A解析设“发生中度雾霾”为事件A，“刮四级以上大风”为事件B，所以P(A)＝0.25，P(B)＝0.4，P(AB)＝0.2，则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为AD解析对于A，因为x＋y＝7，所以x与y必是一奇一偶，又当xy为奇数时，x与y都是奇数，所以事件A和B不能同时发生，即A与B互斥，故A正确；对于B，因为事件A和B不能同时发生，但它们可以同时不发生，如x＝1，y＝2，即A与B不对立，故B不正确；AD解析设Ai＝“第i次取到白球”，Bi＝“第i次取到红球”.0.4解析若A，B互斥，则m＝P(AB)＝0，9.某医生一周(7天)晚上值2次班，在已知他周二晚上一定值班的条件下，他在周三晚上值班的概率为________.解析设事件A为“周二晚上值班”，事件B为“周三晚上值班”，解析设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A＋的事件分别为A，B，C.11.(2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如右的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；解法一由于患者的年龄位于区间[20，70)是由患者的年龄位于区间[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)组成的，且相互独立，所以所求概率P＝(0.012＋0.017×2＋0.023＋0.020)×10＝0.89.法二由于患者的年龄位于区间[20，70)是由患者的年龄位于区间[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)组成的，且相互独立，所以所求概率P＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝0.89.(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001)解设从该地区任选一人，年龄位于区间[40，50)为事件A，患这种疾病为事件B，则P(A)＝16%.由频率分布直方图知这种疾病患者年龄位于区间[40，50)的概率为0.023×10＝0.23，结合该地区这种疾病的患病率为0.1%，可得P(AB)＝0.1%×0.23＝0.00023，所以从该地区任选一人，若年龄位于区间[40，50)，则此人患这种疾病的概率为13.(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则(

) A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大D解析法一设该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P甲，在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为P乙，在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P丙，由题意可知，P甲＝2p1[p2(1－p3)＋p3(1－p2)]＝2p1p2＋2p1p3－4p1p2p3，P乙＝2p2[p1(1－p3)＋p3(1－p1)]＝2p1p2＋2p2p3－4p1p2p3，P丙＝2p3[p1(1－p2)＋p2(1－p1)]＝2p1p3＋2p2p3－4p1p2p3.所以P丙－P甲＝2p2(p3－p1)>0，P丙－P乙＝2p1(p3－p2)>0，所以P丙最大，故选D.法二(特殊值法)不妨设p1＝0.4，p2＝0.5，p3＝0.6，则该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率P甲＝2p1[p2(1－p3)＋p3(1－p2)]＝0.4；在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率P乙＝2p2[p1(1－p3)＋p3(1－p1)]＝0.52；在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率P丙＝2p3[p1(1－p2)＋p2(1－p1)]＝0.6.所以P丙最大，故选D.14.(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).(

)A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)(1－β)2B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3D.当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的