全优课堂·数学·必修第二册(人教A版) 课后提能训练 试题及答案 8.6.2　第2课时

第八章8.68.6.2第2课时A级——基础过关练1．若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线()A．只有一条 B．有无数条C．是平面内的所有直线 D．不存在【答案】B【解析】当a∥平面α时，在平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；当a⊂α时，在α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；当直线a与平面α相交但不垂直时，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直．故选B．2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，则点C到平面BDD1B1的距离为()A．1 B．eq\r(2)C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)【答案】B【解析】如图，连接AC，DB交于点O，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DB⊥AC，,BB1⊥AC，,BB1∩DB＝B))⇒AC⊥平面BDD1B1，所以点C到平面BDD1B1的距离为CO，CO＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2)．3．如图，在四面体A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝BC＝CD＝1，则AD＝()A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2【答案】C【解析】因为BC⊥CD，AB＝BC＝CD＝1，所以BD＝eq\r(BC2＋CD2)＝eq\r(2)．又因为AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，所以AB⊥BD，因此AD＝eq\r(AB2＋BD2)＝eq\r(3)．故选C．4．(多选)下列说法正确的有()A．过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直B．过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直C．过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行D．过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直【答案】ABC【解析】由线面垂直的性质及线面平行的性质知A，B，C正确；D错误，过直线外一点作平面与直线垂直，则平面内过这一点的所有直线都与该直线垂直．5．(多选)设m，n为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，下列命题正确的是()A．若m∥α且n⊂α，则m∥n B．若m⊥α且n⊥α，则m∥nC．若m∥α且m∥β，则α∥β D．若m⊥α且m⊥β，则α∥β【答案】BD【解析】A项，若m∥α且n⊂α，则m，n可能平行或异面，故A错误；B项，若m⊥α且n⊥α，根据垂直于同一平面的两直线互相平行，故B正确；C项，若m∥α且m∥β，根据面面的位置关系定义可得α与β可能平行也可能相交，故C错误；D项，若m⊥α且m⊥β，根据面面平行的判定可知垂直于同一直线的两平面互相平行，故D正确．故选BD．6．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论错误的是()A．PB⊥BC B．PD⊥CDC．PD⊥BD D．PA⊥BD【答案】C【解析】PA⊥平面ABCD⇒PA⊥BD，D正确；eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABCD⇒PA⊥BC，,矩形ABCD⇒AB⊥BC))⇒BC⊥平面PAB⇒BC⊥PB，故A正确；同理，B正确；C错误．7．如图，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________．【答案】6【解析】因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE．因为AF＝DE，所以四边形ADEF是平行四边形，所以EF＝AD＝6．8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，则MN与AB的位置关系是________．【答案】垂直【解析】如图，易知AB⊥平面BCC1B1，又因为MN在平面BCC1B1内，所以MN⊥AB．9．如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BDC，∠BDC＝90°，AB＝8，BD＝6，则点B到平面ACD的距离等于________．【答案】4.8【解析】∵AB⊥平面BDC，∴AB⊥BD，AB⊥CD．∵∠BDC＝90°，∴CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD．∵AD⊂平面ABD，∴CD⊥AD．∵AB＝8，BD＝6，∴AD＝eq\r(82＋62)＝10，∴S△BDC＝eq\f(1,2)×6×CD＝3CD，S△ACD＝eq\f(1,2)×10×CD＝5CD．设点B到平面ACD的距离为h，∵V三棱锥A－BCD＝V三棱锥B－ACD，∴eq\f(1,3)×3CD×8＝eq\f(1,3)×5CD×h，解得h＝4.8．10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点，DE⊥平面BCC1B1，求证：AB＝AC．证明：如图，取BC的中点F，连接EF，则EF∥B1B且EF＝eq\f(1,2)B1B．从而EF∥DA且EF＝DA．连接AF，则四边形ADEF为平行四边形，从而AF∥DE．又DE⊥平面BCC1B1．故AF⊥平面BCC1B1，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，故AB＝AC．B级——综合运用练11．已知直线l∩平面α＝O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA＝AB．若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝()A．2 B．1C．eq\f(3,2) D．eq\f(1,2)【答案】A【解析】因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，所以AC∥BD．连接OD，如图所示，所以eq\f(OA,OB)＝eq\f(AC,BD)．因为OA＝AB，所以eq\f(OA,OB)＝eq\f(1,2)．因为AC＝1，所以BD＝2．12．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，B为垂足，直线a⊂平面β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________．【答案】平行【解析】∵EA⊥α，平面α∩平面β＝l，即l⊂α，∴l⊥EA．同理，l⊥EB．又∵EA∩EB＝E，EA，EB⊂平面EAB，∴l⊥平面EAB．∵EB⊥β，a⊂平面β，∴EB⊥a．又∵a⊥AB，EB∩AB＝B，EB，AB⊂平面EAB，∴a⊥平面EAB，∴a∥l．13．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝CF，∠ABC＝60°，四边形ACFE为平行四边形，FC⊥平面ABCD，M为线段EF的中点．(1)求证：BC⊥平面ACFE；(2)若AD＝2，求点A到平面MBC的距离．(1)证明：设AD＝m，则DC＝CB＝AD＝m，在梯形ABCD中，因为AB∥CD，∠ABC＝60°，所以AB＝2m，所以AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos60°＝3m2，所以AB2＝AC2＋BC2，所以BC⊥AC．因为FC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以FC⊥BC．又因为AC∩FC＝C，AC⊂平面ACFE，FC⊂平面ACFE，所以BC⊥平面ACFE．(2)解：由(1)可知BC⊥AC，又因为AD＝2，则DC＝CB＝AD＝FC＝2，所以AC＝2eq\r(3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)·AC·BC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2＝2eq\r(3)，V四面体MACB＝eq\f(1,3)×2·S△ABC＝eq\f(4\r(3),3)．因为BC⊥平面ACFE，CM⊂平面ACFE，所以BC⊥CM，又因为MC＝eq\r(FM2＋FC2)＝eq\r(7)，所以S△MBC＝eq\f(1,2)·MC·BC＝eq\f(1,2)×eq\r(7)×2＝eq\r(7)．设点A到平面MBC的距离为d，则eq\f(1,3)·S△MBC·d＝eq\f(1,3)×eq\r(7)·d＝eq\f(4\r(3),3)＝V四面体MACB，解得d＝eq\f(4\r(21),7)．所以点A到平面MBC的距离为eq\f(4\r(21),7)．C级——创新拓展练14．在中国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，如图所示．(1)从三棱锥P－ABC中选择合适的两条棱填空．若________⊥________，则该三棱锥为“鳖臑”．(2)已知三棱锥P－ABC是一个“鳖臑”，且AC＝1，AB＝2，∠BAC＝60°．若△PAC上有一点D，试在平面PAC内作出一条过点D的直线l，使得l与BD垂直，说明作法，并给予证明．解：(1)这两条棱可选AB与BC．理由如下．因为PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC．因此△PAC，△PAB是两个直角三角形．当AB⊥BC时，显然△BAC是直角三角形．因为PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，而PB⊂平面PAB．所以BC⊥PB，因此△BPC是直角三角形．所以该三棱锥为“鳖臑”．(答案不唯一)(2)连接CD，如图，在△PAC内，过点D作l⊥CD，即可得l为所求直线．证明如下：在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2A