全优课堂·数学·必修第二册(人教A版) 课后提能训练 试题及答案 8.6.1

第八章8.68.6.1A级——基础过关练1．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条()A．相交 B．异面C．相交或异面 D．平行【答案】C【解析】如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与AD相交，与BC异面．2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，B1B，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()A．45° B．60°C．90° D．120°【答案】B【解析】连接A1B，BC1．∵E，F，G，H分别是AA1，AB，BB1，B1C1的中点，∴A1B∥EF，BC1∥GH．∴A1B和BC1所成的角为异面直线EF与GH所成的角．连接A1C1知，△A1BC1为正三角形，故∠A1BC1＝60°．3．(2024年开封期中)在正方体ABCD－A1B1C1D1的所有面对角线中，所在直线与直线A1B互为异面直线且所成角为60°的面对角线的条数为()A．2 B．4C．6 D．8【答案】B【解析】如图，易知△A1BC1为等边三角形，所以∠BA1C1＝60°，又AC∥A1C1，所以异面直线AC与A1B的夹角为60°，符合题设．同理，面对角线B1C，B1D1，AD1也满足题意，所以满足条件的面对角线共4条．故选B．4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2eq\r(2)，则异面直线BD与AC所成的角为()A．30° B．45°C．60° D．90°【答案】C【解析】如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则DE∥A1C1．因为AC∥A1C1，所以AC∥DE，所以∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角．由已知可得BD＝DE＝BE＝eq\r(2)，所以∠BDE＝60°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°．故选C．5．(多选)有三条直线a，b，c，下列命题正确的有()A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．若a⊥b，c⊥b，则a∥cC．若a∥c，c⊥b，则b⊥aD．若a与b，a与c都是异面直线，则b与c也是异面直线【答案】AC【解析】对于A，由基本事实4可知本命题正确；对于B，当a⊥b，c⊥b时，a，c可以垂直，故本命题错误；对于C，根据平行线的性质可以判断本命题正确；对于D，把a，b，c三条线放在长方体的棱上，则a与b，a与c都是异面直线，b与c可以平行，故本命题错误．6．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝()A．3 B．4C．5 D．6【答案】C【解析】如图，取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN为异面直线AC与BD所成的角(或其补角)．∴∠MPN＝90°，PN＝eq\f(1,2)AC＝4，PM＝eq\f(1,2)BD＝3．∴MN＝5．7．如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD与AC所成角的度数为________．【答案】60°【解析】依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角，又因为∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°．8．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AA1＝4，则A1C1与B1C所成角的余弦值为__________．【答案】eq\f(3\r(2),10)【解析】连接A1D，C1D，因为A1B1∥DC，A1B1＝DC，所以四边形A1DCB1为平行四边形，所以A1D∥B1C，则A1C1与B1C所成的角为∠C1A1D(或其补角),A1D＝eq\r(32＋42)＝5，A1C1＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2)，C1D＝eq\r(42＋32)＝5，所以cos∠C1A1D＝eq\f((3\r(2))2＋52－52,2×3\r(2)×5)＝eq\f(3\r(2),10)．9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线中与AD1成60°的有________条．【答案】8【解析】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，△AD1B1是等边三角形，故B1D1，AB1与AD1所成的角是60°，同理，△ACD1也是等边三角形，AC，CD1与AD1也成60°角，则在面对角线中，与AC，CD1，B1D1，AB1分别平行的对角线与AD1也成60°角．10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．解：如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1．∴异面直线DB1与EF所成的角为90°．B级——综合运用练11．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个结论中，正确结论的序号是()A．①②③ B．②④C．③④ D．①③④【答案】C【解析】根据展开图，画出立体图形(如图，)，BM与ED垂直，不平行，CN与BE是平行直线，CN与BM成60°，DM与BN是异面直线，故C正确．12．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为________．【答案】eq\f(\r(5),5)【解析】如图，连接BD1，交DB1于点O，取AB的中点M，连接DM，OM．易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成的角(或其补角)．因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，AD1＝eq\r(AD2＋DDeq\o\al(2,1))＝2，DM＝eq\r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)，DB1＝eq\r(AB2＋AD2＋DDeq\o\al(2,1))＝eq\r(5)，所以OM＝eq\f(1,2)AD1＝1，OD＝eq\f(1,2)DB1＝eq\f(\r(5),2)．于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2),2×1×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(5),5)，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为eq\f(\r(5),5)．13．如图，在四面体A－BCD中，E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，且BD＝AC＝2，EM＝1．(1)求证：EF∥平面ACD；(2)求异面直线AC与BD所成的角．(1)证明：∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC．∵EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴EF∥平面ACD．(2)解：E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，∴EF∥AC，FM∥BD．∴∠EFM是异面直线AC与BD所成的角(或其补角)．在△EFM中，EF＝FM＝EM＝1，∴△EFM是等边三角形．∴∠EFM＝60°．∴异面直线AC与BD所成的角为60°．C级——创新拓展练14．(2024年中山期中)刍甍，中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也；甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍意思为茅草屋顶”，如图为一“刍甍”形的五面体，其中四边形ABCD为矩形，△ADE和△BCF都是等腰三角形，AE＝ED＝BF＝CF＝eq\r(2)AD，EF∥AB，若AB＝3EF，且AD＝2EF，则异面直线AE与CF所成角的大小为()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)【答案】C【解