全优课堂·数学·选择性必修第三册(人教A版) 课后提能训练 试题及答案 6.2.2

第六章6.26.2.2A级——基础过关练1．(2024年广州期中)某学校安排4位教师在星期一至星期五值班，每天只安排1位教师，每位教师至少值班1天，至多值班2天且这2天相连，则不同的安排方法共有()A．24种 B．48种C．60种 D．96种【答案】D2．若Aeq\o\al(3,2n)＝10Aeq\o\al(3,n)，则n＝()A．7 B．8C．9 D．10【答案】B3．(2024年贵阳期中)2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(决赛)于2023年11月26日至12月3日在湖北省武汉市武钢三中举行，赛后来自某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法有()A．48种 B．64种C．72种 D．120种【答案】C4．(2024年东莞期中)回文联是我国对联中的一种．用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读．不仅意思不变，而且颇具趣味．在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”．如44，585，2662等；则用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为()A．15 B．30C．36 D．72【答案】C【解析】分两类，第1类，用一个数字组成四位数的回文数，有6个；第2类，用两个数字组成四位数的回文数，只需从这6个数字中任取2个数字，排在前两位(后两位由前两位顺序确定)，有Aeq\o\al(2,6)＝30(个).故全部4位回文数共有6＋30＝36个．故选C．5．(2024年成都期中)某电子竞技队伍由1名队长、1名副队长与3名队员构成，按需要担任第1至5号位的任务，由于队长需要分出精力指挥队伍，所以不能担任1号位，副队长是队伍输出核心，必须担任1号位或2号位，则不同的位置安排方式有()A．36种 B．42种C．48种 D．52种【答案】B【解析】若副队长担任1号位，其他位置就没有任何限制，有Aeq\o\al(4,4)＝24种安排方式；若副队长担任2号位，则从3名队员中选1人担任1号位，后面的3个位置无限制条件，有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝3×6＝18(种)安排方式．所以一共有24＋18＝42(种)安排方式．故选B．6．(多选)已知Aeq\o\al(m,3)－eq\f(1,2)Aeq\o\al(2,3)＋0！＝4，则m的可能取值是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】CD【解析】因为Aeq\o\al(m,3)－eq\f(1,2)Aeq\o\al(2,3)＋0！＝4，所以Aeq\o\al(m,3)－eq\f(1,2)×6＋1＝4，所以Aeq\o\al(m,3)＝6，其中m∈N，m≤3，而Aeq\o\al(0,3)＝1，Aeq\o\al(1,3)＝3，Aeq\o\al(2,3)＝Aeq\o\al(3,3)＝6，所以m的值可能是2或3．故选CD．7．(2024年六安期中)高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”(可以不相邻)，则这样的出场排序有________种(用数字作答)．【答案】40【解析】先排除甲、乙、丙三个节目剩余的2个节目有Aeq\o\al(2,5)＝5×4＝20种排法，因甲、乙、丙的排序为定序，只有2种排法，则根据分步乘法计数原理，满足条件的出场顺序共有20×2＝40种．8．(2024年清远期中)不等式Aeq\o\al(x,6)<6Aeq\o\al(x-2,6)的解集为________．【答案】{6}【解析】由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤6，,0≤x－2≤6，))解得2≤x≤6且x∈N*．又eq\f(6！,(6－x)！)<6×eq\f(6！,(8－x)！)，即(8－x)(7－x)<6，即x2－15x＋50<0，解得5<x<10，综上可知x＝6，故解集为{6}．9．(2023年广州模拟)某夜市的某排摊位上共有6个铺位，现有4家小吃类店铺，2家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为________(用数字作答)．480【解析】先将4个小吃类店铺进行全排，再从这4个小吃类店铺的5个空位选2个进行排列，故排出的摊位规划总个数为Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝480．10．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前4个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？解：(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有Aeq\o\al(2,5)种排法，再将剩余的3个演唱节目、3个舞蹈节目排在中间6个位置上有Aeq\o\al(6,6)种排法，故不同的排法共有Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(6,6)＝14400(种)．(2)先不考虑排列要求，有Aeq\o\al(8,8)种排列，其中前4个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余4个节目排列在后四个位置，有Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)种排法，所以前4个节目要有舞蹈节目的排法有Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)＝37440(种)．B级——能力提升练11．(2024年湛江期中)(多选)身高各不相同的六位同学A，B，C，D，E，F站成一排照相，则说法正确的是()A．A，C，D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法B．A与C同学不相邻，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,5)种站法C．A，C，D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法【答案】ABD【解析】对于A，将A，C，D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有eq\f(Aeq\o\al(6,6),Aeq\o\al(3,3))＝120种站法，故A正确；对于B，先排B，D，E，F，共有Aeq\o\al(4,4)种站法，A与C同学插空站，有Aeq\o\al(2,5)种站法，故共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,5)种站法，故B正确；对于C，将A，C，D三位同学捆绑在一起，且A只能在C与D的中间，有2种情况，捆绑后有Aeq\o\al(4,4)种站法，故共有2×Aeq\o\al(4,4)＝48种站法，故C错误；对于D，当A在排尾时，B随意站，则有Aeq\o\al(5,5)＝120种站法，当A不在排头也不在排尾时，有Aeq\o\al(1,4)种，B有Aeq\o\al(1,4)种，剩下同学随意站有Aeq\o\al(4,4)种，共有Aeq\o\al(1,4)×Aeq\o\al(1,4)×Aeq\o\al(4,4)＝384种，故A不在排头，B不在排尾，共有120＋384＝504种站法，故D正确．故选ABD．12．已知0！＋Aeq\o\al(2,n)＝133，则n＝________，计算Aeq\o\al(n+3,2n)＋Aeq\o\al(n,3)＝________．【答案】12726【解析】0！＋Aeq\o\al(2,n)＝1＋n(n－1)＝133(n≥2)，即n2－n－132＝(n－12)(n＋11)＝0，所以n＝12(负值舍去).由题意可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＋3≤2n，,n≤3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n≥3，,n≤3，))所以n＝3，所以Aeq\o\al(n+3,2n)＋Aeq\o\al(n,3)＝Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(3,3)＝6×5×4×3×2×1＋3×2×1＝726．13．(2024年佛山月考)2024年5月10日是南执高级中学艺术展演日，当晚要进行隆重的文艺演出．已知初三，高一，高二分别选送了3，5，7个节目，现回答以下问题：(用排列组合数表示，不需要合并化简)(1)若初三的节目彼此都不相邻，共计有多少种出场顺序；(2)若初三的节目按照B1，B2，B3的顺序出场(可以不相邻)，共计有多少种出场顺序；(3)高一的节目A1不能排最先出场且初三的节目B1不能最后出场，共计有多少种出场顺序．解：(1)根据题意先把高一，高二的12个节目排好共有Aeq\o\al(12,12)种排列方式，再把初三的3个节目插入插空进行排列，所以共有Aeq\o\al(12,12)·Aeq\o\al(3,13)种出场顺序．(2)(方法一)初三的节目按照B1，B2，B3的顺序出场，即只需把其他12个节目排好，空3个位置给B1，B2，B3即可，所以不同的排法共有Aeq\o\al(12,15)种．(方法二)把15人全排有Aeq\o\al(15,15)种情况，因为有Aeq\o\al(3,3)种重复，所以不同的排法共有eq\f(Aeq\o\al(15,15),Aeq\o\al(3,3))或eq\f(1,6)Aeq\o\al(15,15)种.(3)先考虑全部，则共有Aeq\o\al(15,15)种排列方式，其中A1排在最先出场共有Aeq\o\al(14,14)种，B1排在最后出场也共有Aeq\o\al(14,14)种，A1排在最先出场同时B1排在最后出场共有Aeq\o\al(13,13)种，根据题意减去不满足题意的情况共有Aeq\o\al(15,15)－2Aeq\o\al(14,14)＋Aeq\o\al(13,13)种．C级——创新拓展练14．(2024年中山期中)《西游记》中唐僧师徒四人去西天取经，某日路上捉了妖怪甲和妖怪乙，可是取经路上，凶险颇多，那么六位如何站位各人有自己的想法．(结果用数值表示)(1)唐僧说：“徒儿们，妖怪本性不错，我们六个随便站吧．”请问一共有多少种站法？(2)八戒提出：“两只妖怪不能站在排头和排尾，否则他们会逃走！”那么按照八戒的想法，一共有多少种站法？(3)悟空说：“师傅！师傅！你必须和我站在一起！如果怕妖怪逃走，让八戒和妖怪站在一起，并且八戒在妖怪中间！”按照悟空的说法，请问一共有多少种站法？解：(1)六个人随便站，即六个人进行全排列，故符合条件的排法共有Aeq\o\al(6,6)＝720种．(2)因总共有六个位置，两只妖怪不能站在排头和排尾，先将两只妖怪排好，故有Aeq\o\al(2,4)种排法，剩下四