三角形高、中线与角平分线课件

三角形高、中线与角平分线三角形高、中线和角平分线是三角形的重要组成部分。它们在几何学中扮演着重要的角色，并用于解决各种三角形问题。三角形概念回顾定义由三条线段首尾相连组成的封闭图形叫做三角形。三角形具有三个顶点和三个内角。分类根据三条边的长度关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。性质三角形的内角和为180度，三角形两边之和大于第三边。三角形高的性质1垂直于对边三角形的高线垂直于三角形的对边。2顶点到对边高线是从三角形顶点画向对边的垂线段。3垂足在对边高线的垂足位于三角形的对边上。4直角三角形三角形高线将三角形分成两个直角三角形。三角形高性质的应用1计算三角形面积利用三角形面积公式，可以计算出三角形的面积。2证明三角形全等利用三角形高的性质可以证明两个三角形全等。3求解三角形边长利用三角形的边角关系，可以求出三角形的边长。4解决几何问题运用三角形高的性质可以解决各种几何问题。三角形高的性质在实际应用中具有重要意义。它可以帮助我们解决许多实际问题，例如测量三角形的面积、判断三角形是否全等以及求解三角形的边长等等。三角形中线的性质连接顶点到对边中点的线段三角形中线将三角形分成面积相等的两个三角形，它是一个重要的几何概念。中线交点性质三角形的三条中线交于一点，这个点称为三角形的中线交点，也称为重心。重心性质重心将每条中线分成2:1的比例，并且重心是三角形面积的重心。三角形中线性质的应用1求线段长度利用中线性质，可以求出三角形中线长度或三角形边长2证明线段关系通过中线性质，可以证明三角形中线与其他线段之间的关系3三角形分类根据中线性质，可以判断三角形的类型，例如等腰三角形4证明三角形重心运用中线性质，可以证明三角形三个中线交于一点，即重心三角形中线性质是解决几何问题的重要工具。它可以帮助我们求解线段长度，证明线段关系，并进行三角形分类三角形角平分线的性质角平分线定理三角形角平分线将对边分成两部分，这两部分的长度与角平分线所分开的两边的长度成比例角平分线性质三角形角平分线上的点到角两边的距离相等。可以利用此性质来求解相关问题。三角形角平分线性质的应用1角平分线定理利用角平分线定理求线段的比例关系，解决三角形边长、周长、面积等问题。2角平分线与平行线结合角平分线性质与平行线性质，求解三角形中线段的长度、角度等问题。3角平分线与相似三角形根据角平分线与相似三角形的关系，解决与三角形比例、面积相关的计算问题。三角形高、中线和角平分线的联系三角形高、中线和角平分线是三角形中重要的线段。它们在三角形中有着独特的性质，并相互联系。三角形高是连接三角形一个顶点与其对边垂线的线段，它垂直于对边；三角形中线是连接三角形一个顶点与其对边中点的线段；三角形角平分线是连接三角形一个顶点与其对边上对应角的平分线。了解三角形高、中线和角平分线之间的联系，有利于我们更好地理解和应用三角形的性质，解决几何问题。几何证明问题举例1已知：如图，△ABC中，AD为角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：DE=DF证明：因为AD是角平分线，所以∠BAD=∠CAD。因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠DEA=∠DFA=90°。在△DEA和△DFA中，∠BAD=∠CAD，∠DEA=∠DFA，AD=AD，所以△DEA≌△DFA（AAS）。所以DE=DF。几何证明问题举例2已知：△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE=CF。证明：∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠CAD。又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA=∠DFA=90°。在△ADE和△ADF中，∠BAD=∠CAD，∠DEA=∠DFA，AD=AD，∴△ADE≌△ADF(ASA)。∴DE=DF，AE=AF。在△BDE和△CDF中，∠DEB=∠DFC，DE=DF，BE=CF，∴△BDE≌△CDF(SAS)。∴BE=CF。几何证明问题举例3已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，BE是高线，且AD与BE相交于点F，求证：∠AFB=90°。证明：因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD。因为BE是高线，所以∠BEC=90°。所以∠ABE+∠BAE=90°，∠CBE+∠BCE=90°。因为∠BAE=∠CAD，所以∠ABE=∠CBE。所以△ABF≌△CBF（AAS）。所以∠AFB=∠CFB=90°。几何证明问题举例4已知：△ABC中，AD是角平分线，BE是高，且AD、BE交于点O，求证：∠AOB=90°+1/2∠C。证明：因为BE是高，所以∠BEC=90°。因为AD是角平分线，所以∠BAD=∠CAD。在△ABO中，∠AOB=180°-∠BAO-∠ABO=180°-1/2∠BAC-（90°-∠CBE）=90°+∠CBE-1/2∠BAC。又因为∠CBE=∠ABC-∠ABE=∠ABC-（90°-∠BAC）=∠ABC+∠BAC-90°，所以∠AOB=90°+（∠ABC+∠BAC-90°）-1/2∠BAC=90°+1/2∠C。几何证明问题举例5已知：△ABC中，AD是BC边上的中线，∠BAD=∠CAD，求证：AB=AC证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD∵∠BAD=∠CAD，AD是公共边，∴△ABD≌△ACD∴AB=AC，证毕。三角形高、中线和角平分线综合应用1已知条件已知三角形ABC的边长和高，求三角形ABC的面积和周长。思路分析利用三角形面积公式和周长公式，结合三角形高和中线之间的关系进行计算。步骤首先，利用三角形面积公式计算三角形ABC的面积，然后利用三角形周长公式计算三角形ABC的周长。举例说明例如，已知三角形ABC的边长为a,b,c,高为h，则三角形ABC的面积为1/2*a*h，周长为a+b+c。三角形高、中线和角平分线综合应用21三角形面积三角形高是面积公式的重要组成部分，利用高可以计算出三角形的面积。2三角形重心三角形三条中线交于一点，这个点称为重心，且重心将每条中线分成2:1的比例。3三角形内心三角形三条角平分线交于一点，这个点称为内心，且内心到三条边的距离相等。三角形高、中线和角平分线综合应用3题目分析仔细阅读题目，确定已知条件和求证目标，找出关键的几何图形和性质。构建辅助线根据已知条件和求证目标，合理地构建辅助线，将问题转化为易于解决的形式。运用定理将三角形高、中线和角平分线的性质以及其他相关几何定理应用到解题过程中。逻辑推理通过逻辑推理，证明结论的正确性，并注意书写格式和规范。三角形高、中线和角平分线综合应用41题目分析认真阅读题目，理解题意，找出已知条件和求证结论。2图形分析根据题目条件，绘制图形，并标注已知条件和求证结论。3思路分析结合图形和已知条件，分析三角形高、中线和角平分线的性质。4证明过程运用三角形高、中线和角平分线的性质，进行严谨的逻辑推理。三角形高、中线和角平分线综合应用51审题认真分析题意，找出已知条件和要求证明的结论。2构图根据题意画出图形，标明已知条件和要求证明的结论。3连接利用三角形高、中线和角平分线的性质和定理，尝试连接关键点，构造辅助线。4证明运用几何证明方法，严格推理，证明结论。5总结回顾解题过程，总结解题方法和技巧。三角形高、中线和角平分线知识小结1三角形的定义三个顶点和三条边组成的封闭图形，且每条边至少与其他两条边相交。三角形高从三角形的一个顶点向其对边或其延长线作垂线，这条垂线叫做三角形的高。三角形中线连接三角形一个顶点与其对边中点的线段，叫做三角形的中线。三角形角平分线平分三角形一个内角的射线叫做三角形的角平分线。三角形高、中线和角平分线知识小结2三线关系三角形的高、中线和角平分线在特殊情况下会重合，例如等边三角形的三条高、中线和角平分线均重合。应用场景三角形的高、中线和角平分线在几何证明问题中经常出现，可以帮助我们找到辅助线，简化问题。重要定理理解三角形的高、中线和角平分线的性质和定理，可以帮助我们快速解决问题。三角形高、中线和角平分线知识小结3三角形高三角形高是顶点到对边垂线段。三角形高性质：三角形的三条高交于一点，这个点称为垂心。三角形中线三角形中线是连接顶点到对边中点的线段。三角形中线性质：三角形的三条中线交于一点，这个点称为重心。三角形角平分线三角形角平分线是将一个角分成两个相等的角的射线。三角形角平分线性质：三角形的三条角平分线交于一点，这个点称为内心。典型习题讲解11例题1已知三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，求证：AD⊥BC。2解题思路根据题意，AD是三角形ABC的中线，并且AB=AC，可以利用等腰三角形的性质和中线性质进行证明。3证明因为D是BC的中点，所以BD=CD。又因为AB=AC，所以三角形ABD和三角形ACD是全等的等腰三角形，因此AD⊥BC。典型习题讲解2本节课将深入讲解一道经典例题，通过解题过程，帮助同学们更深入地理解三角形高、中线和角平分线的性质及其在几何证明中的应用。1题目分析首先要仔细审题，理解题意，明确已知条件和求证结论。2方法选择根据已知条件和求证结论，选择合适的解题方法，例如：利用三角形高、中线和角平分线的性质，或者其他几何定理。3步骤拆解将解题过程分解成若干个步骤，每个步骤要清晰明了，并有理有据。4结论验证最后要验证结论是否符合题意，并总结解题思路和方法。通过讲解这道例题，同学们可以学习到如何灵活运用三角形高、中线和角平分线的性质，以及如何进行几何证明。典型习题讲解3题目已知三角形ABC中，角A的角平分线交BC于点D，求证：AD平分三角形ABC的面积。证明过点D分别作DE垂直于AB，DF垂直于AC，则DE=DF，且S△ABD=1/2*AB*DE，S△ACD=1/2*AC*DF。结论所以，S△ABD=S△ACD，即AD平分三角形ABC的面积。典型习题讲解41问题解析认真审题，找出已知条件和目标结论2图形分析分析图形，寻找关键点和辅助线3逻辑推理应用三角形高、中线和角平分线的性质进行推理4书写证明规范书写证明过程，完整表达逻辑关系通过典型习题的讲解，可以帮助学生更好地理解三角形高、中线和角平分线的性质，并能灵活运用这些性质解决实际问题。典型习题讲解5题目解析此题考察三角形高、中线和角平分线的综合应用，需要学生掌握相关性质并灵活运用。解题思路首先根据已知条件，找到三角形中关键的线段，然后根据性质进行推导，最后得出结论。解题步骤连接点D和点E利用三角形中线性质证明DE平行于BC利用三角形角平分线性质证明AD=AE利用等腰三角形性质证明∠ADE=∠AED利用平行线性质证明∠ADE=∠ABC根据角的关系得出结论答案∠ABC