7.1.2　两条直线垂直

两条直线垂直【A层基础夯实】知识点1垂线的画法1.过点P作直线l的垂线CD,下面三角板的摆放正确的是(A)2.(2024·北京期中)已知,如图,点P在射线OA上.(1)过点P作射线OA的垂线l;(2)过点P作射线OB的垂线段PD,比较OP与PD的大小:OP>PD(填“>”“=”或“<”);

理由:垂线段最短.

【解析】(1)如图,直线l即为所求作.(2)如图,线段PD即为所求作.根据垂线段最短,可得:OP>PD.知识点2垂直的定义及性质应用3.如图,AB,CD相交于点O,OE⊥AB,若∠1=50°,则∠2的度数为(B)A.30° B.40°C.60° D.70°4.如图,点O是直线AB上一点,∠AOC=40°,OD平分∠AOC,∠COE=70°.(1)请你说明DO⊥OE;(2)OE平分∠BOC吗?为什么?【解析】(1)∵OD平分∠AOC,∴∠DOC=12∠AOC=20°∵∠COE=70°,∴∠DOE=90°,∴DO⊥OE.(2)OE平分∠BOC.理由:∵∠AOC+∠COE+∠BOE=180°,又∵∠AOC=40°,∠COE=70°,∴∠BOE=70°,∴∠BOE=∠COE,∴OE平分∠BOC.知识点3垂线段的性质及应用5.(2024·南昌期中)下列图形中,线段PQ的长能表示点P到直线MN的距离的是(D)6.如图所示,在三角形ABC中,AC=5,BC=6,BC边上的高AD=4,若点P在边AC上(不含端点)移动,求线段BP的最小值.【解析】因为AD⊥BC,所以∠ADC=90°,所以根据垂线段最短可知,当BP⊥AC时,BP最短,因为S三角形ABC=12BC·AD=12AC·所以6×4=5BP,所以BP=245,即线段BP的最小值为24【B层能力进阶】7.如图所示,从直线l外一点P引PO⊥l,垂足为点O,引斜线PB,过点O引OC⊥PB,点C为垂足,下列选项不正确的是(A)A.OB<PO B.PB>OBC.BC<OB D.PB>PO8.(2024·南京期末)如图,从点A出发的四条射线AB,AC,AD,AE满足AB⊥AC,AD⊥AE,则下列结论一定正确的是(B)A.∠CAE=∠BAD=45°B.∠CAD+∠EAB=180°C.∠CAD-∠EAB=90°D.∠CAE+∠BAD=90°9.如图是光的反射规律示意图,CO是入射光线,OD是反射光线,法线EO⊥AB,∠COE是入射角,∠EOD是反射角,∠COE=∠EOD.若∠AOC=2∠EOD,则∠COE的度数为30°.

10.如图所示,选择适当的方向击打白球,可以使白球反弹后将红球撞入袋中,此时∠1=∠2,并且∠2+∠3=90°,如果红球与洞口连线和台球桌面边缘夹角∠3=30°,那么∠1应等于60度,才能保证红球能直接入袋,此时的∠1与∠3的关系是:互余.

11.如图所示,火车站、码头分别位于A,B两点,直线a和b分别表示河流与铁路.(1)从火车站到码头怎样走最近,画图并说明理由;(2)从码头到铁路怎样走最近,画图并说明理由;(3)从火车站到河流怎样走最近,画图并说明理由.【解析】如图所示:(1)沿AB走,两点之间线段最短;(2)沿BD走,垂线段最短;(3)沿AC走,垂线段最短.12.(2024·宿迁期末)如图,已知直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,点O为垂足,OF平分∠AOC.(1)若∠COE=54°,求∠DOF的度数;(2)若∠COE∶∠EOF=2∶1,求∠DOF的度数.【解析】(1)∵OE⊥AB,∴∠AOE=90°;∵∠COE=54°,∴∠AOC=∠AOE+∠COE=144°,∵OF平分∠AOC,∴∠COF=12∠AOC∴∠DOF=180°-∠COF=108°.(2)设∠EOF=x°,则∠COE=2x°,∴∠COF=3x°,∵OF平分∠AOC,∴∠AOF=∠COF=3x°,∴∠AOE=4x°,∵OE⊥AB,∴∠AOE=90°,∴4x=90,解得x=22.5,∴∠COF=3x°=67.5°,∴∠DOF=180°-∠COF=112.5°.【C层创新挑战（选做）】13.(推理能力、创新意识)(2024·无锡期末)定义:从∠α(90°<α<180°)的顶点出发,在角的内部作一条射线,若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为补角,则称该射线为∠α的“好线”.如图,点O在直线AB上,OC,OD在直线AB上方,且OC⊥OD,射线OE是∠AOD的“好线”.(1)若∠BOD=26°,且OE在∠COD内部,则∠COE=64°;

(2)若OE恰好平分∠AOC,请求出∠BOD的度数;(3)若OF是∠AOE的平分线,OG是∠BOC的平分线,请画出图形,探究∠EOF与∠DOG的数量关系,并说明理由.【解析】(1)如图1,由于射线OE是∠AOD的“好线”,当∠DOE+∠AOD=180°时,∵∠AOD+∠BOD=180°,∴∠DOE=∠BOD=26°,∵OC⊥OD,∴∠COD=90°,∴∠COE=90°-26°=64°.(2)若OE恰好平分∠AOC,∴∠AOE=∠COE=∠BOD,∴∠BOD=13(3)∠EOF=2∠DOG或∠EOF+∠DOG=45°,理由如下:如图2-1,由于射线OE是∠AOD的“好线”,当∠AOE+∠AOD=180°时,∵∠AOD+∠BOD=180°,∴∠AOE=∠BOD,∵OF是∠AOE的平分线,∴∠EOF=12∠AOE=12∠∵OG是∠BOC的平分线,∴∠BOG=12∠BOC=12×(90°+∠BOD)=45°+12∴∠DOG=∠BOG-∠BOD=45°-12∠BOD∴∠EOF+∠DOG=45°,如图2-2,由于射线OE是∠AOD的“好线”,当∠DOE+∠AOD=180°时,∵∠AOD+∠BOD=180°,∴∠