2025届四川省德阳市高中高三上学期第一次诊断考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省德阳市高中2025届高三上学期第一次诊断考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1.设集合，集合，则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以.故选：D.2.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，则.故选：B3.生物兴趣小组在研究某种流感病毒的数量与环境温度之间的关系时，发现在一定温度范围内，病毒数量与环境温度近似存在线性相关关系，为了寻求它们之间的回归方程，兴趣小组通过实验得到了下列三组数据，计算得到的回归方程为：，但由于保存不妥，丢失了一个数据（表中用字母m代替），则（）温度（）病毒数量（万个）A. B. C. D.m的值暂时无法确定【答案】B【解析】由已知，，即样本中心为，又回归方程为，即，解得，故选：B.4.已知数列的前项和为，且，则数列的前10项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知有，故k=1.所以，从而.故选：C.5.底面相同的圆柱和圆锥有相等的侧面积，且圆柱的高恰好是其底面的直径，则圆柱与圆锥的体积之比为（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】由题意，令圆锥的高为，底面圆的半径为，则圆柱的高，所以，根据侧面积相等有，即，综上，圆柱体积，圆锥体积，所以.故选：D6.设满足，则（）A.120 B. C.40 D.【答案】A【解析】因为，令，即可得，令，即可得，可得，所以；令，即可得，得，得，所以.故选：A.7.函数单调递增，且，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.0,1【答案】C【解析】因为当时，单调递增；当时，单调递增；又因为单调递增，且，所以，解得.故选：C.8.设为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，P为的一条渐近线上一点，且，若，则的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】依题意，不妨设点在第二象限，如图，因为，所以，则，故，所以，又，双曲线的渐近线方程为，所以在中，，即，故，所以双曲线的离心率为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.下列结论正确的是（）A.随机变量X服从二项分布，则B.数据的平均数为2，则的平均数为6C.数据2，4，6，8，10，12，14的第60百分位数是10D.随机变量X服从正态分布，且，则【答案】AC【解析】对选项A，，.故A正确.对选项B，因为，的平均数为，故B错误.对选项C，，所以第60百分位数是第五个数10，故C正确.对选项D，X服从正态分布，，所以，故D错误.故选：AC10.定义在R上的函数满足，则下列结论正确的有（）A. B.为奇函数C.6是的一个周期 D.【答案】ACD【解析】该函数满足且，对于A，令，可得，解得，故A正确；对于B，令，，所以，所以为偶函数，故B错误；对于C，令，，可得，令，可得，将两式相加得：，所以，所以，所以，因此，6是的一个周期，故C正确；对于D，令，，，所以，所以，因为，，因为，令，，所以，令，，所以，令，，所以，令，，所以，由于6是的一个周期，所以，所以，故D正确；故选：ACD11.已知函数，则（）A.当时，函数有两个极值B.过点且与曲线相切的直线有且仅有一条C.当时，若是与的等差中项，直线与曲线有三个交点，则D.当时，若，则【答案】BD【解析】因为，所以，对于A，当时，令，则，所以当时，，所以单调递增，此时函数没有两个极值，故A错误；对于B，设过点0,1的直线与y=fx则切线方程为，代入0,1，得，整理得：，令，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；又，所以只有一个零点，即方程只有一个解，所以过点0,1且与曲线y=fx对于C，当时，，又因为是与的等差中项，所以直线即为直线，所以直线过定点，且此点在曲线上，设函数的对称中心为,则有，即，整理得：，所以，解得，所以函数的关于点对称，设，则有，所以，故C错误；对于D，当时，，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以y=fx所以，令，当时，，则在上单调递减，所以，所以，即，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.某中学田径队有男运动员28人，女运动员21人，按性别进行分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为14的样本，如果样本按比例分配，则男运动员应该抽取的人数为_______【答案】8【解析】田径队运动员的总人数是，要得到14人的样本，占总体的比例为，于是应该在男运动员中随机抽取(名)，故答案：813.已知，则_______【答案】【解析】由，得，由，得，解得，，所以，所以.故答案为：.14.若关于的方程有且仅有两个实根，则实数的取值范围为_______【答案】【解析】定义域为0,+∞，当时，方程即有且仅有两个实根，令，则f1=0，，令解得，所以当时，f'x>0，单调递增，当时，f'x<0又，可得函数的大致图象如图所示，所以有且仅有两个实根时，；当时，令，则gx因为当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以要使gx=0有且仅有两个实根，则，解得，综上实数的取值范围为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.平面向量，满足（1）若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值；（2）若为钝角，求实数t的取值范围．解：（1）由题意得，则，即，因为，则，所以，，所以，解得.（2）由（1）知，，因为为钝角，所以，即，若共线，设，即则，解得或，要使为钝角，则且，即实数t的取值范围为．16.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知的面积（1）若，求b的值；（2）求内角C取得最大值时的面积.解：（1）依题意，得，则，又，所以，从而，所以.（2）在中有，当且仅当，即时取等号，则，又，所以，故当内角C取得最大值时，取得最小值，此时，，，则，所以.17.已知函数的定义域为，（1）若，求函数的值域；（2）若，且，求实数取值范围．解：（1）当时，由解得，令，当时取最大值，所以，从而的值域为.（2）由于，且，所以方程的两根分别为，且，，又，即，将，代入整理得，从而，所以即实数的取值范围为.18.甲袋装有一个黑球和一个白球，乙袋也装有一个黑球和一个白球，四个球除颜色外，其他均相同．现从甲乙两袋中各自任取一个球，且交换放入另一袋中，重复进行n次这样的操作后，记甲袋中的白球数为，甲袋中恰有一个白球的概率为（1）求；（2）求的解析式；（3）求．解：（1）记第次交换后甲袋中恰有两个白球的概率为，则第次交换后甲袋中恰有零个白球的概率为，由题意得．；（2）由（1）知，所以，且，从而数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即；（3）显然的所有可能取值为0，1，2，且，，即，从而，所以的分布列为012所以.19.若函数与在各自定义域内均能取得最大值，且最大值相等，则称与为“等峰函数”．（1）证明函数与是“等峰函数”；（2）已知与为“等峰函数”．①求实数a的值；判断命题：“，且”的真假，并说明理由．（1）证明：，由于，所以当即时，；对于函数，所以函数在上单调递增，从而当时，；则函数与在各自定义域内有相同最大值，即是“等峰函数”；（2）解：①由题，其中.当时，若；若，即函数在上单调递减，在上单调递增，则此时无最大值；当时，在上单调递增，无最大值；当时，若；若，即函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，由题，其中.因为，所以时，时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，从而当时，.由于与为“等峰函数”，所以即，其中.将上式两端取自然对数得，即.令，其中.则，所以在上单调递增，又，从而；②命题为真命题，理由如下：解法1：由①，.先考察方程的实根情况，令由①知在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，又，所以存在唯一，使得.即方程在上有唯一实根，且.其次考察方程的实根情况，令由①知在上单调递减，且所以存在唯一，使得，即.由于，所以，又，由在上的单调性知；最后考察方程的实根情况，令由①知在上单调递增，且.（注意到函数，，得在递增，则）所以存在唯一，使得，即由于，所以，且，由在上的单调性知.所以，又，所以，即，从而得知命题为真命题；解法2：先同解法1可得方程在上有唯一实根，且即使令，则成等比数列．故要说明命题为真，只需即可.注意到又，，所以成立，故原命题为真四川省德阳市高中2025届高三上学期第一次诊断考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1.设集合，集合，则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以.故选：D.2.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，则.故选：B3.生物兴趣小组在研究某种流感病毒的数量与环境温度之间的关系时，发现在一定温度范围内，病毒数量与环境温度近似存在线性相关关系，为了寻求它们之间的回归方程，兴趣小组通过实验得到了下列三组数据，计算得到的回归方程为：，但由于保存不妥，丢失了一个数据（表中用字母m代替），则（）温度（）病毒数量（万个）A. B. C. D.m的值暂时无法确定【答案】B【解析】由已知，，即样本中心为，又回归方程为，即，解得，故选：B.4.已知数列的前项和为，且，则数列的前10项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知有，故k=1.所以，从而.故选：C.5.底面相同的圆柱和圆锥有相等的侧面积，且圆柱的高恰好是其底面的直径，则圆柱与圆锥的体积之比为（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】由题意，令圆锥的高为，底面圆的半径为，则圆柱的高，所以，根据侧面积相等有，即，综上，圆柱体积，圆锥体积，所以.故选：D6.设满足，则（）A.120 B. C.40 D.【答案】A【解析】因为，令，即可得，令，即可得，可得，所以；令，即可得，得，得，所以.故选：A.7.函数单调递增，且，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.0,1【答案】C【解析】因为当时，单调递增；当时，单调递增；又因为单调递增，且，所以，解得.故选：C.8.设为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，P为的一条渐近线上一点，且，若，则的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】依题意，不妨设点在第二象限，如图，因为，所以，则，故，所以，又，双曲线的渐近线方程为，所以在中，，即，故，所以双曲线的离心率为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.下列结论正确的是（）A.随机变量X服从二项分布，则B.数据的平均数为2，则的平均数为6C.数据2，4，6，8，10，12，14的第60百分位数是10D.随机变量X服从正态分布，且，则【答案】AC【解析】对选项A，，.故A正确.对选项B，因为，的平均数为，故B错误.对选项C，，所以第60百分位数是第五个数10，故C正确.对选项D，X服从正态分布，，所以，故D错误.故选：AC10.定义在R上的函数满足，则下列结论正确的有（）A. B.为奇函数C.6是的一个周期 D.【答案】ACD【解析】该函数满足且，对于A，令，可得，解得，故A正确；对于B，令，，所以，所以为偶函数，故B错误；对于C，令，，可得，令，可得，将两式相加得：，所以，所以，所以，因此，6是的一个周期，故C正确；对于D，令，，，所以，所以，因为，，因为，令，，所以，令，，所以，令，，所以，令，，所以，由于6是的一个周期，所以，所以，故D正确；故选：ACD11.已知函数，则（）A.当时，函数有两个极值B.过点且与曲线相切的直线有且仅有一条C.当时，若是与的等差中项，直线与曲线有三个交点，则D.当时，若，则【答案】BD【解析】因为，所以，对于A，当时，令，则，所以当时，，所以单调递增，此时函数没有两个极值，故A错误；对于B，设过点0,1的直线与y=fx则切线方程为，代入0,1，得，整理得：，令，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；又，所以只有一个零点，即方程只有一个解，所以过点0,1且与曲线y=fx对于C，当时，，又因为是与的等差中项，所以直线即为直线，所以直线过定点，且此点在曲线上，设函数的对称中心为,则有，即，整理得：，所以，解得，所以函数的关于点对称，设，则有，所以，故C错误；对于D，当时，，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以y=fx所以，令，当时，，则在上单调递减，所以，所以，即，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.某中学田径队有男运动员28人，女运动员21人，按性别进行分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为14的样本，如果样本按比例分配，则男运动员应该抽取的人数为_______【答案】8【解析】田径队运动员的总人数是，要得到14人的样本，占总体的比例为，于是应该在男运动员中随机抽取(名)，故答案：813.已知，则_______【答案】【解析】由，得，由，得，解得，，所以，所以.故答案为：.14.若关于的方程有且仅有两个实根，则实数的取值范围为_______【答案】【解析】定义域为0,+∞，当时，方程即有且仅有两个实根，令，则f1=0，，令解得，所以当时，f'x>0，单调递增，当时，f'x<0又，可得函数的大致图象如图所示，所以有且仅有两个实根时，；当时，令，则gx因为当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以要使gx=0有且仅有两个实根，则，解得，综上实数的取值范围为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.平面向量，满足（1）若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值；（2）若为钝角，求实数t的取值范围．解：（1）由题意得，则，即，因为，则，所以，，所以，解得.（2）由（1）知，，因为为钝角，所以，即，若共线，设，即则，解得或，要使为钝角，则且，即实数t的取值范围为．16.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知的面积（1）若，求b的值；（2）求内角C取得最大值时的面积.解：（1）依题意，得，则，又，所以，从而，所以.（2）在中有，当且仅当，即时取等号，则，又，所以，故当内角C取得最大值时，取得最小值，此时，，，则，所以.17.已知函数的定义域为，（1）若，求函数的值域；（2）若，且，求实数取值范围．解：（1）当时，由解得，令，当时取最大值，所以，从而的值域为.（2）由于，且，所以方程的两根分别为，且，，又，即，将，代入整理得，从而，所以即实数的取值范围为.18.甲袋装有一个黑球和一个白球，乙袋也装有一个黑球和一个白球，四个球除颜色外，其他均相同．现从甲乙两袋中各自任取一个球，且交换放入另一袋中，重复进行n次这样的操作后，记甲袋中的白球数为，甲袋中恰有一个白球的概率为（1）求；（2）求的解析式；（3）求．解：（1）记第次交换后甲袋中恰有两个白球的概率为，则第次交换后甲袋中恰有零个白球的概率