高中数学(人教B版)选择性必修一同步讲义2.5.2椭圆的几何性质(2知识点+8题型+巩固训练)(学生版+解析)

2.5.2椭圆的几何性质课程标准学习目标1.掌握椭圆的几何性质2.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响.3.掌握直线与椭圆的位置关系及其应用1.重点:椭圆的几何性质2.难点:椭圆的几何性质的理解和应用.知识点01椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长长轴长eq\a\vs4\al(2a)，短轴长eq\a\vs4\al(2b)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|eq\a\vs4\al(2c)对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率eeq\f(c,a)(0<e<1)【即学即练1】（23-24高二上·云南昆明·期末）焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为4:1，焦距为215A．x264+C．x216+【即学即练2】（23-24高二上·四川德阳·阶段练习）已知焦点在x轴上的椭圆x2m知识点02椭圆的离心率1.定义：eeq\f(c,a).2.离心率的范围为：(0,1).3.公式拓展：eeq\f(c,a)=1−b2a4.e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越接近于圆.【即学即练3】（21-22高二上·陕西铜川·期末）已知椭圆x2a2A．12 B．23 C．32【即学即练4】（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）若椭圆C:x2a2A．12 B．32 C．33难点：数形结合的运用示例1：（24-25高二上·浙江温州·阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)A．35 B．22 C．13【题型1：椭圆的几何性质】例1．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（

）A．x29+C．x225+y2变式1．（21-22高二上·广东湛江·期中）已知椭圆x2a2+yA．43 B．23 C．6变式2．（2024·江西·模拟预测）椭圆C:A．5 B．25 C．26 变式3．（23-24高二下·广东广州·期中）已知椭圆C:x2a2A．23 B．42 C．43变式4．（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆C:x2m+A．23 B．42 C．43变式5．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆x2t+12A．122 B．62 C．3变式6．（多选）（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知椭圆C:A．椭圆C的长轴长为47 B．椭圆CC．椭圆C的短半轴长为42 D．椭圆C的离心率为变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x216+y2b2=1(b变式8.（24-25高二上·上海·课堂例题）若方程x225−【题型2：点与椭圆的位置关系】例2．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知直线mx+ny−5=0与圆x2+A．在椭圆内 B．在椭圆外C．在椭圆上 D．不确定变式1．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）点1,1与椭圆x2A．点在椭圆上 B．点在椭圆内C．点在椭圆外 D．不确定变式2．（19-20高二·全国·课后作业）若点Pa,1在椭圆x2A．−233,C．43,+∞ 变式3．（19-20高二·全国·课后作业）点A(a,1)在椭圆xA．−∞,−2∪2,+∞ B．−2,变式4．(多选)（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线l:mx+ny=4A．点P(m,n)C．点P(m,n)变式5．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）点Aa,1在椭圆x2A．−2 B．−1 C．1 D．变式6．（23-24高二上·广东佛山·期末）设F1、F2分别是椭圆C:x24+y变式7．（20-21高二·全国·课后作业）若点A(m,1)在椭圆x24变式8．（20-21高二上·全国·课后作业）已知点(3，2)在椭圆x2m+【方法技巧与总结】点P(x0，y0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)1；点P在椭圆内部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1；点P在椭圆外部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1.【题型3：离心率取值问题】例3．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知点F，A，B分别是椭圆x2a2A．15 B．13 C．26变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(A．33 B．12 C．52变式2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知F1,F2分别为椭圆E:x2a2+yA．102 B．104 C．53变式3．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）设椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0A．57 B．63 C．2−1变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为FA．154 B．157 C．215变式5.（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为FA．22 B．32 C．12变式6．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(0<b<a≤3变式7．（24-25高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1,F2在x轴上，A,B是椭圆的顶点，P

变式8．（2024高二上·全国·专题练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2，点A【方法技巧与总结】1．椭圆的离心率的求法：(1)直接求a，c后求e，或利用eeq\r(1－\f(b2,a2))，求出eq\f(b,a)后求e.(2)将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2a2－c2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于eq\f(c,a)(e)的方程求e.2．求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．【题型4：离心率取值范围问题】例4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)A．0,22 B．0,33 C．变式1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上一点AA．22,3−1 B．22,1变式2．（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆x2a2+yA．33,1 B．0,33 C．变式3．（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点A是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左顶点，过点A且斜率为12的直线l与椭圆C交于另一点P（点A．0,12 B．0,22 C．变式4．（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知F1,F2分别是椭圆M:x2a2A．0,255 B．255,1变式5．（23-24高二上·浙江丽水·期末）设椭圆C1:x2m+yA．e1e2的最小值为14 C．e1e2的最大值为14 变式6．（23-24高二上·安徽·期末）已知椭圆C:x2a2A．0,22 B．22,1 C．变式7．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)变式8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,【方法技巧与总结】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式e=c②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2【题型5：直线与椭圆的位置关系】例5．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）直线l：3x+y−3A．2,3 B．213,11313变式1．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知直线l:y=x+A．−7,7C．−6,6变式2．（23-24高二上·全国·课后作业）直线y=3x−1A．0 B．1C．2 D．无数个变式3．（21-22高二上·全国·课后作业）直线x=1与椭圆xA．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定变式4．（21-22高二上·全国·课前预习）直线y=x+1A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定变式5．（23-24高二上·上海宝山·期中）若直线y=kx−1与椭圆变式6．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆M：y2a2(1)求椭圆M的标准方程；(2)若直线l1与椭圆M相切，且直线l1与直线l：x−变式7．（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线l:y=mx−2【方法技巧与总结】直线ykx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)1(a>b>0)的位置关系，判断方法：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ykx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)1，))消y得一元二次方程．当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当Δ0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．【题型6：弦长问题】例6．（23-24高二上·天津和平·期中）直线x=−1被椭圆xA．32 B．32 C．3 变式1．（23-24高二上·全国·单元测试）过椭圆x24+y2A．4 B．23C．1 D．43变式2．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线y=2x+m与椭圆C：x25+变式3．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知直线x−2y+1=0与椭圆x24+变式4．（22-23高二·全国·课后作业）直线x−2y+2=0与椭圆x2变式5．（22-23高二上·北京丰台·期末）过椭圆x24+变式6．（21-22高二·全国·课后作业）已知经过椭圆C：x26+变式7．（23-24高二上·福建三明·期末）已知椭圆C:x2a(1)求椭圆C的标准方程：(2)经过椭圆C的右焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长．变式8．（23-24高二上·北京西城·期末）已知椭圆C:x2a2+y(1)求椭圆C的离心率；(2)记线段MP与椭圆C的交点为Q，求PQ的取值范围.【方法技巧与总结】1.定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．2.求弦长的方法①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|eq\r(1＋k2)（x1+x2）2−4x1∙x2【题型7：中点弦问题】例7．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）已知M4,2是直线l被椭圆x2+4A．2x+yC．x−2y−8=0变式1．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知M4,2是直线l被椭圆xA．2x+y−8=0 B．x+2y变式2．（11-12高二上·浙江衢州·期末）斜率为1的直线与椭圆x24+y23=1相交于A、B变式3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）过椭圆E:x2a2+y变式4．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线3x+4y−7=0与椭圆x变式5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为32，过点变式6．（24-25高二上·上海·课堂例题）在直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为k'，求证：k变式7．（23-24高二下·北京·开学考试）已知椭圆x2a2+y2b2=1((1)求椭圆的标准方程；(2)若线段AB中点的纵坐标14，求直线l【方法技巧与总结】解决椭圆中点弦问题的两种方法：（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和【题型8：解答题汇总】例8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P在第一象限，且PF变式1．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知A−2,0，B1,32在椭圆C：x2(1)求a，b的值及C的离心率；(2)若动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，求四边形PF变式2．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）给定椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0，称圆心在原点O(1)求椭圆C和其“准圆”的方程；(2)若点A，B是椭圆C的“准圆”与x轴的两交点，P是椭圆C上的一个动点，求AP⋅变式3．（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知椭圆M:x2a2+y(1)求椭圆M的方程；(2)若直线l过椭圆上顶点，且k=1，求AB变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2(1)求C的方程；(2)设P为C上一点，M1,0.若存在实数λ使得PF1变式5．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1(1)求椭圆的离心率；(2)设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，点C为直线x=4上一点，以C为圆心的圆同时与x轴和直线l相切，且一、单选题1．（24-25高二上·全国·课后作业）若椭圆x2a2+y2b2=1a>A．1617 B．41717 C．42．（23-24高二上·云南曲靖·阶段练习）椭圆x2A．22 B．4 C．8 3．（2024·广东·模拟预测）已知椭圆C:x2m+A．3 B．13 C．2 D．4．（23-24高二上·广东潮州·期末）已知椭圆的方程为x2A．长轴长为2 B．短轴长为3 C．焦距为1 D．离心率为15．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）在△ABC中，sinB+sinC=2sinA，已知点B−3,0，C3,0，设点C到直线AB的最大距离为d1A．34 B．433 C．36．（22-23高二上·河北保定·期末）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的面积为6π，两个焦点分别为FA．4 B．3 C．2 D．67．（24-25高二上·全国·课后作业）已知P是椭圆x25+y24=1A．534,C．152,18．（24-25高二上·全国·课后作业）椭圆x2A．3 B．5 C．3或5 D．不存在二、多选题9．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）关于方程mxA．若m>B．若m=nC．若n>D．若m=0,10．（24-25高二上·全国·课后作业）阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为62A．x28+C．x212+11．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知椭圆x29+y2b2=1(0<b<3)的左､右焦点分别为A．椭圆的短轴长为6B．AFC．离心率为3D．椭圆上不存在点P，使得∠三、填空题12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>013．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点P在椭圆C:x225+y2914．（24-25高二·上海·随堂练习）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为左焦点、长轴长为40万公里、短轴长为4万公里的椭圆轨道T1绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为左焦点、长轴长为20万公里的椭圆轨道T2绕月飞行，则椭圆轨道T2四、解答题15．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的离心率为e=23(2)椭圆C与x22+y216．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆C：x2a2+y(1)求椭圆方程；(2)若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点Ss,0使得17．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆C:(x−1)2+y2=r2r>0在椭圆E:x24+y2=1(1)求r的取值范围；(2)是否存在圆C，使得直线MN与之相切，若存在求出圆C的方程，若不存在，说明理由.18．（24-25高三上·山东泰安·开学考试）设椭圆C:x2a2+y2b(1)求C的方程．(2)过左焦点F1作倾斜角为80°的直线l．直线l与C相交于A，B两点，求△19．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，A,B都是椭圆C:x2a2+y2b

(1)求C的离心率；(2)若△PAB的面积比△POA的面积大122.5.2椭圆的几何性质课程标准学习目标1.掌握椭圆的几何性质2.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响.3.掌握直线与椭圆的位置关系及其应用1.重点:椭圆的几何性质2.难点:椭圆的几何性质的理解和应用.知识点01椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长长轴长eq\a\vs4\al(2a)，短轴长eq\a\vs4\al(2b)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|eq\a\vs4\al(2c)对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率eeq\f(c,a)(0<e<1)【即学即练1】（23-24高二上·云南昆明·期末）焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为4:1，焦距为215A．x264+C．x216+【答案】A【分析】根据题意得到方程组，求出b=1,【详解】由题意得2a2b=4，解得b=1,故椭圆方程为x2【即学即练2】（23-24高二上·四川德阳·阶段练习）已知焦点在x轴上的椭圆x2m【答案】6【分析】根据焦点以及焦距即可根据a,【详解】由于x2m+y2由于焦距是2，所以2c=2⇒c故长轴长为2a故答案为：6知识点02椭圆的离心率1.定义：eeq\f(c,a).2.离心率的范围为：(0,1).3.公式拓展：eeq\f(c,a)=1−b2a4.e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越接近于圆.【即学即练3】（21-22高二上·陕西铜川·期末）已知椭圆x2a2A．12 B．23 C．32【答案】D【分析】由题求出b、c、a，即可求出离心率.【详解】由题的2b所以a=所以离心率为ca.【即学即练4】（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）若椭圆C:x2a2A．12 B．32 C．33【答案】C【分析】由椭圆离心率的公式e=【详解】椭圆C:x2则该椭圆的离心率e=.难点：数形结合的运用示例1：（24-25高二上·浙江温州·阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)A．35 B．22 C．13【答案】A【分析】作F2E⊥MN，结合条件可得MF1MN=2【详解】如图，F2E⊥因为∠F2F1N=∠F∴F1N∵2S∴2MN⋅F所以MF1=∴MEMF在Rt△MEF2中，ME2∴2化简整理得5c∴5e2−8e+3=0，解得e∴e.

【题型1：椭圆的几何性质】例1．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（

）A．x29+C．x225+y2【答案】D【分析】根据已知列方程结合a2=b【详解】因为2a+2b又因为a2所以a2a−解得a=5,椭圆焦点在x轴时，椭圆的标准方程为：x2椭圆焦点在y轴时，椭圆的标准方程为：y2.变式1．（21-22高二上·广东湛江·期中）已知椭圆x2a2+yA．43 B．23 C．6【答案】A【分析】根据焦点坐标得到c，再由∠F【详解】因为椭圆x2a2+y又上顶点为P，且∠F1PF2变式2．（2024·江西·模拟预测）椭圆C:A．5 B．25 C．26 【答案】C【分析】根据椭圆的标准方程求出a,b,c，再求长轴长【详解】由题得a2=80，b2=35，所以所以长轴长2a=85所以长轴长与焦距之差等于2a−2c变式3．（23-24高二下·广东广州·期中）已知椭圆C:x2a2A．23 B．42 C．43【答案】C【分析】首先得到b2=a2−6【详解】因为a2依题意可得b2所以c2则离心率e=ca=c所以椭圆C的长轴长为2a变式4．（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆C:x2m+A．23 B．42 C．43【答案】D【分析】由离心率公式首先求得参数m的值，进一步可得a以及长轴长.【详解】因为方程C:x2从而e=ca所以a=m+6=23.变式5．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆x2t+12A．122 B．62 C．3【答案】C【分析】根据离心率的公式，求解t，再根据方程求椭圆的长轴长.【详解】由条件可知，t+12=a2，t由条件可知，e2=12所以a2=18，椭圆的长轴长变式6．（多选）（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知椭圆C:A．椭圆C的长轴长为47 B．椭圆CC．椭圆C的短半轴长为42 D．椭圆C的离心率为【答案】AD【分析】利用椭圆的标准方程分析其性质即可得解.【详解】因为椭圆C:x2且椭圆C的焦点在y轴上，所以椭圆C的长轴长为47，焦距为45，短半轴长为22D变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x216+y2b2=1(b【答案】4【分析】由题意可得△AF1F2为等腰直角三角形，又a【详解】设|F1F结合AF1⊥所以F1F2所以b=所以C的短轴长为2b故答案为：42变式8.（24-25高二上·上海·课堂例题）若方程x225−【答案】0或9【分析】根据方程的形式，结合长轴概念，分类讨论得出结果.【详解】当焦点在x轴上时，有25−m>16+m当焦点在y轴上时，有16+m>25−m综上，实数m的值为0或9．故答案为：0或9.【题型2：点与椭圆的位置关系】例2．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知直线mx+ny−5=0与圆x2+A．在椭圆内 B．在椭圆外C．在椭圆上 D．不确定【答案】A【分析】由直线与圆没有公共点得m2+n【详解】∵直线mx+ny−5=0∴圆心(0,0)到直线的距离d=5m∴0≤m又∵m∴点Pm.变式1．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）点1,1与椭圆x2A．点在椭圆上 B．点在椭圆内C．点在椭圆外 D．不确定【答案】C【分析】将点代入椭圆即可求解.【详解】由于125+19<1变式2．（19-20高二·全国·课后作业）若点Pa,1在椭圆x2A．−233,C．43,+∞ 【答案】C【解析】根据题中条件，得到a2【详解】因为点Pa,1在椭圆所以a22+123>1.变式3．（19-20高二·全国·课后作业）点A(a,1)在椭圆xA．−∞,−2∪2,+∞ B．−2,【答案】C【分析】由题意可得a2【详解】因为点A(a,1)在椭圆x24解得−2<a<2.【点睛】本题考查点与椭圆的位置关系，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.变式4．(多选)（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线l:mx+ny=4A．点P(m,n)C．点P(m,n)【答案】CC【分析】首先根据直线与圆相切的公式，得到m2【详解】由直线l与圆O相切，可知，圆心到直线l的距离d=即m2+n并且2<5，所以圆在椭圆C内，P(mC变式5．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）点Aa,1在椭圆x2A．−2 B．−1 C．1 D．【答案】CC【分析】由点与椭圆的位置关系得出a的值.【详解】由题意知a24+C变式6．（23-24高二上·广东佛山·期末）设F1、F2分别是椭圆C:x24+y【答案】2【分析】分析可知，点P在圆x2【详解】在椭圆C中，a=2，b=2若∠F1PF2=90所以，点P在以原点为圆心，半径为2的圆上，即点P在圆x2联立x2+y2=2x2即满足条件的点P的个数为2.故答案为：2.变式7．（20-21高二·全国·课后作业）若点A(m,1)在椭圆x24【答案】(−【分析】由A在椭圆的内部有m2【详解】∵点A(m,1)∴m24+12故答案为：(−变式8．（20-21高二上·全国·课后作业）已知点(3，2)在椭圆x2m+【答案】点在椭圆外【分析】由已知得9m+4【详解】解：因为点(3，2)在椭圆上，所以9m+4n=1，又故答案为：点在椭圆外.【方法技巧与总结】点P(x0，y0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)1；点P在椭圆内部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1；点P在椭圆外部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1.【题型3：离心率取值问题】例3．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知点F，A，B分别是椭圆x2a2A．15 B．13 C．26【答案】C【分析】根据题意，作出图形，取FA的中点N，连接MN,BF，分别求出MN,【详解】如图，取FA的中点N，连接MN,BF,则易得|BF

在Rt△BOF中，cos∠BFO=c在△FMN中，由余弦定理，|即33c24解得a=3c或a=−5故选:B.变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(A．33 B．12 C．52【答案】A【分析】结合椭圆定义在△PF1F2中由余弦定理求得PF1=2b【详解】连接PF2,QF在△PPF即(2a解得x=2b22由PF1=在△QQF同理可解得QF又因为PF1=3所以e=.变式2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知F1,F2分别为椭圆E:x2a2+yA．102 B．104 C．53【答案】D【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，易得等式求出离心率.【详解】由椭圆定义得：PF1+所以解得：PF再由于PF1⊥43a2+23a.变式3．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）设椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0A．57 B．63 C．2−1【答案】A【分析】利用已知条件求出P点坐标，代入PF【详解】

如图：由题意不妨设Px1,y1因为∠F1PF2所以PF则PF1⋅PF又由∠PAF2=45∘，所以结合S△F1代入x2a2即e2+2e−2=0，解得e=3.变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为FA．154 B．157 C．215【答案】D【分析】根据对称以及垂直可证四边形MF1NF2是矩形，即可根据椭圆定义，以及勾股定理求解x【详解】点M,N关于原点对称，所以线段MN,又MF1⋅MF2=0，故∠设MF2=x，则MF1=2由于点M在第一象限，所以x=由15MF2=N整理得7c2+4ac−8变式5.（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为FA．22 B．32 C．12【答案】C【分析】由已知可得点P在以AB为直径的圆上，P在以OF为直径的圆上，进而可得sin∠【详解】由PA⊥PB易知，点P在以又P在以OF为直径的圆上，则PO⊥PF，且OF=可知sin∠PFO=结合b2=a解得e=.变式6．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(0<b<a≤3【答案】5【分析】根据椭圆对称性以及MF1≥2NF1可得|F【详解】因为过原点的直线与C相交于M，N两点，MF1⋅NF1=0,故四边形M所以2a−|F又|F即(2a−|F解得|F2M|=a结合|F2M|≤又a≤因此59a2=c故答案为：5【点睛】关键点点睛：由|F1M|2+|F变式7．（24-25高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1,F2在x轴上，A,B是椭圆的顶点，P

【答案】5【分析】利用椭圆性质写出焦点以及顶点坐标，再由PF1⊥x轴，PF【详解】根据题意设椭圆的标准方程为x2如图所示则有F1直线PF1方程为x=−c，代入方程x2又PF2//即b2a−0所以a2=b即可得椭圆的离心率为e=故答案为：5变式8．（2024高二上·全国·专题练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2，点A【答案】55/【分析】利用椭圆的定义，通过假设一条焦半径长，就可以得到其他焦半径的表示，再利用勾股定理来消元假设的字母，最后利用一个角和余弦定理来建立一个a,【详解】令椭圆C：x2a2+y设|AF2|=m，则|F2B=−而|AB|=52m即(2a−m在Rt△BF在△AF1即(4整理得5c2=所以椭圆C的离心率为55故答案为：55【方法技巧与总结】1．椭圆的离心率的求法：(1)直接求a，c后求e，或利用eeq\r(1－\f(b2,a2))，求出eq\f(b,a)后求e.(2)将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2a2－c2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于eq\f(c,a)(e)的方程求e.2．求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．【题型4：离心率取值范围问题】例4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)A．0,22 B．0,33 C．【答案】A【分析】由题意可得PF2≥a2c−c，若点【详解】由题意可知：F2因为点P为直线x=a2若点F2在线段PF1则2c≥a2c所以C的离心率的取值范围是33.变式1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上一点AA．22,3−1 B．22,1【答案】A【分析】设椭圆的左焦点为F1，根据AF⊥BF，得到四边形为AF1BF为矩形，再由【详解】设椭圆x2a2因为AF⊥BF，所以四边形为AF因为∠ABF所以AF=2csinα，由椭圆的定义得2a所以e=因为α∈π6所以sinα其中sin=2所以2sin所以e∈变式2．（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆x2a2+yA．33,1 B．0,33 C．【答案】C【分析】将条件中的不等式用坐标表示，再结合椭圆方程化简不等式，即可求解椭圆的离心率的范围.【详解】设Px0,y0，xkAP由题意可知，−b2a2≤−则e=变式3．（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点A是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左顶点，过点A且斜率为12的直线l与椭圆C交于另一点P（点A．0,12 B．0,22 C．【答案】C【分析】由题意可推得要使PA≥PQ，只需−kPQ≥12，由此设直线AP方程，并联立椭圆方程，求出点Q【详解】要使PA≥PQ，只要∠PQA因为直线l的斜率为12即只要−k设直线AP方程为：y=联立x2a因为x1=−a故x2所以点P−可得kOP由于OP⊥PQ，故令−kPQ≥可得b2<a所以离心率的取值范围是0,2．【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.变式4．（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知F1,F2分别是椭圆M:x2a2A．0,255 B．255,1【答案】C【分析】根据题意，由椭圆的定义，分别表示出PF【详解】由题意得PF1+由PF1=即4b2=4故M的离心率的取值范围为25变式5．（23-24高二上·浙江丽水·期末）设椭圆C1:x2m+yA．e1e2的最小值为14 C．e1e2的最大值为14 【答案】A【分析】由椭圆的离心率，结合椭圆的性质及对勾函数的单调性求解．【详解】已知椭圆C1:x2m+y又m∈(2,8)则e1=m则e1设f(m)=则根据对勾函数知f(m)在(2,4)则f(m)∈[8则e1即e1e2．变式6．（23-24高二上·安徽·期末）已知椭圆C:x2a2A．0,22 B．22,1 C．【答案】C【分析】先求出直线所过的定点，由题，此定点也在椭圆上，从而得出a，b，c的关系，用离心率表示出a，再由题目中长轴长的范围列出关于离心率的不等式，求解即可.【详解】直线x−my+2−2m=0即x+2=my+2设c=a2所以a2=4因为C的长轴长大于43，所以a>23所以2−e21−e2.变式7．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)【答案】5【分析】由(FP+FA)⋅AP=0可得|FA|=|FP【详解】取AP的中点Q，连接FQ，如图所示，则FQ=12所以FQ⊥AP，所以即|FA|=|FP|，且又因为点P在右准线x=所以|FP|≥a所以ac≥a2c2−1又0<e<1，所以故答案为：[5变式8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,【答案】2【分析】利用条件设P表示Q，由平行四边形的性质及椭圆的性质得出不等关系计算即可.【详解】注意到直线l:x=a2又四边形PQF2F即−a<2a2故C的离心率的取值范围为2−1,1【方法技巧与总结】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式e=c②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2【题型5：直线与椭圆的位置关系】例5．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）直线l：3x+y−3A．2,3 B．213,11313【答案】A【分析】将直线方程与椭圆方程联立解方程即可得出答案.【详解】由3x+y−3=0当x=2时，y=−3，当所以直线与椭圆的交点坐标为2,−变式1．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知直线l:y=x+A．−7,7C．−6,6【答案】A【分析】直线l和椭圆C有公共点，联立直线方程和椭圆方程消去y便可得到关于x的一元二次方程，方程有解，从而有判别式Δ≥0，即可解出m的取值范围．【详解】直线y=x+∵直线与椭圆有公共点，方程有解，∴Δ=64m解得−7≤m变式2．（23-24高二上·全国·课后作业）直线y=3x−1A．0 B．1C．2 D．无数个【答案】D【分析】联立直线与椭圆的方程消去y，再利用判别式判断作答.【详解】由y=3x−1x2所以直线y=3x−1变式3．（21-22高二上·全国·课后作业）直线x=1与椭圆xA．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【答案】C【分析】根据椭圆的方程求得短轴的右顶点为(1,0)，进而得到直线与椭圆的位置关系.【详解】由椭圆的方程x2+y22所以直线x=1与椭圆x.变式4．（21-22高二上·全国·课前预习）直线y=x+1A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【答案】D【分析】代数法联立直线与椭圆，转化为二次方程根的问题来判断即可.【详解】联立y=则Δ=所以方程有两个不相等的实数根，所以直线与椭圆相交.变式5．（23-24高二上·上海宝山·期中）若直线y=kx−1与椭圆【答案】m≥1且【分析】根据直线方程写出其所过定点，结合其与椭圆的位置关系，可得答案.【详解】由直线y=kx−1易知当该点在椭圆内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，则m>0025+故答案为：m≥1且m变式6．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆M：y2a2(1)求椭圆M的标准方程；(2)若直线l1与椭圆M相切，且直线l1与直线l：x−【答案】(1)y2(2)y=【分析】（1）由焦距、所过点求椭圆参数，即可得方程；（2）由平行关系设直线方程l1：y=x+b【详解】（1）由题意得2c=4a所以椭圆M的标准方程为y2（2）设与l平行的l1：y由y26+由Δ=4b2−4×4b2−6=0变式7．（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线l:y=mx−2【答案】m<−1【分析】联立直线与椭圆方程，利用判别式大于0，解不等式可得结果.【详解】联立y=mx−2x2依题意得Δ=(16m)解得m<−12【方法技巧与总结】直线ykx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)1(a>b>0)的位置关系，判断方法：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ykx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)1，))消y得一元二次方程．当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当Δ0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．【题型6：弦长问题】例6．（23-24高二上·天津和平·期中）直线x=−1被椭圆xA．32 B．32 C．3 【答案】D【分析】求出交点得纵坐标即可得解.【详解】令x=−1，得14+所以直线x=−1被椭圆x24.变式1．（23-24高二上·全国·单元测试）过椭圆x24+y2A．4 B．23C．1 D．43【答案】D【分析】根据椭圆的方程，求得椭圆的右焦点的坐标为F(3,0)【详解】因为椭圆x24+y2所以椭圆的右焦点的坐标为F(将x=3，代入椭圆的方程，求得y=±.变式2．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线y=2x+m与椭圆C：x25+【答案】5【分析】联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，建立△AOB的面积表达式，结合基本不等式求解出m2=212【详解】由y=2x+mx设Ax1,y1，BAB=又O到直线AB的距离d=则△AOB的面积S当且仅当m2=21−m2，即此时，AB=故答案为：5变式3．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知直线x−2y+1=0与椭圆x24+【答案】352/【分析】联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案.【详解】联立x−2y+1=0与x设Ax则x1故AB=故答案为：35变式4．（22-23高二·全国·课后作业）直线x−2y+2=0与椭圆x2【答案】5【分析】本题先联立直线l与椭圆C方程，消去x，整理可得一元二次方程，解得A,【详解】联立x−2y+2=0x2+4y因此x1故AB=故答案为：5.变式5．（22-23高二上·北京丰台·期末）过椭圆x24+【答案】3【分析】根据题意即求通径大小，先求c=1，令x=1代入椭圆方程求得【详解】由c2=a不妨令x=1，代入x24所以y=±32故答案为：3变式6．（21-22高二·全国·课后作业）已知经过椭圆C：x26+【答案】26【分析】由题可得椭圆焦点坐标，进而可求MN=【详解】由题可得c=6−2=2将x=2代入x26解得y=±不妨令M2,63∴△OMN的面积为S变式7．（23-24高二上·福建三明·期末）已知椭圆C:x2a(1)求椭圆C的标准方程：(2)经过椭圆C的右焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长．【答案】(1)x(2)24【分析】（1）根据椭圆右焦点F1,0，且过点Q（2）根据题意求出直线方程为y=【详解】（1）由题意得a2解得a2故椭圆的标准方程为x2（2）由题意可得直线l的方程为y=与椭圆方程联立y=x−1设Mx1,y1故MN=1+变式8．（23-24高二上·北京西城·期末）已知椭圆C:x2a2+y(1)求椭圆C的离心率；(2)记线段MP与椭圆C的交点为Q，求PQ的取值范围.【答案】(1)5(2)1,5−【分析】（1）根据四边形面积得到ab=6，结合焦点坐标，求出a（2）PQ=MP−MQ=5−MQ，设Qx1,【详解】（1）由题意得c=5,a2解得a=3,所以椭圆C的离心率e=（2）由题意，得PQ=设Qx1,所以MQ=因为x1所以当x1=95时，|MQ所以PQ的取值范围为1,5−4【方法技巧与总结】1.定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．2.求弦长的方法①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|eq\r(1＋k2)（x1+x2）2−4x1∙x2【题型7：中点弦问题】例7．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）已知M4,2是直线l被椭圆x2+4A．2x+yC．x−2y−8=0【答案】C【分析】设出直线l方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用k表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于k的方程可得解.【详解】当直线l的斜率不存在时，由对称性可知l被椭圆截得线段AB的中点在x轴上，不合题意；故可设直线l的方程为y−2=kx1+4k有Δ>0，x1+x所以直线l的方程为y−2=−12.变式1．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知M4,2是直线l被椭圆xA．2x+y−8=0 B．x+2y【答案】C【分析】设出直线l方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用k表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于k的方程可得【详解】当直线l斜率不存在时，由对称性可知，此时直线l被椭圆x2+4y而已知M4,2是线段AB的中点，不在x故直线斜率存在，可设斜率为k，则直线的方程为y−2=即kx−代入椭圆的方程化简得(1+4k所以x1+x故直线l方程为y−2=−12.变式2．（11-12高二上·浙江衢州·期末）斜率为1的直线与椭圆x24+y23=1相交于A、B【答案】−43【分析】根据题意，设直线AB的方程为y=【详解】设直线AB的方程为y=x+可得7x由韦达定理可得x1则xM则yM=x所以m=故答案为：−变式3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）过椭圆E:x2a2+y【答案】53/【分析】求出直线AB的方程，与椭圆方程联立结合弦的中点坐标求解即得.【详解】依题意，kAB=13−0由y=−23(x由弦AB的中点为M(12,1由a>1可得上述关于x的一元二次方程Δ>0

所以椭圆E的离心率为e=故答案为：5变式4．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线3x+4y−7=0与椭圆x【答案】3【分析】利用点差法，结合椭圆方程和直线方程，即可求得结果.【详解】设A,B坐标为x1作差可得(x1−根据题意可得y1−y2x1−当m=3时，联立3x+4其Δ=422故答案为：3.变式5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为32，过点【答案】−【分析】根据中点坐标公式、椭圆离心率公式，结合点差法进行求解即可.【详解】设Ax1,y1，B由题意可得x1+x将A，B的坐标的代入椭圆的方程：x1作差可得x1所以y1又因为离心率e=ca=3所以−b2a2=−故答案为：−1变式6．（24-25高二上·上海·课堂例题）在直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为k'，求证：k【答案】(1)x(2)证明见解析【分析】（1）由题意，利用焦距，长轴，短轴间关系可得答案；（2）设Ax1,y1，Bx2【详解】（1）设半焦距为c，长半轴为a，短半轴为b，依题意可知2c=23故椭圆的标准方程为x2（2）证明：设Ax1,y1，Bx2把Ax1,y1，B两式相减可得y2−y1x则k⋅k'变式7．（23-24高二下·北京·开学考试）已知椭圆x2a2+y2b2=1((1)求椭圆的标准方程；(2)若线段AB中点的纵坐标14，求直线l【答案】(1)x(2)x【分析】（1）根据已知条件及椭圆的简单几何性质即可求解；（2）根据已知条件设出直线l的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，结合线段AB中点在直线l上即可求解.【详解】（1）由题意可知2a=4,解得因为e=所以c=所以b2=a所以椭圆的方程为x2（2）由题意可知直线斜率存在，如图所示设l:y=y=kx+1x所以Δ=8k2x1设线段AB中点的坐标为Mx所以xy0又因为线段AB中点的纵坐标14所以y0=k所以直线方程为y=12【方法技巧与总结】解决椭圆中点弦问题的两种方法：（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和【题型8：解答题汇总】例8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P在第一象限，且PF【答案】(1)x(2)0,3【分析】（1）依题意得焦点坐标，再利用椭圆的定义求得a，进而求得b即可；（2）设Px,y(x【详解】（1）由已知得2c=23∴F1−3,0同理MF∴2a∴a=2，∴椭圆C的标准方程为x2（2）设Px,y(x>0,y

∴PF由椭圆方程可得−3−整理得3x2≤9即点P的横坐标的取值范围是0,3变式1．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知A−2,0，B1,32在椭圆C：x2(1)求a，b的值及C的离心率；(2)若动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，求四边形PF【答案】(1)a=2，b=(2)0,2【分析】（1）待定系数法求出椭圆方程，并求出离心率；（2）在（1）的基础上求出F1F2【详解】（1）因为A−2,0，B1,3所以−22a2+0=11所以c=a2（2）由（1）得x24+故F1因为动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，所以四边形PF1Q当且仅当P，Q分别为上顶点和下顶点时，等号不成立.变式2．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）给定椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0，称圆心在原点O(1)求椭圆C和其“准圆”的方程；(2)若点A，B是椭圆C的“准圆”与x轴的两交点，P是椭圆C上的一个动点，求AP⋅【答案】(1)椭圆C的方程为x23+(2)−3,−1.【分析】（1）根据已知求椭圆方程中的参数，即得椭圆方程，再由“准圆”定义写出对应“准圆”的方程；（2）设Pm,n−3≤m≤3，写出A【详解】（1）由题意知c=2，且a=故椭圆C的方程为x23+（2）由题意，设Pm,n不妨设A2,0，B−2,0，所以AP=m所以AP⋅BP=m2所以AP⋅BP的取值范围是

变式3．（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知椭圆M:x2a2+y(1)求椭圆M的方程；(2)若直线l过椭圆上顶点，且k=1，求AB【答案】(1)x(2)3【分析】（1）由题意可得a2=b（2）由题意可得直线l的方程，将其与椭圆方程联立后，再结合韦达定理及弦长公式求解即可.【详解】（1）由题意得，a2解得c=2，a=∴椭圆M的方程为x2（2）因为k=1，椭圆上顶点为0,1所以直线l的方程为y=x+1，设A联立y=x+1又直线l与椭圆M有两个不同的交点，所以Δ=9>0，∴x1+x∴AB=

变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C:x2a2(1)求C的方程；(2)设P为C上一点，M1,0.若存在实数λ使得PF1【答案】(1)x(2)4【分析】（1）根据题意结合离心率列式解得a2（2）根据椭圆定义可得λ=【详解】（1）因为椭圆C的长轴长与短轴长之和为6，则2a+2b=6又因为e=ca=32联立①②解得a2=4b2=1（2）设Px,y因为存在实数λ使得PF1+可得λ=又因为34x−43所以λ的取值范围为43变式5．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1(1)求椭圆的离心率；(2)设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，点C为直线x=4上一点，以C为圆心的圆同时与x轴和直线l相切，且【答案】(1)1(2)x【分析】（1）根据3|OA|=2|（2）设椭圆方程为x24c2+y23c2=1，直线l的方程为y【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，由已知得，3a又由a2=b2+c2所以，椭圆的离心率为12（2）由（1）知，a=2c,由题意，F−c,0，则直线l点P的坐标满足x24c2+解得x1=c,x因为点P在x轴的上方，所以Pc由圆心C在直线x=4上，可设C由（1）知A−2c,0，则k∴kOC=kAP，即t因为圆C与x轴相切，所以圆的半径r为2，由圆C与l:y=34x+c相切，得圆心故a=4,b=2【点睛】思路点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．一、单选题1．（24-25高二上·全国·课后作业）若椭圆x2a2+y2b2=1a>A．1617 B．41717 C．4【答案】A【分析】由已知条件可列出等量关系式c+b2c−【详解】依题意得c+b2所以a=b2.2．（23-24高二上·云南曲靖·阶段练习）椭圆x2A．22 B．4 C．8 【答案】A【分析】由椭圆的标准方程及焦距的定义即可得解.【详解】由x29+y2所以焦距为2c．3．（2024·广东·模拟预测）已知椭圆C:x2m+A．3 B．13 C．2 D．【答案】D【分析】先分别表示出a,【详解】∵a=m.4．（23-24高二上·广东潮州·期末）已知椭圆的方程为x2A．长轴长为2 B．短轴长为3 C．焦距为1 D．离心率为1【答案】A【分析】利用椭圆的标准方程求出a,【详解】由椭圆的方程x24+y2则a=2,所以长轴长为2a=4，短轴长为2b=235．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）在△ABC中，sinB+sinC=2sinA，已知点B−3,0，C3,0，设点C到直线AB的最大距离为d1A．34 B．433 C．3【答案】A【分析】根据正弦定理进行边角互化，可知点A的轨迹及d1，d【详解】由已知B−3,0，C3,0，则由sinB+sinC所以动点A的轨迹是以B，C为焦点，长轴长为12得椭圆，不含左、右顶点，所以当且仅当点A是椭圆的上、下顶点时，点A到直线BC的距离最大为d2当AB⊥BC时，点C到直线AB的距离最大为所以d1.6．（22-23高二上·河北保定·期末）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的面积为6π，两个焦点分别为FA．4 B．3 C．2 D．6【答案】D【分析】根据给定条件，可得ab=6，再由四边形周长求出a【详解】依题意，ab=6，由椭圆对称性，得线段AB则四边形AF由椭圆的定义得4a=2(|A所以椭圆C的短半轴长b=2

7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知P是椭圆x25+y24=1A．534,C．152,1【答案】C【分析】先设点的坐标，再应用面积公式计算参数即可.【详解】设Px0,y0又S△PF1F2=1所以P15故选:B.8．（24-25高二上·全国·课后作业）椭圆x2A．3 B．5 C．3或5 D．不存在【答案】D【分析】分焦点在x轴和y轴上两种情况求解即可.【详解】∵2c=2，∴当椭圆的焦点在x轴上时，a2=m，b∴m−4=1，m当圆的焦点在y轴上时，a2=4，∴c2=4−m=1综上，m的值是3或5．二、多选题9．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）关于方程mxA．若m>B．若m=nC．若n>D．若m=0,【答案】ACD【分析】AC选项，化为标准方程，结合椭圆的特征得到答案；B选项，化为x2+y【详解】对于A，若m>n>0，则m因为m>n>0对于B，若m=n>0，则mx2对于C，n>m>0，则m由于n>m>0对于D，若m=0,n>0，则mx2此时该方程表示平行于x轴的两条直线，故D正确．CD10．（24-25高二上·全国·课后作业）阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为62