微专题13 导数解答题之双变量问题 -2025年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分方案

PAGE1微专题13导数解答题之双变量问题【秒杀总结】1、破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果；四是主元法.【典型例题】例1．（2024·浙江温州·二模）如图，对于曲线，存在圆满足如下条件：①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；②圆与曲线在点处有相同的切线；③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．(1)求抛物线在原点的曲率圆的方程；(2)求曲线的曲率半径的最小值；(3)若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：．【解析】（1）记，设抛物线在原点的曲率圆的方程为，其中为曲率半径．则，，故，，即，所以抛物线在原点的曲率圆的方程为；（2）设曲线在的曲率半径为．则法一：，由知，，所以，故曲线在点处的曲率半径，所以，则，则，当且仅当，即时取等号，故，曲线在点处的曲率半径．法二：，，所以，而，所以，解方程可得，则，当且仅当，即时取等号，故，曲线在点处的曲率半径．（3）法一：函数的图象在处的曲率半径，故，由题意知：

令，则有，所以，即，故．因为，所以，所以，所以．法二：函数的图象在处的曲率半径，有令，则有，则，故，因为，所以，所以有，令，则，即，故，所以，即；法三：函数的图象在处的曲率半径．故设，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，故有，所以，要证，即证，即证

将，下证：当时，有，设函数（其中），则，故单调递增，，故，所以．法四：函数的图象在处的曲率半径，有，设．则有，所以当时，当时，故在上单调递减，在上单调递增．故有，所以，要证，即证，即证．将，下证：当时，有，设函数（其中），则，故单调递增，故，故，所以．例2．（2024·四川南充·二模）已知函数有三个极值点.(1)求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【解析】（1）函数有三个极值点则有三个不等实根即方程有三个不等实根，令，则，由得，由得或在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，又，，所以（2）由（1）知，，所以，令，则，令，则令，则，即，，故在上单调递增，所以.例3．（2024·四川·一模）已知函数．(1)若，求的最小值；(2)若有2个零点，证明：．【解析】（1）当，函数，则，可知当时，，单调递减；当时，，单调递增，则当时，取得极小值，也即为最小值，所以的最小值为；（2）由已知，是的两个零点，则，，两式相减，得，整理得，欲证明，只需证明不等式，即证明，也即证明，不妨设，令，则，只需证明，即证明即可，令，则，又令，则，所以，当时，，即单调递减，则，故当时，单调递增，则，所以，原不等式成立，故不等式得证．例4．（2024·全国·模拟预测）已知函数有3个极值点，其中是自然对数的底数．(1)求实数的取值范围；(2)求证：．【解析】（1）由题意，得，由，得或，所以0是函数的一个极值点．所以有2个不相等的实数根，且这2个根均不为0和．令，则．当时，恒成立，故在定义域上是增函数，不可能有2个零点；当时，由，得，由，得，所以在上是减函数，在上是增函数，所以，即，所以．又．由零点存在定理可知，在上存在唯一零点．令，则，令得，令得，所以在上递增，在上递减，所以，，所以，由零点存在定理可知，在上存在唯一零点．因为所以，综上，的取值范围是．（2）证明：由（1）知，0是函数的一个极值点．不妨设，所以只要证明．由得，即两式相除得．令，则．所以，所以．所以要证明，只要证明，即，其中，所以．所以只要证明．令，所以，从而恒成立，所以在上是减函数，所以．所以在上是增函数，所以，即证：．另由，知，所以，且为的两根．记，则，当，，当，故在上递增，在上递减．不妨取，所以要证，即要证，只要证，又，故只要证，即要证，也即要证(#)．令，则．而当时，，故在上递减，故，故在上递增，故，所以(#)成立，故．例5．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知函数.(1)若是函数的一个极值点，求实数的值；(2)若函数有两个极值点，其中，①求实数的取值范围；②若不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）易知，又是函数的一个极值点，，即.此时，令，在上单调递增，且，当，当，在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，即符合题意；因此实数的值为.（2）①因为，且有两个极值点，所以方程在上有两个不同的根，即方程有两个不同的正数根，将问题转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，则，令，解得，当时，单调递减，当时，单调递增，且当时，，故作出的图象如下：由图象可得满足题意，即.即实数的取值范围为；②由①知是的两个根，故，则，不妨设，又，所以可得，可得，即，所以；故由可得，即，所以；也即，化简得，由于，所以等价于对任意的恒成立，令，故对任意的恒成立，则，设，则，（i）当时，单调递增，故单调递减，故，不满足，舍去；（ii）当时，单调递减，故单调递增，故，故恒成立，符合题意；（iii）当时，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，又，故时，，此时单调递减，故，因此当时，，不符合题意，舍去.综上，实数的取值范围为.例6．（2024·高三·甘肃·开学考试）已知函数.(1)若在上单调递增，求的取值范围；(2)若有2个极值点，求证：.【解析】（1）法一：因为在上单调递增，所以时，即，设，则，所以时单调递减，时单调递增，所以，所以，即的取值范围是；法二：因为，所以，若，则在上单调递增；若，令，则，时单调递减；时单调递增，所以是的极小值点，所以，所以当，即时，在上单调递增.综上，的取值范围是.（2）由（1）知是方程的两个不同正根，所以，经验证，分别是的极小值点，极大值点，，下面证明.由，得，两边取对数，得，即，则，设，则，则要证，即证，即证.设，则，所以在上单调递增，从而，于是成立，故.例7．（2024·高三·湖南·开学考试）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若方程有两个不相等的根，且的导函数为，证明：．【解析】（1），则，当时，，函数在R上单调递增；当时，令，，所以函数在上单调递减，在上单调递增.（2）因为方程有两个不等的根，且，由（1）知，，令，则，所以函数在上单调递增，所以，又在上单调递增，所以，又，所以，所以，又，所以.例8．（2024·高三·河南周口·期末）已知函数.(1)若在上单调递减，求的取值范围；(2)若，求证：；(3)在（2）的条件下，若方程两个不同的实数根分别为，，求证：.【解析】（1）由，则，在上单调递减，即在上恒成立，即有在上恒成立，即，令，，则，设，，则，故在上单调递减，故，即恒成立，故在上单调递增，有，即，故的取值范围为；（2）若，则，，设，则，故在上单调递增，又，，故在上存在唯一零点，设该零点为，即有，有时，，时，，即在上单调递减，在上单调递增，又，，故当时，，即，故在上单调递减，当时，有，故，即在上单调递增，故时，，又，且定义域为，故为偶函数，即当时，，故恒成立；（3），有，由（2）可知，若方程两个不同的实数根，则，下面证明：，不妨设，则，要证，只需证明，而，由（2）可知，在上单调递减，故只需证明，而，故只需证明，设，则，即在上单调递增，故，故，即，又，故，由（2）得，，当时，，故在上单调递增，又，，故.例9．（2024·全国·模拟预测）设函数.(1)若，求函数的最值；(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.【解析】（1）由题意得，则.令，解得；令，解得，在上单调递增，在上单调递减，，无最小值，最大值为.（2），则，又有两个不同的极值点，欲证，即证，原式等价于证明①.由，得，则②.由①②可知原问题等价于求证，即证.令，则，上式等价于求证.令，则，恒成立，在上单调递增，当时，，即，原不等式成立，即.【过关测试】1．（2024·高三·天津宁河·期末）已知函数，．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)设是函数的两个极值点，证明：．【解析】（1）当时，，得，则，，所以切线方程为，即；（2），当时，恒成立，在上单调递增，无减区间，当时，令，得，单调递增，令，得，单调递减，综合得：当时，的单调递增区间为，无减区间；当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为；（3），则，因为是函数的两个极值点，即是方程的两不等正根，所以，得，令，则，得，则，所以，则，令，则，所以在上单调递增，所以，所以，即.2．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，其中.(1)当时，求的极值；(2)当，时，证明：.【解析】（1）由题意，，，所以当时，，，由解得：或，由解得：，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故有极大值，极小值.（2）由题意，，，要证，只需证，而，，所以只需证，即证①，下面给出两种证明不等式①的方法：证法1：要证，只需证，即证，令，则，所以在上单调递增，显然，所以当时，，因为，所以，即，故.证法2：要证，只需证，即证，令，则，所以只需证当时，，即证，令，则，所以在上单调递增，又，所以成立，即，故3．（2024·广东湛江·一模）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．【解析】（1）由题意可得，所以，的定义域为，又，由，得，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，（2）由，得，设，，由，得，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，又，，且当趋近于正无穷，趋近于，的图象如下图，所以当时，方程有两个根，证明：不妨设，则，，设，，所以在上单调递增，又，所以，即，又，所以，又，，在上单调递减，所以，故.4．（2024·广东·模拟预测）已知．(1)讨论的单调性；(2)若存在两个零点，证明：存在三个零点，且(3)在（2）的条件下，证明：．【解析】（1），如果则，所以在R上递减；如果，则的符号以为分界线，左边负右边正，所以在递减，在递增；（2）由于有两个零点，故，而且，也就是，所以，如果或，那么，所以有零点，同时，由于且，所以，而，令，则，令，则，这表明递增，同时由于，所以在上有一实数u，满足，且时，，时，.所以在递减，在递增.假设，就意味着在和上均递增，所以，矛盾.所以，从而在和上各有一零点，且在和上大于0，在上小于0.那么由于，我们知道，所以上一定还有的零点.综上所述，存在三个零点，且；（3）设，，则有：，但，要证，只需要证明：，首先，容易说明当时，，实际上，这也就是说此时，而意味着，上一问已证，同时由于是的零点（可导函数取极值的必要条件），所以，在这里对某个函数，我们定义函数列：，换言之是进行次求导后得到的函数，从而令，，则，所以时，，所以时，，所以时，，即，所以，又因为，所以，从而，也就是，由于，而在上小于0，在上大于0，故，又由于，，而在上递减，在上递增，故，综上，，从而.证.5．（2024·天津和平·一模）已知函数，（为自然对数的底数）.(1)求函数的单调区间：(2)设在处的切线方程为，求证：当时，；(3)若，存在，使得，且，求证：当时，.【解析】（1）因为，定义域为，令，即，所以递减区间为，递增区间为.（2）因为，所以，而，所以在点处的切线方程为：，当时，令，由，，当时，，当时，，所以在递减，在上单调递增，故，即，所以，所以，所以在时恒成立，即时，得证.（3）由题意可知，因为时，，令，所以在时单调递减，所以，所以在上为减函数，且，此时，则由（1）有在上单调递减，在上单调递增，且，此时，由题意，设，设与交点的横坐标为，则，有，因为，且，所以，又，所以，令，则，令，则，所以时，，时，，所以函数在上递增，在上递减，所以，即，所以，，所以在单调递增.在时，，所以，所以.6．（2024·天津·一模）设函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设函数（i）当时，取得极值，求的单调区间；（ii）若存在两个极值点，证明：.【解析】（1），则，所以曲线在点处的切线方程为，即；（2）（i），，∵时，取得极值，∴，解得，∴，令，得或；令，得，∴的单调增区间为，，单调减区间为；（ii），∵存在两个极值点，∴方程，即在上有两个不等实根.∵，解得，则∴所证不等式等价于，即，不妨设，即证，令，，则，∴在上递增，∴，∴成立，∴.7．（2024·青海·一模）已知函数．(1)若，求的取值范围；(2)若有两个零点，，证明：．【解析】（1）由题意可知的定义域为，且，对于，有在上恒成立，即递减，所以，即在上恒成立，当时，，当时，，所以在上单调递增，在时单调递减，所以当时，函数有最大值，，所以，即，所以的取值范围为；（2）不妨设，由（1）知，即，令，构造，且，所以，令，则，当时，，递减，故，所以时，单调递减，故，即在上，所以，又，所以，即，由（1）知在上单调递减，所以，故得证.8．（2024·全国·一模）已知(1)若，求实数的取值范围；(2)设是的两个零点（），求证：①；②.【解析】（1），设，则，所以单调递增，注意到，所以当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，所以，若，则，解得，所以实数的取值范围为；（2）①由题意不妨设，则由（1）可知，且，所以，设，，所以函数单调递增，所以，所以，即，又函数在上面单调递减，所以，所以；②注意到，所以，要证，只需，即只需，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，所以，所以要证，只需，即，不妨设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递增，因为，所以，即，又因为，所以，综上所述，命题得证.9．（2024·吉林延边·一模）已知有两个极值点．(1)求实数a的取值范围；(2)证明：．【解析】（1）由题意可知，因为有两个极值点，所以有两个不等根，即有两个交点，令，当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，而时，，，，所以，此时在上单调递减，在上单调递增，即在处取得极小值，在取得极大值，符合题意，故；（2）由（1）不妨设：，构造，，易知，则，所以在上单调递增，，所以，又在上单调递增，所以，即由（1）知，欲证，可证，构造，令，时，易知，即，所以在上单调递增，所以，则在上单调递减，所以，即，证毕.10．（2024·辽宁大连·一模）已知函数的定义域为区间值域为区间，若则称是的缩域函数.(1)若是区间的缩域函数，求a的取值范围；(2)设为正数，且若是区间的缩域函数，证明：（i）当时，在单调递减;（ii）【解析】（1）若是区间的缩域函数，则，；即，解得；可得，则；令，则；当时，，则单调递减；当时，，则单调递增.所以，解得，下面证明，即，也即；令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；因此可得，所以，综上a的取值范围为（2）（i）当时,若是区间的缩域函数，则，即，进一步，当时，，即，；由（1）可知，当时，，则单调递减；所以在区间上单调递减，（ii）若是区间的缩域函数，则；故有，即；设函数，则；当时，，单调递增，当时，，单调递减；因为为正数且则，又，所以在上单调递减，所以；记，设，且，由的单调性可知，故；记，则，当时，，单调递增；故，即；因为在上单调递减，故，即；由，故，所以，又因为，故.11．（2024·高三·江西·开学考试）已知函数，且的极值点为.(1)求；(2)证明：；(3)若函数有两个不同的零点，证明：.【解析】（1）由，则，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以为的极大值点，即.（2）由（1）知，，要证，只需证，即，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，即，所以.（3）因为是的两个不同的零点，所以，两式相减并整理，得.设，由（2）知，所以要证，只需证，即证.设，下面只需证，设，则，所以在上单调递增，从而，所以成立，从而.12．（2024·高三·河北·开学考试）已知函数(1)若、在处切线的斜率相等，求的值；(2)若方有两个实数根，试证明：;(3)若方程有两个实数根，试证明：.【解析】（1），,又,所以.（2）由（1）知，则令，令时，单调递增时，单调递减所以因为由差比的性质知：，又，则欲证：即证：不妨设：下证，令下证令所以在上单调递增，所以所以（3）不妨设，下证在处的切线方程为构造当时，;时，;所以在上单调递减，在上单调递增又所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，设方程的函数值为的根，则因为在上单调递减，所以，在处的切线方程为,构造当时，;时，;所以在上单调递减，在上单调递增又所以在上单调递减，在上单调递增所以所以设方程的根又，由在上单调递增所以又所以.13．（2024·四川凉山·二模）已知函数．(1)若函数在R上是增函数，求a的取值范围；(2)设，若，证明：．【解析】（1）函数，求导得，依题意，对任意实数，恒成立，而，因此，解得：，所以的取值范围为.（2）函数的定义域为，由，得，由（1）知，函数在上是增函数，不妨令，则，即，亦即，则，于是，则，下面证明：，即证：，即证：，令，即证：，设，求导得，则函数在上单调递减，于是，即，所以.14．（2024·高三·江苏·专题练习）已知函数，.(1)求的单调区间；(2)设是函数的两个极值点，证明：.【解析】（1）的定义域为，，当时，恒成立，在上单调递增，当时，令，得，单调递增，令，得，单调递减，综合得：当时，的单调递增区间为，无减区间；当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为；（2），则，因为是函数的两个极值点，即是方程的两不等正根，所以，得，令，则，得，则，所以，则，令，则，所以在上单调递增，所以，所以，即.15．（2024·江西上饶·一模）已知函数，若为实数，且方程有两个不同的实数根．(1)求的取值范围：(2)①证明：对任意的都有；②求证：．【解析】（1），，，，在上为增函数，在上为减函数，，当时，，且时，．故函数的图象如下：因为方程有两个不同的实数根，所以；（2）（ⅰ）记，，则，，设，则，在上为减函数，，，存在，使得，时，；时，，在上为增函数，在上为减函数，又，，；（ⅱ）不妨设，则，由（1）知，又，，.要证，只要证，记，，，在上为增函数，，成立，成立.16．（2024·高三·新疆伊犁·阶段练习）已知，函数.(1)当时，求的单调区间；(2)当时，设的导函数为，若恒成立，求证：存在，使得；(3)设，若存在，使得，证明：.【解析】（1）当时，，，所以当时，，当时，，所以的递增区间为，递减区间.（2）当时，可得，则，因为恒成立，即恒成立，令，若，则，存在，使得，即，不符合题意，所以，取，则，可得，即存在，使得.（3）由函数，可得，设，因为，可得则又由，可得，所以函数为单调递增函数，所以，即，所以，即，设，可得，所以当时，，即，所以，即，所以，代入可得：，则，所以.17．（2024·高三·广东·阶段练习）设函数，其中a为实数．(1)当时，求的单调区间；(2)当在定义域内有两个不同的极值点时，证明：．【解析】（1）的定义域为，，令，得或，时，，时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（2），由在上有两个不同的极值点，故有两个不同的正根，则有，解得，因为，设，，则，故在上单调递增，又，故．18．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）已知函数，，为常数．(1)求的单调性；(2)令，若且.证明：．【解析】（1），，当时，为常函数，当时，当时，，单调递增，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，当时，，单调递减，当时，，单调递减，当时，，单调递增，综上所述，当时，为常函数，无单调性当时，在、上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递增，在、上单调递减；（2），，令，则，因，故有两个零点，若，则，单调递增，不可能有两个零点，所以，