2019-2020年高中数学数列版块二等差数列等差数列的通项公式与求和完整讲义(学生版)

2019-2020年高中数学数列版块二等差数列等差数列的通项公式与求和完整讲义（学生版）典例分析典例分析等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．数列的前项和，求它的通项公式．数列的前项和，，则数列的前项和_______.数列的前项和，则_______.设等差数列的前项的和为，且，，求.设等差数列的前项的和为，且，，求.有两个等差数列，，其前项和分别为，，若对有成立，求．在等差数列中，，，为前项和，⑴求使的最小的正整数；⑵求的表达式.等差数列的前项和为，前项和为，则它的前项和为_______．等差数列中，，，问数列的多少项之和最大，并求此最大值．已知二次函数，其中．⑴设函数的图象的顶点的横坐标构成数列，求证：数列为等差数列；⑵设函数的图象的顶点到轴的距离构成数列，求数列的前项和．等差数列前项的和为，其中，项数为奇数的各项的和为，求其第项及公差．设等差数列的公差为,，且，求当取得最大值时的值．已知等差数列中，，，，则（）A．B．C．D．已知是等差数列，且，，求数列的通项公式及的前项和．在各项均不为0的等差数列中，若，则等于（）A．B．C．D．设数列满足，，，且数列是等差数列，求数列的通项公式．已知，⑴设的图象的顶点的纵坐标构成数列，求证为等差数列．⑵设的图象的顶点到轴的距离构成，求的前项和．已知数列是等差数列，其前项和为，．⑴求数列的通项公式；⑵设是正整数，且，证明．在等差数列中，，，为前项和，⑴求使的最小的正整数；⑵求的表达式.有固定项的数列的前项和，现从中抽取某一项（不包括首相、末项）后，余下的项的平均值是．⑴求数列的通项；⑵求这个数列的项数，抽取的是第几项．已知，成等差数列(为正偶数)．又，，⑴求数列的通项；⑵试比较与的大小，并说明理由．设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足则的取值范围是．设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于（）A． B． C． D．在等比数列中，若公比，且前项之和等于，则该数列的通项公式．已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．⑴求数列的通项；⑵求数列的前项和． 已知数列满足，，且对任意，都有⑴求，；⑵设证明：是等差数列；⑶设，求数列的前项和．设等差数列的前项和为，，则等于（）A．10B．12C．15D．30已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差是（）A．B．C．D．若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（）A． B． C． D．已知等差数列，等比数列，则该等差数列的公差为（）A．或B．或C．D．已知数列的通项公式，设其前项和为，则使成立的最小自然数等于（）A．B．C．D．等差数列中，，，此数列的通项公式为，设是数列的前项和，则等于．设集合由满足下列两个条件的数列构成：①②存在实数，使．（为正整数）⑴在只有项的有限数列，中，其中，，，，，，，，，；试判断数列，是否为集合的元素；⑵设是等差数列，是其前项和，，证明数列；并写出的取值范围；⑶设数列，且对满足条件的常数，存在正整数，使．求证：．已知数列满足：，，．⑴求的值；⑵设，，求证：数列是等比数列，并求出其通项公式；⑶对任意的，，在数列中是否存在连续的项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列；若不存在，说明理由．2019-2020年高中数学数列的概念与简单表示”课堂实录一、教学目标：知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感、态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣；让学生亲身经历数学探索的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。二、设计思路：本节课是《数列》的第一节课，通过引言把这一章的内容作一大概的介绍，能使学生从一开始就对将要学习的知识有一个初步的了解，并为本章的学习研究打下思想基础。本节课教学设计力图体现以学生发展为本，遵循学生认知规律，体现循序渐进与启发式的教学原则，采用“探究——主体参与型”课堂教学模式，通过问题的提出和解决来培养学生探索问题、解决问题的能力；通过开放题的设置来激发学生思维，调动学生的积极性。为了立足于学生思维发展，着力于知识建构；为了把发现创造的机会还给学生，把成功的体验让给学生，本节课采用的教法是在教师的引导下，创设情景，启发学生主动思考，让学生有观察、动手、表达、交流、表现的机会，让学生体会数学概念形成过程中蕴涵的数学方法，使学生分享到探索知识的乐趣和方法。本节课的重点是数列概念的形成以及数列的通项公式的建立，在思维训练方面，注重概念间的联系与差异的分析，从特殊到一般的抽象思维的培养，克服难点的办法是让学生观察数列的前几项的特点，在观察与比较中揭示数列的变化规律。本节课的练习安排为尝试性练习与拓展性练习，其目的在于落实基础，拓展思维，深化概念的理解。教学环节安排：创设情境---分化属性---形成概念---尝试练习---拓展练习---深化概念---小结归纳。三、教学重点、难点：重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）；难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。

四、教学资源：多媒体（PowerPoint）、投影仪、尺五、教学过程：问题情境（PowerPoint）大千世界蕴含着无数的自然规律，从细胞分裂到放射性物质的衰变，从树木的生长模式到葵花种子、鹦鹉螺壳花纹的排列……它们各有其消长的方式和特点，如：情境1：树木生长规律1，1，2，3，5，8，情境2：彗星每隔83年出现一次1740，1823，1906，1989，2072，情境3：一尺之棰，日取其半，万世不竭1，，情境4：我国参加6次奥运会获得金牌总数15，5，16，16，28，32问题1：上述例子有何共同特点？学生活动通过观察、小组合作讨论、发现小组1代表：上述问题情境中都有一系列数；小组2代表：这些数有一定的次序，前后位置不能颠倒，并且有些数可以相同，但表示不同的意义，如情境4中，出现了两个16，但第一个16表示1992年参加奥运会获得的金牌数，第二个16表示1996年参加奥运会获得的金牌数；老师：通过讨论得到，这些问题的共同特点是有一组按照一定次序排列的一列数。建构数学通过抽象，形成数列的概念（教师板书下面的内容）（1）数列-----按一定次序排列的一列数项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项一般形式：，其中是数列的第n项，上面的数列可简记为数列（2）通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。问题2：数列的概念与集合的概念有何联系、区别？（学生小组合作讨论）学生畅所欲言，教师收集信息，及时归纳学生1：数列中是一列数，而集合中的元素不一定是数；学生2：数列中的数是有一定次序的，而集合中的数没有次序；学生3：数列中的数可以重复，而集合中的数不能重复。问题3：数列的概念与函数的概念有何联系？有何区别？（学生小组合作讨论）学生畅所欲言，教师收集信息，及时归纳学生4：数列中的每一项与其序号之间有对应关系，即在数列中，对于每一个正整数n，都有惟一的数与之对应；学生5：数列可以看成以正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数。（四）数学运用（1）尝试性练习：（学生自主探究、完成，教师点评）问题1：数列10，9，8，7，6，5，4与数列4，5，6，7，8，9，10是否相同学生6：不一样！根据数列的概念，数列的项不仅是数还必须与序号相对应。问题2：根据下面数列的通项公式，写出它的前5项：（2）利用投影仪展示学生的答案，并提问学生：怎么得到该答案的？学生7：将通项公式中的n分别用1，2，3，4，5代入计算得到结果。教师：很好！其实就是计算的函数值。也体现了由一般到特殊的思维方式。若要作出它们的图象呢？（学生自己完成）利用投影仪展示学生的答案，并让学生讨论：从图象观察，数列的图象有何特点？引导讨论，从图象上观察，数列的图象都是离散的点。数列（1）各项的值随着n的增大而增大，所以数列（1）是一个递增的数列。所以，数列可分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。根据数列中项的多少来分，项数有限的数列叫做有限数列，项数无限的数列叫做无限数列。在有限数列中，项的个数叫项数，最后一项叫做末项。问题3：观察下面数列的特点，用适当的数填空，并对每一个数列写出它的一个通项公式（1）2，4，（），16，32，64……（2）1，4，9，（），25，36……（3）-1，，（），……（4）1，，（），2，，，……利用投影仪展示学生的答案，并提问学生：怎么得到该答案的？学生8：先找出规律，根据规律填数。教师：是根据什么找出的规律？学生8：依据数列的概念，找出项与对应的序号之间的规律。教师：很好，由特殊到一般，再由一般到特殊。（2）拓展性练习问题1：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7（2）（3）（学生自主探索，教师引导启发，并及时小结）问题2：学生甲说出一个数列的前4项，让学生乙说出该数列的一个通项公式，使它的前4项分别是上述各数。（学生自由发挥，畅所欲言）（3）创新性练习观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．（学生小组合作讨论）模型一：自上而下学生9：第1层钢管数为4；即：14＝1+3第2层钢管数为5；即：25＝2+3第3层钢管数为6；即：36＝3+3第4层钢管数为7；即：47＝4+3第5层钢管数为8；即：58＝5+3第6层钢管数为9；即：69＝6+3第7层钢管数为10；即：710＝7+3若用表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且≤n≤7）教师：运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系学生10：自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。即；；依此类推：（2≤n≤7）教师：对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。（五）回顾小结本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前几项求一些简单数列的通项公式。（六）课外作业第32页练习第3题、第4题、第6题，习题2.1第1题、第2题、第3题。（七）板书设计例题讲解数列的概念与简单表示例题讲解数列的概念与简单表示（1）数列-----按一定次序排列的一列数项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项一般形式：，其中是数列的第n项，上面的数列可简记为数列（2）通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。小结：教学反思对于知识与能力目标的落实，本节课通过三个层次：情境创设、新知探究、知识应用，但在实际实施过程中知识内化，形成技能方面学生达成不好。所以在教学过程中既要完成巩固