《材料力学》第四章-扭转

第四章扭转-PAGE8-（共8页）第四章扭转§4—1工程实例、概念一、工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。3、机器中的传动轴工作时受扭。4、钻井中的钻杆工作时受扭。二、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面垂直杆的轴线。变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。轴：主要发生扭转变形的杆。§4—2外力偶矩、扭矩一、外力：m（外力偶矩）1、已知：功率P千瓦(KW），转速n转／分(r／min；rpm)。外力偶矩：2、已知：功率P马力(Ps)，转速n转／分(r／min；rpm)。外力偶矩：二、内力：T（扭矩）1、内力的大小：（截面法）2、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。（右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。）3、注意的问题：（1）、截开面上设正值的扭矩方向；（2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。4、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。作法：同轴力图：§4—3薄壁圆筒的扭转一、薄壁圆筒横截面上的应力(壁厚,：为平均半径）实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。1、实验：2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。3、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量。4、定性分析横截面上的应力(1)；（2）因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等。⑶因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布,而且方向垂直于其半径方向。5、切应力的计算公式：dA→τdA→（τdA）r0；dA=（r0dα）t；二、剪切虎克定律在弹性范围内切应力与切应变成正比关系。三、切应力互等定理在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现的，并且大小相等，方向同时指向或同时背离两个面的交线。§4—4圆轴扭转时的应力、强度计算一、圆轴扭转时横截面上的应力（超静定问题）几何关系：由实验通过变形规律→应变的变化规律物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式。一）、几何关系：1、实验：2、变形规律：圆轴线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大小、间距不变，半径仍为直线。4、定性分析横截面上的应力(1)；（2）因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。5、切应变的变化规律：二）物理关系：弹性范围内工作时→→方向垂直于半径。应力分布：实心截面：空心截面：三）静力关系：令→→代入物理关系式得：——圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。二、圆轴中τmax的确定横截面上——（Ip—截面的极惯性矩，单位：m4mm4；—抗扭截面模量，单位：m3mm3）整个圆轴上——等直杆：；变直杆：三、公式的使用条件：1、等直的圆轴2、弹性范围内工作。四、Ip,Wp的确定：1、实心圆截面——2、空心圆截面——；五、圆轴扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成450的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。方法：取单元体（单元体上的应力认为是均匀分布的）设：ef边的面积为dA则eb边的面积为dAcosαbf边的面积为dAsinα；分析：1、σmax：α=±45°。│σmax│=τ（τα=0）。45°斜截面！2、τmax：α=00，│τmax│=τ（σα=0）。横截面上！结论：如果材料的抗剪切能力差，构件就沿横截面发生破坏（塑性材料）；如果材料的抗拉压能力差，构件就沿450斜截面发生破坏（脆性材料）。六、圆轴扭转时的强度计算1、强度条件：2、强度计算：1）校核强度；2）设计截面尺寸；（）3）确定外荷载。§4—5圆轴扭转时的变形、刚度计算一、变形：（相对扭转角）————T=常量——T=常量,且分段。单位：弧度（rad）。GIP——抗扭刚度。注意：“T”代入其“＋、－”号——单位长度的扭转角二、刚度条件：三、刚度计算：1、校核刚度；2、设计截面尺寸；3、确定外荷载。[例]功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图所示，许用切应力[t]=30MPa,试校核其强度。解：①求扭矩及扭矩图②计算并校核切应力强度[例]已知：P＝7.5kW,n=100r/min,许用切应力[t]＝40MPa,空心圆轴的内外径之比a=0.5。求:：实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。解：d1=45mmD2=45mmd2=0.5D2=23mm§4—6等直圆杆的扭转超静定问题解扭转超静定问题的步骤：①平衡方程；②几何方程——变形协调方程；③补充方程：把物理方程（力与变形的关系）代入几何方程得；④解由平衡方程和补充方程组成的方程组。[例]长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为a=0.8，外径D=0.0226m，G=80GPa，试求：固定端的反力偶。解：①杆的受力图如图示，这是一次超静定问题。平衡方程为：②几何方程：③力的补充方程：④由平衡方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。§4—7非圆截面杆的扭转一、非圆截面杆与圆截面杆的区别圆杆扭转时——横截面保持为平面；非圆杆扭转时——横截面由平面变为曲面（发生翘曲）。二、研究方法：弹性力学的方法研究三、非圆截面杆扭转的分类：1、自由扭转（纯扭转）；2、约束扭转。四、分析两种扭转：1、自由扭转：各横截面翘曲程度不受任何约束（可自由凹凸），任意两相邻截面翘曲程度相同。受力特点：两端受外力偶作用。变形特点:相邻两截面翘曲完全相同，纵向长度不变，所以纵向应变等于零。应力特点：横截面上正应力等于零，切应力不等于零。2、约束扭转：由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘曲程度不同。受力特点：两端受外力偶作用。变形特点：相邻两截面翘曲不相同，纵向长度发生变化，所以纵向应变不等于零。应力特点：横截面上正应力不等于零，切应力不等于零。五、矩形截面杆的自由扭转：1、分布：2、应力计算：长边中点（整个横截面上最大的切应力）。短边中点3、变形：对于狭长矩形（即：）；六、非圆截面杆扭转的有关规律：1、截面周边各点处切应力的方向与周边平行（相切）。2、在凸角处的切应力等于零。扭转变形小结一、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面垂直杆的轴线。变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。二、外力：m（外力偶矩）——功率P千瓦，转速n转／分。——功率P马力，转速n转／分。三、内力：T（扭矩）1、内力的大小确定、画内力图2、内力的符号规定：右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方，若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。几何关系：由实验通过变形规律→应变的变化规律3、注意的问题四、薄壁圆筒横截面上的应力五、剪切虎克定律六、圆轴扭转时横截面上的应力（重点）1、公式推导几何关系：由实验通过变形规律→应变的变化规律→物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律→静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式→——圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。2、圆轴中τmax的确定等直杆：；变直杆：变直杆：3、公式的使用条件：（1）、等直的圆轴，（2）、弹性范围内工作。七、圆轴扭转时斜截面上的应力：；八、圆轴扭转时的强度计算（重点）1）校核强度；2）设计截面尺寸；3）确定外荷载