高三物理二轮复习教师用书板块一专题一第四讲万有引力定律及其应用

板块一专题突破复习第四讲万有引力定律及其应用[知识建构][高考调研]1.天体运动仍是考查热点．常考点有：卫星的变轨、对接；天体相距最近或最远问题；随地、绕地问题；卫星运动过程中的动力学问题、能量问题(如2017年全国卷Ⅰ24T和全国卷Ⅱ19T)，包括加速度(向心加速度、重力加速度)、线速度、周期的比较等．解决这些问题的总体思路是熟悉两个模型：随地、绕地．变轨抓住两种观点分析，即动力学观点、能量观点．注意匀速圆周运动知识的应用．2.常用的思想方法：①“割补法”求万有引力大小．②天体质量和密度的计算方法．③变轨问题的处理方法．④“多星”问题的处理方法.[答案](1)(2)(3)三种宇宙速度(4)同步卫星的“七个一定”特点①轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面．②周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24h.③角速度一定：与地球自转的角速度相同，即ω＝7.3×10－5rad/s.④高度一定：由Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)得地球同步卫星离地面的高度h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R＝3.6×107m.⑤速率一定：v＝eq\r(\f(GM,R＋h))＝3.1×103m/s.⑥向心加速度一定：由Geq\f(Mm,R＋h2)＝ma，得a＝eq\f(GM,R＋h2)＝gh≈0.23m/s2，即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度．⑦绕行方向一定：运行方向与地球自转方向一致.考向一天体质量与密度的计算[归纳提炼]天体质量及密度的估算方法[熟练强化]1．(2017·北京卷)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是()A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离[解析]由于不考虑地球自转，则在地球表面附近，有Geq\f(Mm0,R2)＝m0g，故可得M＝eq\f(gR2,G)，A项错误；由万有引力提供人造卫星的向心力，有Geq\f(Mm1,R2)＝m1eq\f(v2,R)，v＝eq\f(2πR,T)，联立得M＝eq\f(v3T,2πG)，B项错误；由万有引力提供月球绕地球运动的向心力，有Geq\f(Mm2,r2)＝m2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T′)))2r，故可得M＝eq\f(4π2r3,GT′2)，C项错误；同理，根据地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离，不可求出地球的质量，D项正确．[答案]D2．(2017·河北六校联考)某行星的同步卫星下方的行星表面上有一观察者，行星的自转周期为T，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，发现日落的eq\f(T,2)时间内有eq\f(T,6)的时间看不见此卫星，不考虑大气对光的折射，则该行星的密度为()A.eq\f(24π,GT2)B.eq\f(3π,GT2)C.eq\f(8π,GT2)D.eq\f(16π,GT2)[解析]设行星质量为M，半径为R，密度为ρ，卫星质量为m，如图所示，发现日落的eq\f(T,2)时间内有eq\f(T,6)的时间看不见同步卫星，则θ＝eq\f(360°,6)＝60°，故φ＝60°，r＝eq\f(R,cosφ)＝2R，根据Geq\f(Mm,2R2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))22R，M＝ρeq\f(4,3)πR3，解得ρ＝eq\f(24π,GT2).[答案]A1利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量，估算的是中心天体的质量而非环绕天体的质量.2区别两个半径轨道半径与天体半径，轨道半径与天体半径的关系为r＝R＋h，只有在天体表面附近的卫星，才有R≫h，r≈R.h指卫星到天体表面高度考向二人造卫星[归纳提炼]1．必须掌握的四个关系eq\f(GMm,r2)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))越高越慢2．必须牢记同步卫星的两个特点(1)同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期．(2)所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上．(2017·全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的()A．周期变大B．速率变大C．动能变大D．向心加速度变大[解析]组合体比天宫二号质量大，轨道半径R不变，根据eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\r(\f(GM,R))，可知与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的速率不变，B项错误；又T＝eq\f(2πR,v)，则周期T不变，A项错误；质量变大、速率不变，动能变大，C项正确；向心加速度a＝eq\f(GM,R2)，不变，D项错误．[答案]C求解本题时，若对天体运动规律掌握不熟悉，加之考试紧张，题目情景分析不明，可能会误以为是较复杂的行星轨道变化问题，错把简单问题复杂化，耗时而费力.高考复习时，应仔细分析天体运动特点，正确画出情景图，切忌搞题海战术，分不清情景乱套公式，同时也要关注社会科技新动向.[熟练强化]1．(多选)(2017·河北保定一模)O为地球球心，半径为R的圆为地球赤道，地球自转方向如图所示，自转周期为T，观察站A有一观测员在持续观察某卫星B.某时刻观测员恰能观察到卫星B从地平线的东边落下，经eq\f(T,2)的时间，再次观察到卫星B从地平线的西边升起．已知∠BOB′＝α，地球质量为M，引力常量为G，则()A．卫星B绕地球运动的周期为eq\f(πT,2π－α)B．卫星B绕地球运动的周期为eq\f(πT,2π＋α)C．卫星B离地表的高度为eq\r(3,\f(GM,4)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,2π－α)))2)－RD．卫星B离地表的高度为eq\r(3,\f(GM,4)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,2π＋α)))2)－R[解析]当地球上A处的观测员随地球转动半个周期时，卫星转过的角度应为2π＋α，所以eq\f(T,2)＝eq\f(2π＋α,2π)T卫，解得T卫＝eq\f(πT,2π＋α)，A错，B对．卫星绕地球转动过程中万有引力充当向心力，Geq\f(Mm卫,r\o\al(2,卫))＝m卫eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T卫)))2r卫，得r卫＝eq\r(3,\f(T\o\al(2,卫)GM,4π2))＝eq\r(3,\f(GM,4)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,2π＋α)))2)，则卫星距地表的高度h＝r卫－R＝eq\r(3,\f(GM,4)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,2π＋α)))2)－R，C错，D对．[答案]BD2．(多选)(2017·广东华南三校联考)石墨烯是目前世界上已知的强度最高的材料，它的发现使“太空电梯”的制造成为可能，人类将有望通过“太空电梯”进入太空．设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯，电梯顶端可超过地球的同步卫星A的高度延伸到太空深处，这种所谓的太空电梯可用于降低成本发射绕地人造卫星．如图所示，假设某物体B乘坐太空电梯到达了图示的位置并停在此处，与同高度运行的卫星C相比较()A．B的线速度大于C的线速度B．B的线速度小于C的线速度C．若B突然脱离电梯，B将做离心运动D．若B突然脱离电梯，B将做近心运动[解析]A和C两卫星相比，ωC>ωA，而ωB＝ωA，则ωC>ωB，又据v＝ωr，rC＝rB，得vC>vB，故B项正确，A项错误．对C星有Geq\f(MmC,r\o\al(2,C))＝mCωeq\o\al(2,C)rC，又ωC>ωB，对B星有Geq\f(MmB,r\o\al(2,B))>mBωeq\o\al(2,B)rB，若B突然脱离电梯，B将做近心运动，D项正确，C项错误．[答案]BD3.(多选)(2017·江西七校联考)卫星A、B的运行方向相同，其中B为近地卫星，某时刻，两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，已知地球半径为R，卫星A离地心O的距离是卫星B离地心的距离的4倍，地球表面重力加速度为g，则()A．卫星A、B的运行周期的比值为eq\f(TA,TB)＝eq\f(4,1)B．卫星A、B的运行线速度大小的比值为eq\f(vA,vB)＝eq\f(1,2)C．卫星A、B的运行加速度的比值为eq\f(aA,aB)＝eq\f(1,4)D．卫星A、B至少经过时间t＝eq\f(16π,7)eq\r(\f(R,g))，两者再次相距最近[解析]本题以卫星的运行考查运行参量的比较，求解方法仍是抓住主、副两条线索．由地球对卫星的引力提供向心力Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r知T＝2πeq\r(\f(r3,GM))∝eq\r(r3)，而rA＝4rB，所以卫星A、B的运行周期的比值为eq\f(TA,TB)＝eq\f(8,1)，A项错误；同理，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))∝eq\f(1,\r(r))，所以卫星A、B的运行线速度大小的比值为eq\f(vA,vB)＝eq\f(1,2)，B项正确；由Geq\f(Mm,r2)＝ma得a＝eq\f(GM,r2)∝eq\f(1,r2)，所以卫星A、B的运行加速度的比值为eq\f(aA,aB)＝eq\f(1,16)，C项错误；由T＝2πeq\r(\f(r3,GM))及地球表面引力等于重力大小Geq\f(Mm,R2)＝mg知T＝2πeq\r(\f(r3,gR2))，由于B为近地卫星，所以TB＝2πeq\r(\f(R,g))，当卫星A、B再次相距最近时，卫星B比卫星A多运行了一周，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,TB)－\f(2π,TA)))t＝2π，联立可得t＝eq\f(16π,7)eq\r(\f(R,g))，D项正确．[答案]BD天体相遇问题的解法如图，当两运行天体A、B的轨道平面在同一平面内时，若运行方向相同，则内侧天体B比A每多运行一圈时相遇一次，在Δt时间内相遇的次数n＝eq\f(Δt,TB)－eq\f(Δt,TA)＝eq\f(ωB－ωA,2π)Δt.若运行方向相反时，则A、B每转过的圆心角之和等于2π时发生一次相遇，在Δt时间内相遇的次数为：n＝eq\f(ωAΔt＋ωBΔt,2π)＝eq\f(Δt,TB)＋eq\f(Δt,TA).考向三卫星的变轨问题[归纳提炼]1．变轨原理及过程(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.2．部分物理量的定性分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k，可知T1<T2<T3.(多选)如图所示是我国发射的“嫦娥三号”卫星被月球俘获的示意图，“嫦娥三号”卫星先绕月球沿椭圆轨道Ⅲ运动，在P点经两次制动后最终沿月球表面的圆轨道Ⅰ做匀速圆周运动，已知圆轨道半径为r，椭圆Ⅲ的半长轴为4r，卫星沿圆轨道Ⅰ运行的周期为T，则下列说法中正确的是()A．“嫦娥三号”卫星在轨道Ⅱ上运行的机械能大于在轨道Ⅲ上运行的机械能B．“嫦娥三号”卫星在轨道Ⅲ上运行时，在M点的速度大小大于在P点的速度大小C．“嫦娥三号”卫星在三个轨道上运行时，在P点的加速度总是相同的D．“嫦娥三号”卫星在轨道Ⅲ上运行时，从M点运动到P点经历的时间为4T[思路路线]eq\x(在P点两次制动减速)→eq\x(从Ⅲ到Ⅱ机械能减少)→eq\x(A错)eq\x(同一轨道运行时机械能守恒)→eq\x(\a\al(近地点,速度大))→eq\x(B错)eq\x(\a\al(Ⅲ、Ⅱ为,椭圆轨道))→eq\x(a＝\f(v2,r)不成立)→eq\x(据a＝\f(GM,r2)判断)→eq\x(C正确)eq\x(开普勒第三定律)→eq\x(\a\al(从M点到P点,时间为4T))→eq\x(D正确)[解析]因“嫦娥三号”卫星从轨道Ⅲ变轨到轨道Ⅱ上运行时，必须在P点进行减速，即在轨道Ⅱ上运行的机械能小于在轨道Ⅲ上运行的机械能，A项错误；由开普勒行星运动第二定律知“嫦娥三号”卫星在近月点速度大，即“嫦娥三号”卫星在轨道Ⅲ上运行时，在M点的速度大小小于在P点的速度大小，B项错误；由Geq\f(Mm,r2)＝ma知卫星离中心天体高度相同时，运行的加速度相同，C项正确；令“嫦娥三号”卫星从M点运动到P点经历的时间为t，则由开普勒行星运动第三定律得eq\f(r3,T2)＝eq\f(4r3,2t2)，即t＝4T，D项正确．[答案]CD变轨过程中能量分析的常见误区(1)变轨前后，卫星机械能不守恒．卫星的发射和回收都是利用以上原理通过多次变轨实现的．由于变轨时卫星需要借助“点火”实现加速或减速，变轨前后的机械能不守恒，有其他形式的能量参与转化．(2)同一轨道上自主运行时仅受万有引力作用，机械能守恒．这一结论对圆形或椭圆形轨道均成立．[熟练强化]迁移一卫星的交会对接问题1．“天宫一号”目标飞行器与“神舟十号”飞船自动交会对接前的示意图如图所示，圆形轨道Ⅰ为“天宫一号”运行轨道，圆形轨道Ⅱ为“神舟十号”运行轨道．此后“神舟十号”要进行多次变轨，才能实现与“天宫一号”的交会对接，则()A．“天宫一号”的运行速率大于“神舟十号”在轨道Ⅱ上的运行速率B．“神舟十号”变轨后比变轨前高度增加，机械能减少C．“神舟十号”可以通过减速而使轨道半径变大D．“天宫一号”和“神舟十号”对接瞬间的向心加速度大小相等[解析]做圆周运动的天体，线速度大小v＝eq\r(\f(GM,r))，因此轨道半径较大的“天宫一号”速率较小，A项错误；“神舟十号”由低轨道到高轨道运动需要消耗火箭燃料加速，由功能关系可知在高轨道上飞船机械能更大，B项错误；飞船在圆周轨道上减速时，万有引力大于所需要的向心力，飞船做近心运动，轨道半径减小，C项错误；在对接瞬间，“神舟十号”与“天宫一号”所受万有引力提供向心力，向心加速度相等，D项正确．[答案]D迁移二较高轨道向较低轨道变轨2．(2017·株洲模拟)如右图所示，“嫦娥”三号探测器发射到月球上要经过多次变轨，最终降落到月球表面上，其中轨道Ⅰ为圆形，轨道Ⅱ为椭圆．下列说法正确的是()A．探测器在轨道Ⅰ的运行周期大于在轨道Ⅱ的运行周期B．探测器在轨道Ⅰ经过P点时的加速度小于在轨道Ⅱ经过P点时的加速度C．探测器在轨道Ⅰ运行时的加速度大于月球表面的重力加速度D．探测器在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ必须点火加速[解析]根据开普勒第三定律知，eq\f(r3,T2)＝k，因为轨道Ⅰ的半径大于轨道Ⅱ的半长轴，则探测器在轨道Ⅰ的运行周期大于在轨道Ⅱ的运行周期，故A正确；根据牛顿第二定律知，a＝eq\f(GM,r2)，探测器在轨道Ⅰ经过P点时的加速度等于在轨道Ⅱ经过P点时的加速度，故B错误；根据Geq\f(Mm,r2)＝ma知，探测器在轨道Ⅰ运行时的加速度a＝eq\f(GM,r2)，月球表面的重力加速度g＝eq\f(GM,R2)，因为r>R，则探测器在轨道Ⅰ运行时的加速度小于月球表面的重力加速度，故C错误．探测器在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需减速，使得万有引力大于向心力，做近心运动，故D错误．[答案]A迁移三较低轨道向较高轨道变轨3．(多选)“嫦娥五号”的主要任务是月球取样返回．“嫦娥五号”要面对取样、上升、对接和高速再入等四个主要技术难题，要进行多次变轨飞行．如图所示是“嫦娥五号”绕月球飞行的三条轨道，1轨道是贴近月球表面的圆形轨道，2和3轨道是变轨后的椭圆轨道．A点是2轨道的近月点，B点是2轨道的远月点，“嫦娥五号”在轨道1的运行速率为1.8km/s，则下列说法中正确的是()A．“嫦娥五号”在2轨道经过A点时的速率一定大于1.8km/sB．“嫦娥五号”在2轨道经过B点时的速率一定小于1.8km/sC．“嫦娥五号”在3轨道所具有的机械能小于在2轨道所具有的机械能D．“嫦娥五号”在3轨道所具有的最大速率小于在2轨道所具有的最大速率[解析]“嫦娥五号”在1轨道做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v\o\al(2,1),r)，由1轨道A点变轨到2轨道“嫦娥五号”做离心运动，则有Geq\f(Mm,r2)<meq\f(v\o\al(2,2A),r)，故v1<v2A，选项A正确；“嫦娥五号”在2轨道B点做近心运动，则有Geq\f(Mm,r\o\al(2,B))>meq\f(v\o\al(2,2B),rB)，若“嫦娥五号”在经过B点的圆轨道上运动，则Geq\f(Mm,r\o\al(2,B))＝meq\f(v\o\al(2,B),rB)，由于r<rB，所以v1>vB，故v2B<vB<v1＝1.8km/s，选项B正确；3轨道的高度大于2轨道的高度，故“嫦娥五号”在3轨道所具有的机械能大于在2轨道所具有的机械能，选项C错误；“嫦娥五号”在各个轨道上运动时，只有万有引力做功，机械能守恒，在A点时重力势能最小，动能最大，速率最大，故“嫦娥五号”在3轨道所具有的最大速率大于在2轨道所具有的最大速率，选项D错误．[答案]AB高考高频考点强化——宇宙多星模型[考点归纳]1．双星模型(1)模型条件：两颗恒星彼此相距较近；两颗恒星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动；两颗恒星绕同一圆心做匀速圆周运动．(2)模型特点①向心力等大反向：两颗恒星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分别作用在两颗恒星上，是一对作用力和反作用力．②周期、角速度相同：两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等．③半径、线速度与质量成反比：圆心在两颗恒星的连线上，且r1＋r2＝L，两颗恒星做匀速圆周运动的半径与恒星的质量成反比．两颗恒星做匀速圆周运动的线速度与恒星的质量成反比．2．三星模型(1)第一种情况：三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央的星(静止不动)在同一半径为R的圆轨道上运行，周期相同．(2)第二种情况：三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆轨道运行，三颗星的运行周期相同(如图所示)．3．四星模型(1)第一种情况：四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，均围绕正方形的两条对角线的交点做匀速圆周运动(如图所示)．(2)第二种情况：有三颗星位于边长为a的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动．[真题归类]1．(2013·山东卷)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为()A.eq\r(\f(n3,k2))TB.eq\r(\f(n3,k))TC.eq\r(\f(n2,k))TD.eq\r(\f(n,k))T[解析]设双星的质量分别为m1、m2，两星做圆周运动的半径分别为r1、r2，则总质量M＝m1＋m2，两者之间的距离l＝r1＋r2.根据万有引力定律及牛顿第二定律得Geq\f(m1m2,l2)＝m1eq\f(4π2,T2)r1、Geq\f(m1m2,l2)＝m2eq\f(4π2,T2)r2，将两式相加整理可得T＝eq\r(\f(4π2l2r1＋r2,Gm1＋m2))＝eq\r(\f(4π2l3,GM)).当总质量变为原来的k倍，距离变为原来的n倍时，周期将变为原来的eq\r(\f(n3,k))倍，故选项B正确．[答案]B2．(2010·全国卷Ⅰ)如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常量为G.(1)求两星球做圆周运动的周期；(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg.求T2[解析](1)设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的引力大小为F，运行周期为T.根据万有引力定律有F＝Geq\f(Mm,R＋r2)①由匀速圆周运动的规律得F＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r②F＝Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R③由题意有L＝R＋r④联立①②③④式得T＝2πeq\r(\f(L3,GM＋m)).⑤(2)在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O不在地心，月球做圆周运动的周期可由⑤式得出T1＝2πeq\r(\f(L′3,GM′＋m′))⑥式中，M′和m′分别是地球与月球的质量，L′是地心与月心之间的距离．若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则Geq\f(M′m′,L′2)＝m′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T2)))2L′⑦式中，T2为月球绕地心运动的周期．由⑦式得T2＝2πeq\r(\f(L′3,GM′))⑧由⑥⑧式得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))2＝1＋eq\f(m′,M′)⑨代入题给数据得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))2＝1.012.⑩[答案](1)2πeq\r(\f(L3,GM＋m))(2)1.0123.(2015·安徽卷)由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a(1)A星体所受合力大小FA；(2)B星体所受合力大小FB；(3)C星体的轨道半径RC；(4)三星体做圆周运动的周期T.[解析](1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为FBA＝Geq\f(mAmB,r2)＝Geq\f(2m2,a2)＝FCA，方向如图所示．合力大小FA＝2eq\r(3)Geq\f(m2,a2)(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为FAB＝Geq\f(mAmB,r2)＝Geq\f(2m2,a2)FCB＝Geq\f(mCmB,r2)＝Geq\f(m2,a2)，方向如图所示．由FBx＝FABcos60°＋FCB＝2Geq\f(m2,a2)FBy＝FABsin60°＝eq\r(3)Geq\f(m2,a2)可得FB＝eq\r(F\o\al(2,Bx)＋F\o\al(2,By))＝eq\r(7)Geq\f(m2,a2)(3)通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，RC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2)＝eq\f(\r(7),4)a(或：由对称性可知eq\x\to(OB)＝eq\x\to(OC)＝RC，cos∠OBD＝eq\f(FBx,FB)＝eq\f(\x\to(DB),\x\to(OB))＝eq\f(\f(1,2)a,RC))(4)三星体运动周期相同，对C星体，由FC＝FB＝eq\r(7)Geq\f(m2,a2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2RC可得T＝πeq\r(\f(a3,GM))[答案](1)2eq\r(3)Geq\f(m2,a2)(2)eq\r(7)Geq\f(m2,a2)(3)eq\f(\r(7),4)a(4)πeq\r(\f(a3,Gm))解决双星、多星问题，要抓住四点：一抓双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径；二抓星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供；三抓星体的角速度相等；四抓星体的轨道半径不是天体间的距离.要利用几何知识，寻找它们之间的关系，正确计算万有引力和向心力.[迁移训练]1．(2017·黑龙江大庆模拟)某同学学习了天体运动的知识后，假想宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系．如图所示，一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一颗质量相等的小星围绕母星做圆周运动．如果两颗小星间的万有引力为F，母星与任意一颗小星间的万有引力为9FA．每颗小星受到的万有引力为(eq\r(3)＋9)FB．每颗小星受到的万有引力为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋9))FC．母星的质量是每颗小星质量的2倍D．母星的质量是每颗小星质量的3eq\r(3)倍[解析]每颗小星受到的万有引力的合力为9F＋2Fcos30°＝(eq\r(3)＋9)F，A正确，B错误．由F＝Geq\f(mm,L2)和9F＝Geq\f(Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\f(L,2),cos30°)))2)得，eq\f(M,m)＝3，C、D错误．[答案]A2．(2017·菏泽市二模)2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦100年前的预测，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图”．双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a、b两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两颗星的距离为l，a、b两颗星的轨道半径之差为Δr(a星的轨道半径大于b星的轨道半径)，则()A．b星的周期为eq\f(l－Δr,l＋Δr)TB．a星的线速度大小为eq\f(πl＋Δr,T)C．a、b两颗星的半径之比为eq\f(l,l－Δr)D．a、b两颗星的质量之比为eq\f(l＋Δr,l－Δr)[解析]双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，则周期相等，所以b星的周期为T，故A错误；根据题意可知，ra＋rb＝l，ra－rb＝Δr，解得：ra＝eq\f(l＋Δr,2)，rb＝eq\f(l－Δr,2)，则a星的线速度大小va＝eq\f(2πra,T)＝eq\f(πl＋Δr,T)，eq\f(ra,rb)＝eq\f(l＋Δr,l－Δr)，故B正确，