实变函数论课后答案第三版

1.证明：（8-A）UA=8的充要条件是AuB.

证明：若（8—A）UA=3，则AU（8—4）JAU3,故AuB成立.

反之，若Au8,则（8—A）UAU（3—A）J3U8,又VXWB,若XWA,则

XG（B-A）JA,若X任A,则％CB—AU（B—A）UA.总有A）JA.故

Bu（B-A）JA,从而有（8-A）JA=8。证毕

2.证明4-3=硒8<.

证明：VxcA-8,从而史B,故从而VxwA-8,

所以A-3uAQ".

另一方面，VxwAQ",必有xeA,xe厅，故工£4,不比8,从而工£从一5,

所以Afl£uA—8.

综合上两个包含式得A-B=ACIB,.证毕

3.证明定理4中的（3）（4）,定理6（DeMorgan公式）中的第二式

和定理9.

证明：定理4中的（3）:若&u纥（/IGA）,则纥.

AGAA,GA

证：若xeriA^,则对任意的丸£A,有xw4,所以4u鸟（VA）

A€A

成立

知3，故xwrij,这说明"A淀uPlB/.

^€AA€A八

定理4中的（4）：U（4U纺）=（U4）U（U约）.

AGAASAA€A

证：若x£U（AiUB）,则有，£八，使xw（A，J"）u（U4）U（UB）.

X€AA€AA€A

反过来，若X£（、4）U（l2）则xwU4或者xeIBA.

^€AAe/4€AMA

不妨设xeI%，贝lj有/I'eA使XEAu&J8u一⑷U%）.

AGA44"AGA

故（U4）U（US）uU（AUBJ.

^€AA€A2eAZ

综上所述有U(4U%)=(U4)U(U功).

AGAAGA以WA

定理6中第二式(n4)，=U%.

i€A

证：VXG(nAY,贝！Jx史nA/,故存在IE人，Xe4.所以X禺UA

X€AA双人""/i€AZ

从而有(/AjuUA-

A€A4€A

反过来，若XEJA,贝归人使，故。

42'wA.,A.,

ACA4"

.-.x^n从而xe(QAJ

A€AACA

.-.(HAJCZ>uA…证毕

ZGA解人”

定理9：若集合序列A，4，,4，单调上升，即4UA,山(相应地

A〃nA.1)对一切〃都成立，则lim=J(相应地)lim=14,.

nsra=i"Too〃=[

证明：若AnuAm对V〃wN成立，则=4.故从定理8知

i=m

liminf4=UClA=UA„

"T0°m=li=mm=\

另一方面Vm,〃，令S,“=ClA，从A,”u4+1对V/nwN成立知

i=m

鼠=」4=4”U(U4)uAmU(UA)=04=E”…故定理8表明

i=mi=m+li=m+li=m+l

limsup4=rIJ4=rI\,=^1=CAn=liminf4

〃一>8m=1i=mm=1/n=lxo

oo

故limA=limsup4,=liminf4=U

JI->00n—xon—>oo,〃=]

4.证明(A-8)U3=(AU3)-8的充要条件是8=0.

证：充分性若4=0,则

(A-B)UB=(A-0)U0=A-0=A=AU0=AU0-0

必要性若(A—B)j5=(AU5)—8,而8w0贝lj存在xwB.

所以工£(人一8)08=(403)—3艮|]所以工£4一a//8这与1£8矛盾，

所以xw8.

4.设5={1,2,3,4}4={{1,2},{3,4}},求尸(A).又如果S=—;〃=1,2,3,…、

4=，;为奇数卜A='{1}《卜7卜…，问尸(4)1(4)是什么

解:若S={1,2,3,4},A={{1,2},{3,4}},则

*4)={0,{1,2,3,4},{1,2},{3,4}}.

若5=」;〃=1,2,3，.…，4='L为奇数|=・J,…,)

n[〃J[352/-1

则从6

易知尸（A）=M，&m，…击

5'72/

1

A=<律‘g

2z-l

令B=,---;i=1,2,•rC=«—;i=1,2,•….

[2i-\J|2Z

川4}={0，S}、,{AK|A为蹄J子集,K=6U=。}rA.

证明：因为{1},{共,…,{达卜..cA,8的任何子集RA).

所以有Be尸⑷，而3，=C,故Cw尸⑷,X0GF（A）.

任取B的一子集A,AU0=Ae厂（A）,且AUCc/（A）・

显SwA,故只用证A的确是一个。-域.

⑴0c=SS=0",且”的子集A,若K=0,则

KJ0=A,Ae=A\JC

（8-4是6的子集,故（4，10）'=4UCeF（A））

又V8的子集4,（AJC）'=£0乩

显然是B的子集,所以（4JC）'=（A，nb）U0wA.

又若4.为8的子集（〃=1,2,3,）,K.=C或。.

则,J(4UK”)=(gAju(gK,=AUK.

这里A=是8的子集.

n=l

K=UK“=C

n=l或。.

所以i(4UK〃)£A.

W=1

若4r中除B的子集外，还有S,则)(4UK〃)=Sw4.

n=l

若A“中有0,不影响。4“u5.

n=l

故4是0-域,且产(Aj=A.

证毕.

6.对于S的子集A,定义A的示性函数为外(力=1；；；：

证明：(1)gminf4(6=liminf%(x)

(2)gmwpA,(x)=limsup%(x)

证明：VXG5,若xtliminf%(x)

则8iminfA,(x)=l。且只有有限个〃，使得

所以mw0>0使得时xeAn

从而有

故liminf%(X)=1=Siminf4G)

若x任liminf%(x),贝1处加.4(力=。且有无限个4wM(左=1,2,3,4…)

故!im%(x)=0

所以liminf(x)=0=%minf4(x).

故(1)成立.

(2)的证明：VXG5,若xclimsup%(x)

则处mmf4(x)=L

且有无穷个〃”乂(攵=1,2,3,4)使得xeA&,叭=1

所以lim^(-^)=1注意到OK%(x)

所以limsup^(x)=1=^imsip4(x).

若x《limsup%(x),则羯$叫3=0

且只有有限个〃使得

所以3〃()>0使得〃2〃0时工成人,,外(x)=0

所以limsup"(x)=0=@m*(x),

所以(2)也成立.

也可以这样证(2)：注意DAuR"%(x)=l

砧叩4(力巧….⑺

=%吹)《)=1一稣"3

=1-liminf(pA((x).

=l+limsup卜%(x))

=limsup(l一夕八,(x)j=limsup^(x)

7.设f(x)是定义于E上的实函数，a为一常数，证明

(1)E[x;/(x)>tz]=Ux;/(x)>a+—

(2)E[x;/(x)>a]=QEx;f(x)>a—.

证明：(1)VJ^GE[X;/(X)>a]我们有故存在/?EN使

f(xo)-a+~

(因为为，使f(x)-a)

n0

所以^^.七x;/(x)>t7+-i.

从而有E[x；/(x)>a]u；

反过来：若与£JEx;f(x)>a+—，则

，，=i|_n_

N1,使曲,〃/)24+—>a

“0

.­.XOGE[X;/(X)>4Z]

00I

/.|JEx;/(x)>a+—UE[X;/(X)>〃]

所以(1)成立.

下证(2)Vx0GF[x;/(x)>a]我们有

〃Xo)2a>":(V〃wN)

所以/sEx;/(x)>a--"|(VnGN)

x;/(x)>a--i

故与ePIE

31

从而有之〃[uQEx9f(x)>a--

«=in_

反过来，右％owf)Ex\f(x)>ci—

«=in_

8.若实函数序列｛4(x)｝在E上收敛于/(力，则对于任意常数〃都有

E[x;/(x)<«]=pliminfEx\f^x)<a+ClliminfEx;f(x)<«l

★=i+

证明：先证第一个等式

由定理8知

liminfEx\f(x)<a+-=Uf!Ex;/(x)<a+-

nkm=li-mk

000000|

所以「liminfEx\f{x)<a+—=0UAFx;/(x)<a+-

*=i[_nk*=1m=li=mk

Vx0GE[x;/(x)<tz]f(x0)<a<a+—对VREN成立。

又条件VXGE,\imfn(x)=/(x),有:吧fn(%)=/(x0)

故对WREN,3m=m^k),使得i>m时，

这表明

%wAClCEx"(x)4a+；

i=lm=li=mk

所以fluHEx;/(x)<«+y

it=lm=1i=mk

ooopoo1

反过来VXoeAUClfx;/(x)<«+—，我们知对\fkeN,

4=]m=li=mk

3m=m(<k),使得iNm时，/(x0)<a+

令Z->+00,得/(Xo)<6t+-^-

K

再令^->+00,得/(Xo)<«，

所以为，从而

故（1）成立。

下证第二个等式，一样有

liminfEx\f(x)<〃+一nur

nk=lm=li=mk

V/wE[x;,f(x)<a]我们有/(x0)<6Z

故对V^EN,3m=m｛k^,i>m时，

EG)—/(/)<:，即£(/)</(毛)+]«々+]

KKK

0000QO|

因为与£1UnEx;f(x)<a+-

Jt=lm=lik

L-i,

所以6ClQEX;£(X)<〃+?

L」*=1m=li=mk

反过来VxeA(JDx;/(%)<«+—，我们知对VZwN,m，n=m(k),

0“1m"li・mk

使得i>m时，工(玉)<。+；，令if+oo,，利用条件

K

lim/(^)=/(x0),有

1^30

/(工0)<〃+，，再令Afy,得/(x0)<4Z,所以/,

所以nun£x;f(x)<a+-cE[x;/(x)<«]

k=\m=li=mi

故(2)得证。

注意：实际上有：对E撒谎能够任何实函数列｛<(%)｝有

卜;limZ,(力=/(川=...nOnE[x;|Z(x)-/(x)|<l.

习题二（pl8）

1.用解析式给出(T,l)和(YO,8)之间的一个17对应。

解：VXG(-1,1),令0a)=tan]x,则e(x)«-oo,oo),且

71

0(力=—/〉0,故0严格单调于,lim=±oo,

，乃丫Z±1

1+—X

(2)

所以9(x)=tan]x为(-1,1)和(YO,8)之间的一个1-1对应。

2.证明只需就有(々,。)〜(0,1)。

证明：Vx€(«,/?),令°(x)=土上，则姒了)£(0,1),且显然为1-1对

x-b

应。

2.证明平面上的任何不带圆周的圆上的点所作成的点集是和整个平

面上的点所作成对等的，进而证明平面上的任何非空的开集(开

集的定义见数学分析或本书第二章)中的点所作成的点集和整个

平面上的点所作成的点集对等。

证明：V平面上一个开圆

第三章习题

1.证明平面上坐标为有理数的点构成一可数集合。

证明：将全体有理数排成一列不勺/…，则平面上的有理点

QxQ={(r,s);r€Q,swQ}=,其中4={h，G);i=l,2,…〃}为可列集，

故作为可数个4的并Qx0=：4为可数集。(第20页定理5)。

2.以直线上的互不相交的开区间为元素的任意集合至多只有可数多

个元素.

证明：设

这里A为某指标集。

则我们可在任意A这一开区间中选定一个有理数小与之对应，

从而给出一个对应，

AfQ

由于。互不相交，当a,/?eA,aw闵寸，显然q。。，故上述对应是1-1

的.

故4与有理数集的一个子集对等，所以A的势最多与。的势相同，不

会超过。的势，

故A要么为有限，要么为可数集.

3.所有系数为有理数的多项式组成一可数集合.

证明：我们称系数为有理的多项式为有理多项式

任取非负整数〃，全体〃阶有理多项式的集合的势是

事实上，V〃阶有理数

X〃（x）=£4HMi£0,令（4，6,〃“）与之对应，这一对应显然是1-1的，

1=0

即

Xfm,QxQxQ=Q〃的势是这是因为由第一题：已知。2=QxQ是可数

m

集，利用归纳法，设。=QxQx...Q是可数集，，

-------X--------

待证。z=Qx。是可数集，

将。中的点排成一列％/…/…，将。中的点排成一列

则Qi=Qx°=j[c，其中4=｛（片4）,3=1,2,3,.｝显然为可数集，故

也是可数集，这表明〃阶有理多项式全体是一可数集,

j=i

而全体有理多项式U｛全体〃阶有理多项式｝作为可数集的并也是可数集.

〃=0

4.如果/（X）是（Y0,8）上的单调函数，则/⑴的不连续点最多有可数多

个.

证明：我们在数学分析中知道（F,8）上的单调函数的不连续点，只能

是跳跃间断点，其任取（F,8）上的单调函数/（力，设其可能的间断点

为A=｛%;awA｝,A为某指标集，在GA,令

limf（x）=ya\lim/（i）=yj,则=yj,故VawA,有一网上的开区间

aa

（%-,%+）与之对应.

不妨设与＞勺，设皿＞0使VxG（xa-^,xa）,VyG（xy?,x/?+^）,

+

有/（x）N/（y）,故limf^）=ya-＞ya=lim/（x）,

aa

所以（笫，y「）n（%，yj）=0・.

故外力的间断点的集合A与网上的一族互不相交的开区间i-i对应，

而后者的势为N。，故/（刈的间断点至多为可数多个.

5.设A是一无穷集合，证明必有4uA,使A*~A,且A-A*可数.

证明：若A为可数集，则不妨设A={q;i=l,2,令

A*={%;/=1,2,-«•・},则

4*〜A,且A—A"={出j+],i=l,2/n,}.

显然仍为可数集，故此时结论成立.

若A为无穷集，且不是可数集，则由P19定理1,A中包含一个可数

子集B,令4=A-8,则由于A是无穷集，且不是可数集，A-8是无

穷集.

由P21定理7和3为可数集知：A=4U54.证毕

6.若A为一可数集合，则4的所有有限子集构成的集合也是可数集.

证明：由第一，第三题的证明已知VMEMQXQXx0=0（Q为有理

tn

数集）,由于4是可数集，故机个由全体4中的一个元素组成的集合

4={{〃}；〃£A}-N,A是可数集.

由全体4中的两个元素组成的集合4H{4，生}；4，生£4}N34是可

数集

若4={{《,％,…，4〃}；4仁4」=1,2,…,

____m____

记A中的m个元素组成的子集全体，则4NxNx-xN=Nn,

故是可数集.

显然A的所有有限子集构成的集合可表示为A,”为可数集，故

m=l

04作为可数个可数集的并也是可数集.

注意：A的全体子集构成的集合不是可数集.

7.若4是有非蜕化的（即左，右端点不相等的）开区间组成的不可

数无穷集合，则有b>0,使A中无穷多个区间的长度大于心

证明：设A为一指标集，4={〃;«£人,〃为非蜕化的开区间},

记人的长度为同.

若本题的结论不成立，贝只有有限个…4WA,使

记4={/1,/25J，由于4中的区间都是非蜕化的，V/„GA|Z„|>0,

人=:4=亿4>0}

n=l

由于4是有限集，故作为可数个可数集的并，A也是可数集，这与A

是不可数无穷集矛盾.

故第>0,,使A中有无穷多个区间的长度大于3>0.

事实上，A中有不可数无穷多个区间的长度大于心

8.如果空间中的长方形/={（x,y,z）;qvx<4,4〈）〈打,。vzvc2},中的

%生,々也,qq（4</，4<a,。<。2）都是有理数，则称/为有理长方形，

证明全体有理长方形构成一可数集合.

证明：由前面题3,6中已知”文上是可数集（。为有理数组

m

成的集合）

设A={/;/为有理长方形}，任取

I=l（x,y,z）；6r1<x<a2,b］<y<b2,c］<z<c2JGA,i己之为

4向,qg，（q,4，A也，。”。2）WG,

与之对应，由于两有理长方形/…0…山港五二相等

04=%%=4，4=b、b［=%q=。,。2=c2，故上述对应是单射，

故A与。6这一可数集的一个子集。17对应.

反过来，/。小与。显然1-1对应，故06与・/0，山/£.1_1对应

••（2

所以。6与A的一个子集对等.

由Berrstein定理A对等

所以A是可数集.

P25习题

1.证明［0,1］上的全体无理数构成一不可数无穷集合.

证明：记［0』上的全体有理数的集合为。=

［0,1］全体无理数的集合为R,则［0/=QR.

由于。是一可数集合，R显然是无穷集合（否则［0』为可数集，QUR

是可数集，得矛盾）.

故从P21定理7得［0,l］=QURR.

所以R=N,R为不可数无穷集合.

2.证明全体代数数（即整系数多项式的零点）构成一可数集合，进

而证明必存在超越数（即非代数数）.

证明：记全体整系数多项式的全体的集合为，，全体有理多项式的集

合为分

则上节习题3,已知4是可数集，而Bu%,故至多是可数集，

巧闻,

而B显然为无穷集合，故A必为可数集.匚匕

m=0，

任取一/££白根20,有feP2g.

/的不同零点至多有加个，故全体匕”的零点的并至多为无数.

(U{z"(z)=O}至多为可数集，所以全体代数数之集

IIU{z"(z)=o}

v

»,=OfeP;jn)

也是至多可数集.

又N,卜ix+l;〃=1,2,}是可数集，nr+1=0<=>x=—.

带市数显然有无穷个，故全体代数数之集为一可数集.

3.证明如果。是可数基数，则2〃=c.

证明：一方面对于正整数N的任意子集4,考虑4的示性函数

\(p(n)=\当九EA

^W=UwA=o当…

VAe{MKJ子集所构成的集}士2"

令J(A)=x=O./(l),小⑶…

则J(A)=xw(0,l)

若J(4)=J(B),则以(〃)=%㈤,V%=1,2,…

故A=B(否则三%€A,%比8=幺(闱)=1/％(%)=0)

故2'与（0,1）的一个子集对等（环W函）

另一方面，Vxe（0,l）.令A=｛「；蚱%"£9｝

（这里以为（0,1）中的全体有理数组成的集合）

若xwy,x,y£（0,l）,则由有理数的稠密性，人工人

4是以这一与N对等的集合的子集.

故（0,1）与&的全体子集组成的集合的一个子集对等（丽《小的全体

子集组成集的势，即丽《施工的）

也就与2'的一个子集对等.

由Berrstein定理（0,1）2"

所以2“=c.

4.证明如果A|JA=C,则无否中至少一个为c.

证明：E=TjB=c,故不妨认为

E=（（x,y）;0<x<l,0<y<l｝?A5为E的子集.

若存在x,0cx<1使得纥=｛（x,y）;0<yvl｝.

则由于瓦=c（显然纥（0,1））

故42c,而AuE,A《E=c.

由Berrsrein定理A=c.

若Vx,0cxA,贝!|从纥uE=A|JB知

BI耳=8n｛（x,y）;Ovy<l｝w0

所以3（x,然）wB,则显然｛伍"）;0vxv1｝具有势c

故易知=c

由Berrsrein定理8=c

证毕

5.设尸是[0』上全体实函数所构成的集合，证明7=2。

证明：D[0,l]的子集A,作A的示性函数

/、1xeA

外叫0皿

则映射A一外(力规定了[0』的所有子集的集合到[0,1]上全体实函数

所构成的集合的一个对应，且若A,[0』使得外(力=%(耳，以«。』成

则必有A=3

所以2M与尸的一个子集对等.

反过来，任取/(x)e尸,Af={(r,/(r))；rG[0,l]|,A,是/在有中的图象,

是心中的一个子集.

且若「ge尸，使％=4

则Vf£[0』，⑺)cA/=4

表明“出国使("(/))=«,g(Q)

=4=z"(/)=g(，)M

故八g.

所以尸与R2的全体子集所组成的集合的一个子集对等，故从R2[01]

知

p<2a*=2阿

即尸与2阿的一个子集对等.

所以由Berstein定理了=2㈣=2。.

第二章习题

1.证明P。£E.的充要条件是对于任意含有〃。的邻域N（p°⑼（不一定以

P。为中心）中，恒有异于外的点仍属于E（事实上这样的巧其实还是

有无穷多个）而外为E的内点的充要条件则上有含有p。的邻域

N（po,3）（同样，不一定以Po为中心）存在，使N（PO,3）UE.

证明：先设P,£E',则皿>0,N（〃0»）riE中有无穷多个点。现在设

PoeN（Po，b）,这表明OK〃=/?（P，〃O）<5，

故PywN（Po，bF），有P（y，P）Wp（y，Po）+P（Po'P）<bF+"=b

故〃）uN（p㈤

故N（〃o，S-〃）E有无穷个点，自然有异于Po的点P]wN（〃o，b-〃）E

uN（p,5）.这就证明/必要性，事实上，N（〃o,5-〃）E-｛为｝是无穷集,

故N（p»）中有无穷多个异于Po的E中的点.

反过来，若任意含有p0的邻域N（p,6）中，恒有异于%的点由属于E,

则D3>0,

N（p,5）中，有异于Po的点Pi属于E，

记。（R,Po）=g则显然a<3

由条件N（%,㈤中有异于%的点夕（P2,%）=&<4

由归纳法易知,有｛0｝,固=12•）%v…vb]和wEflN（岛4J,

P产Po，"1，？,一

这表明N（〃o，b）中有无穷个E中的点.由3>0的任意性知，xoeE,

若Po为E的内点，则皿>0,使N（〃o1）uE,故必要性是显然的.

若存在邻域N（p»）uE,使〃o£N（p»）,则从前面的证明知

N（岛》-0（Po,p））uN（p»）uE,故p（）为£的内点.

2.设R〃=R是全体实数，片是[0』上的全部有理点，求E；，E.

解:Vxw[0,l],由有理数的稠密性知，V2>0,N（X,£）=（%-£,%+£）中有

无穷个耳中的点，故xeg,故[0』uE；.

而另一方面,Vx到0,1],必有b>0,使N（,%,b）n[O,l]=0,故/任耳

故耳u[0,l],所以[0,l]uEu[0』.

表明耳=[0,1]

而及=E；U4=[0,I]1^1=[0,1]

故耳=E=[o』.

3.设R〃=R2是普通的盯平面心={（x,y）;f+y2<]},求打，瓦.

解：七2={（x，y）；d+y2《1}

事实上,若岛=（%为）£式,则由于/（X,y）=f+y2是卡上的连续函数,

必存在

3>0,使V（x,y）eN（〃o»）有f（x,y）=x2+y2>1.

故火仇@）。耳=0，故Po不是耳中的点矛盾.

故与2+为2«1时Po£{（X，>）；/+/<1}

反过来,若〃o=a，yo）£{ay）；x2+y2〈i}

则Vb>0,作[0,1]上的函数/（/）="（优,%）=）2

=’（-1）2代+#=1T|Jx；+%2

22

则/⑺是[0,1]上的连续函数，/（O）=7xo+yo<l,/（1）=0,VO<^<1,

使/缶…

现在任取77〉0,30<5〈向11（1月）,使N（Po，b）uN（Po，〃）.

由上面的结论，存在0<外<1,使/&）=5<1.

故以Po满足（1）00。Po；⑵卜㈤=%||Po|=j|PoJvl.故你喈

（3）夕&岛，岛）=bv〃，故〃PWM

所以GpwN（外力嗯区-伉｝

由习题1的结论知〃。£员，所以用=｛（x，y）*+y2Vl卜

而居二石2JE=E2=｛（X，y）；/+/<1）.

4,设R=R2是普通的冷平面，外是函数y=fn：XH°的图形上的点

0x=0

所作成的集合，求员.

解：设函数的图形是｛（3（工））;工£4七3=."也£|4”-｛0｝7｛（0，。）｝・

下证E=｛（O»）；TWSWI｝U居

〃0=（%%）£&O存在P〃=E，"）£鸟—｛5，%）｝，

P〃=（七，％）-A）=怎一为，%—%，夕（P”，A））一。

设A）=（%%）£&，则存在（七,外）£片-｛（%,%）｝使%—%,其->%

若与工0,则七尸0（当〃充分大）

贝ljy=sin—^y=sin—

n七%0

所以小，为）£鸟

若吃工0,则当f0,yfl=sin—^y0,-l<y0<l

所以(%,%)£{(O»);TW然1}

故用u{(O»);-lW3Kl}U耳

反过来：V〃o=(%,%)e{(O,b);TKbKl}J鸟,

升1

右与。0,y0=sin——,

故存在甚H/，使为尸0，X”fX。

从而sin-——>sin—

%/

C])

即存在％,sin——(%,%)

\XnJ

故Po£员.

若岛=(O,%)w{(O,6);T4b«l}

则从为w[-1,1]知存在/使sinx0=yQf

令％--(00,攵=1,2,)

2k几+x0

则sin-=sin(2k/r+x0)=sin=y0,

Xk

、/11(1)

所以看,sin—GE3,xk,sin—f(0,%)，(和%)->(。，％)

\Xk7\'k)

(%，%)工(°，％)

故Po£E；

故结论成立.

5.证明当E是炉中的不可数无穷点集时，E'不可能是有限集.

证明：记8为E的孤立点集，则E-8=E'

所以E=(E-B)JBuE'UB.

若能证明B是至多可数集，则若E'是有限集或可列集知EUB"为至

多可数集，这将与E是R〃中的不可数无穷点集矛盾.

故只用证E的孤立点集8是至多可数集

VpeB,使N（pO）nE=｛p｝

故p-N（p»p）uR〃是8到R〃中的一个互不相交的开球邻域组成的集

的1一1对应.

而任一互不相交开球邻域作成的集合｛A0,awA｝是可数的，因为任取

aeA,取有理点

peM则从41Azz=0,aw6则｛A0,a£A｝与。1一1对应

故｛4,asA｝是至多可数集.

证毕

第二章第二节习题

1.证明点集尸为闭集的充要条件是了=产.

证明：因为了=尸"，若尸为闭集，则尸u尸

所以了=^U尸U/U^=Fu斤

故不=尸

反过来，若尸=尸1）产uF,则必有FuF

从而尸为闭集.

2.设“X）是（-00,00）上的实值连续函数，证明对于任意常数〃，

｛K/（X）＞4都是开集，

都是闭集.

证明：任取常数〃，若工«用“力＞4,则〃工）＞々，由于/⑺连续,

院＞。，

这表明{元/（%）＞〃}是开集.

任取常数4,若{5}€{/〃X）1},且Xaf/,则从/（%〃）1和/（X）连

续知

/（x）=lim/（x,）＞a

0n-►-or

故不«x;/（x）Na}

这表明{苍/（力之〃}u{x;/（x）“}.

故{用/（%）“}是闭集.

3.证明任何邻域N（p,5）都是开集，而且N（p»）={p;p（p',p）＜5}（N通

常称为一闭邻域）

证明：PpoWN（p,b）,贝（JOW〃"夕（〃o，p）v5

VQ£N（〃O»-〃），0（Q,p）«MQ,Po）+0（Po，P）＜"+bF=b

故N（〃o»—77）uN（p»）.

故N（〃,3）是开集得证.

Vpw{p；2（P，P）Mb},p“e{p；0（p,p）4b}且p.三〃

则"（P〃，P）-＞O，P（P”，P）W6

P（P，P）4夕（PWJ+P（P〃，P）44（P，pj+b・

令〃-＞co得夕（p,p）«o+b.

故{p；p（p，p）«b}u{p;p（p,p）wb}.

表明{p；p（p,p）w@是闭集.

又Vp£{p;0（p,p）«4

令"部-加

/1

则夕（玉,p）=p1-1P，P1

Ik/

夕（看’p）=z夕（p'p）f°

K

故wN（p,6）,/fp

这表明{p;p（p；p）«b}uN（p,3）uN（p,5）

而N（pb）u{p';p（p',p）4b}

故N（p,b）u{pw（p；p）Wb}={p;p（p；p）<b}uN（p»）

这表明N（p,b）={p'；o（p',p）«@.

4.设△是一有限闭区间，居（〃=1,2,3,.）都是△的闭子集，证明如果

号工=0,则必有正整数及，使6%=0.

n=l/i=l

证明：令S”=6不则显知看工=3s〃，且BnS2A.°S.A.

/=1n=l〃=1

为闭集，故s”也为闭集.

下证mN,使6E,=SN=0.

n=i

反证,设X/〃,S”W0,则叫eS”uA,

由于△是有限闭区间，{xj是有界点列，

若{%〃=1,2,3,…}为无限集合，则由聚点原理B{x„}的子列

鼠}，%

由于$Z>S2A.=>S〃A

故任取mtN,及充分大时/eS“&uS„,,又S〃r为闭集，且丁->/£5巾

由加的任意性知，与£35„,=为工=0得矛盾.

nt=\m=l

若{怎,〃=1,2,3,…}为有限集合，则

当％Nmax（〃o,机）时，xn=xQeSn（zSmf

故与£行鼠=八6=0得矛盾.

m=l/w=l

所以mN,使得品=6K=0.

n=I

证毕.

设EuR”是一族完全覆盖E的开邻域，则有"中的（或有限）多个邻

域乂,也,…以…,它们也完全覆盖了E（Lindelof定理）

证明：设〃=亿;。£A},A为某指标集，则EuJ〃.

awA

VxeE,3avsA,使得xw/%•

由于〃是开集，叫＞0使N（x，a）u/A.

由有理点在R〃的稠密性易知，存在有理点见£0"和有理数勺＞0,使

XWN（4，/;）UN（X,R）U/A，而R”中全体以有理点为心，有理数为半径

的球作成集合与。〃xQ的一个子集对等，故这些{NQ，G）;XE耳至多是

一个可数集，从而相应的

{〃;工£4也是至多可数集.

而这些显然为E的一个开覆盖，因为EuQN（4"）UU7a

因为每一个上述N（q,4）包含在某个中，故存在至多可数个/

使

{/,-；«eA}成为E的一个开覆盖.

6.证明R”中任何开集G可表成G=0/,⑺的形式，其亡

1=1

/「={P；〃=（石，工2，…，X"），＜xj＜力‘）,）=1,2,3,•,〃}

证明：（注意这里并为要求小）互不相交）

设G为R”中的任意开集，则VX°£G,由开集的定义，三一个球形邻域

N（XO»%）UG（%>0）,令。…=（3,%2,…，%）；/o厂今〈4）<%+附

则显然/uN（Xo»%）uG,且GuJhuG.

故6=」4，人显然是开区间，也是开集，

xwGx

〃={&X£G}为G的一个开覆盖.

由本节习题5,〃中的至多可数个4也/，…，却…完全覆盖了G

所以GuO/jUG.

i=i

所以G=Cl小4都是开区间.

1=1

故本题结论得证.

7.试根据Bow/有限覆盖定理证明Bolzano-Weierstrass定理.

证明：反证，设E为有限无穷点集而无聚点，则方=0,从而E'=0uE,

故E为有界闭集，且任意内心都是七的孤立点.故三%>0使

N（p,%）ClE={p},所以EuJN（p»j.

p^E

{MP4）}形成E的一个开覆盖，由于E为有界闭集，由Borel有界覆

盖定理，

三有限个N（p”月）,…,N（p,3J,使EugN（u，%）

E=Eny^（pP^J=UEnN（pP^）=y{p,}.

前已知N（p,@）QE={pJ.

故E=0{用为一有限集合，这与E为有界无穷集矛盾.

1=1

8•证明H〃中任意非空开集的基数都是C.

证明：W开集UuR",显从UuR"知方<*=c.

又存在一个点Po£UJS>0,N（Xo»）uU,N（/»）=c,

故之之N（x°»）Nc.

所以Berrstein定理知U=c.

证毕

9.证明对任意EuR",三都是R〃中包含E的最小闭集.

证明：任取EuR〃，设尸是包含E的人一闭集，则Eu/，nEuF

所以云=EJE'u/0尸=斤，因为尸为闭集

所以E'uF=/，所以三是R"中包含E的最小闭集.

10.对于N定义的实函数/（x）,令

黑J（x）〈明理）（x）.

证明：对任意的£>o,{x；w（7,x）*}都是闭集.进而证明/（力的全体不

连续点作成一心集.

证明：首先，当S单调下降趋于。时，sup/（X）也单调下降趋于某极

卜'-*6

限（有限或无限）

而反,⑺单调上升地趋于某极限.

故卬（/,力=州pf卜）-期卜jnfJ（x）是有确切定义的（可为无限值）

先证明：/（X）在工=/连续=W（/,Xo）=O.

证：先设卬(7,%)=0,贝1」立>034(£)>0使0cb〈心时

supf(x]-inf

所以Vy满足|y-%|<S时

|/(y)—/Go)归supf(x)—呼

故/在小处连续.

反过来,若〃力在％=%处连续,则D£＞034=4（£,%）＞0,

当卜-司＜5＜今时,一£＜/（丁）一/（毛）＜£

又Vbv4=4（号毛），凯；力：,一而IV蜀"-引＜b

且sup"ir％小)+£

卜二和r-

所以supf(x)-£-/(%)”(笫)-/(Z)<£

卜‘-和

一卜％f。)-£+f(%)《/(F)-f(y；)V£

不等式相加得

Slip/(x)-inf/(x')-2^<2^

卜-*6卜中

0<limsupf(x}-liminff(x)<4e

6T。下用'，6To卞由

即0«卬（/,/）＜4&0〈£任意.

所以W（fx°）=O

为证｛无卬（7＞。）*｝为闭集，只用证｛无卬（/田）＜£｝为开集.

%£｛不皿（人与）＜£｝

必有W（/,X°）＜£

所以存在4=5（瓦⑻＞0使V3w（O,4）时，

能广朋厂wu%G：H

DyeN»Go）,由三角不等式，则时⑻匚义㈤.

故w/，%（、）工卬（九乂（%））＜£

2

所以w(£y)=Ji*wf，Ng(y)<£

\2

这说明伉）u｛x;W（/,x）＜£｝

2

故｛若W（f,x）＜£｝是开集，从而｛KW（/,X）NC｝是闭集.

由于〃力在工不连续的充要条件是W（£x）NO.

所以使x不连续的点集为表为尸=，「h卬（/,力显｝.

由于VZ,卜;W（£X）N：］是闭集，故尸为一死集.

K」

同时我们看出，全体使/连续的点集是卜卬（/,力＜:

这是一个G/集合.

推广：（1）对*有一样的结论，只不过在定义W（7,x）时，|日

理解为R〃中的距离夕（x;x）,其它完全一样，因为三角不等式对夕（，）成

立，

（2）若/是R”中的开集，G到*的函数，则同样可定义

W（/,X）（VXGG）,因为当VE＞O,｛X;X£G,W（/,X）V£｝为开集,

｛%wG;W（f力*｝为闭集.

了的不连续点集为；JX£G;W（/,X）弓［

而/的不连续点集为彳:

k

11.于EuR"及实数a?定义aE=｛（a%,ax2，叼）；（与,孙…,天）£耳.

证明当E为开集，awO,V〃oWaE,则mX°wE,使〃0=aX.

E开集，XOGE,故第＞0,使

则Vy£N(Xo，|a⑻，则y=a—

=x^

而--X0----r-||y-«o|<W^-

aaa\a\\a\

故上wN(Xo，K)uE从而y=a—^aE

aa

这表明N(X0,|a⑻waE,故aE为开集.

若E为闭集，a=0,则aE=｛(Oa0)｝为单点集.当然是闭集，若awO,

则

PnwaE,p->p，则Pn=aX〃,X”eE,B=X”,p“tp。表明

nQa

△=X“fR,而后为闭集，X”->R,故正EE,从而

aaaa

Po=a—e^aE.这说明(aE)uaE.

从而得知aE为闭集.

12.设“〃)是定义于R”上的实函数，证明/(〃)在R”上连续的充要

条件是对于N中任何开集G.尸(G)士｛P；〃P)£G｝都是“中的开

集.

证明：设广川连续，G为任一”中开集.

Vp°w/T(G),则〃为)£G,由G为开集知，3^>0,使N(/(岛)道)uG

对上述£>ojb=b(&岛)>0,使当yeN(岛⑷时

|/(y)-/(p0)|<^

故/(y)wN(f(po)㈤uG

即ye尸(G).

这说明N(〃°»)u尸(G)

故/T(G)为开集.

现设对“中任意开集，G,/T(G)为开集，V£>O,N(/(R)⑷是“中的

开集.故

A'(N(f(外),砌是开集,而p。w尸(N(〃po),£)).

故/(N(Po»))u

所以VywN(po»)J(y)£N(/SO),£).

|/(y)-/(p0)|<^

这说明了在p。连续

证毕

13.R”上的实函数7(P)称为是下半连续的，若对任意PER”,都有

/(P)<Hminf/(e)-lim(inf/(g)),证明”P)下半连续等价于对任意的

同巴。)<6

实数

/｛P"(P)Wa｝都是R"中的闭集，也等价于｛/V(尸)Ka｝是R"中的开集.

现若一下半连续，VaeRl若兄«P;/(P)>a｝.

则翘(inff(Q))

N4耳)

V0<£吟金坐i,mb=S(£,〃o)>O使a<“4)—£<inf/(Q)

22世⑻

所以VywN&/),有a<f(A)-£<inf/(Q)V/(y).

所以N&»)u｛P;/(P)>a｝.

故｛P"(P)>a｝为开集.(从而｛P;/(P)>a｝为闭集)

/在上下半连续，<=>V^Gr,V^>0,mb=5(M〃o)〉O.

当AN仍⑷时,一£<〃P)_/(6)・

反过来，若Va£R,｛x;/(x)>a｝为开集.

则端0,8«用〃力>〃/)—£｝

由于｛公/(尸)>/(4)-耳是开集.

所以"仍⑹>0使PeN(4@)u{P;〃P)>/(片)-耳

VQEN(4@)有/(P)>〃£)_£,即/在R”上下连续，故一个等价性得

证.

而/在R〃上下连续=\/0£肥{尸；/俨)工2}是闭集0{尸"俨)>。}是开

集.

下证Va£尸,{P;/(P)Wa}={(PM；PwR""(P)Wy}为闭集.

先设{ZV(P)«a}为闭集,a任意.

所以V(K，y〃卜{(P,y);P