《电路分析基础》课件-第7章 一阶电路分析(7.3 7.4)

定量分析R＋SiCuC－t≥0＋－USC由t>0电路可得（非齐次）（完全解=齐次通解+非齐次特解）令带入微分方程，得（特解与自由项具有相同函数形式）故将初始值uC(0+)=0带入上式，得故R＋SiCuC－t≥0＋－USCiCiC(0+)tiCuC0uCUS

RC电路的零状态响应按指数规律变化，且可以确定电容电压一定按指数规律增长：由0过渡到稳态值uC().2.RL电路的零状态响应假设换路前电感元件上的原始能量为零，t=0时开关S闭合讨论t>0后iL(t)、uL(t)和uR(t)。R＋SiLuL－t=0＋－USL＋uR－0.368USuLUSuRiLUS/RtiLuL0τ0.632US/Rt<0t=0+t>0t=∞显然这个暂态过程是电感元件的储能过程：

RL零状态响应电路换路结束时电感电流的新稳态值：

St≥0R＋iLuL－＋－USL＋uR－

RL电路的零状态响应按指数规律变化。可以确定的是电感电流一定按指数规律增长：由0过渡到稳态值iL()。1、零状态响应也是随时间按指数规律变化的，其中uc和iL均按指数规律增长，这实质上反映了动态元件建立电场或磁场时吸收电能的物理过程；而ic和uL则随时间按指数规律衰减，因为它们只存在于过渡过程中；3一阶电路的零状态响应分析归纳2、激励源增大A倍，则零状态响应将相应增大A倍----零状态线性。公式中的(∞)符号，为换路后的新稳态值。1、求稳态值uC(

)或iL()4一阶电路的零状态响应解题步骤2、求τ3、代入公式根据换路后电路达到新的稳态时的等效电路,确定iL(

）或uC(

）。根据换路后的电路，求由动态元件C或L两端看入的二端网络的等效电阻R-----

τ=RC或τ=L/R。4、根据换路后的电路，由iL(t)或uC(t)确定其他响应y(t）。测试1下列有关零状态响应的叙述正确的是A、零状态响应就是在没有激励源（输入）时电路的响应B、零状态响应就是在电路中电容或电感没有原始储能时电路的响应C、零状态响应是由电路的激励源产生的D、电路的零状态响应一定是衰减的E、电路的零状态响应一定是增长的√√√F、电容的电压或电感的电流的零状态响应一定是从零增长到稳态值的_+36VuR6

+_12HiL3

10

例1电路如图所示，t=0时开关闭合，求t>0的iL(t)、uR(t)。解：1、求稳态值iL()画出t=

时电路有

换路后t=

时，电路达到新的稳态，电感等效为短路_+36VuR6

+_iL3

10

t=

_+36VuR6

+_12HiL3

10

解：1、求稳态值iL()有2、求时间常数τ（1）求Rt>0时，断开电感，将电源置零（2）计算τ6

3

10

R_+36VuR6

+_12HiL3

10

解：1、求稳态值iL()2、求时间常数τ3、代入公式求iL有4、求uR

根据换路后t>0时电路和iL列方程求，得一阶电路的零输入响应和零状态响应归纳零输入响应零状态响应R＋1SiCuC－t=0＋－USC2iCiC(0+)tiCuC0uCUSt0USUS/RuCiCR＋SiCuC－t=0＋－USC127.4

一阶电路的全响应

电路中既有外输入激励(即有独立源的作用)，动态元件上又存在初始能量(换路前uC和iL不为零)，当电路发生换路时，在外激励和原始能量的共同作用下所引起的电路响应称为全响应。R2＋SiLuL－(t=0)＋－USLR1开关断开前电路稳态，电感有初始储能。开关断开后电路中又有激励源作用，问题：假设uC(0-)=U0>RI0，t=0开关闭合，求t>0的uC(t)。将初始条件代入上式得故1叠加法RC+－ucis=I0RC+－ucis=I0讨论1、若零输入

零状态――――按因果关系分解若tuc(t)ucf(t)ucx(t)U0RI0故RC+－ucis=I0tuc(t)ucf(t)ucx(t)U0RI02、若

暂态响应

稳态响应――――按过程分解而uc稳uc暂U0－RI0一阶电路的全响应叠加法解题方法（1）求电容电压或电感电流的零输入响应法一：1、求电容电压的全响应uC(t)或电感电流的全响应iL(t)。（3）叠加：（2）求电容电压或电感电流的零状态响应2、由全响应uC(t)或全响应iL(t)，对t>0电路根据电路定律列方程求解电路其他量的全响应y(t)。（1）求电容电压或电感电流的零状态响应法二：1、求零输入响应yx(t)3、叠加求全响应：（2）由电容、电感的零状态响应uCf(t)或iLf(t)，对t>0电路根据电路定律列方程求解电路其他量的零状态响应yf(t)。2、求零状态响应yf(t)一阶电路的全响应叠加法解题方法叠加求全响应：一阶电路的全响应叠加法解题方法例1电路如图所示，已知uC(0-)=1V。t=0时开关闭合，求t>0的i(t)。一阶电路的全响应叠加法解题举例解：1、求电容电压的全响应uC(t)（2）求电容电压的零状态响应（1）求电容电压的零输入响应（3）叠加2、由uC(t)对t>0电路求解i(t)

由KCL

有或由KVL

有例1某线性系统如图所示，已知:当初始储能为Х0，激励为f(t)时的全响应为y1(t)=2e-t+cos2t；当储能不变而激励为2f(t)时的全响应为y2(t)=e-t+2cos2t

，求当初始储能为2Х0，激励为4f(t)时的全响应y(t)。解：可得：设则根据零输入线性和零状态线性，有：故当初始储能为2Х0，激励为4f(t)时：叠加法举例：2三要素分析法(本章重点）（1）按因果关系求解全响应存在的问题尽管可以明确区分零输入响应和零状态响应，但是求解过程复杂；如果不关心响应的因果关系，而仅是关心响应本身，则可以采用一种更为简便的方法求解一阶电路全响应。（2）三要素分析法一阶线性时不变电路在恒定激励下的响应：

通过求y(0+)、y(∞)和τ三个要素就可以求解全响应；不仅适用于电容电压和电感电流，还适用于其他电压电流。由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊情况，因此，三要素公式适用于求一阶电路恒定激励下的任一种响应，具有普遍适用性。确定初始值y(0+)

先作t=0-电路确定换路前电路的状态uC(0-)或iL(0-),这个状态即为t＜0阶段的稳定状态，此时电路中电容C视为开路，电感L用短路线代替。再作t=0+等效电路电路中电容C用理想电压源代替，电感L用理想电流源代替。按一般电阻性电路来求解其它响应的初始值。（3）求解步骤：、确定稳态值y(∞)

作t=∞的等效电路，暂态过程结束后进入新的稳态在此电路中，电容C视为开路，电感L视为短路，按一般电阻性电路来求各响应的稳态值。、确定时间常数τ

RC电路：τ=RC；RL电路：τ=L/R；其中R等于：将电路中所有独立源置零后，从C或L两端看进去的等效电阻，(即戴维南等效电源中的R0)。、代入公式

测试1下列有关一阶电路在恒定激励下的响应的叙述正确的是A、响应一定是按指数变化的B、响应一定是衰减的C、响应一定是增长的D、响应一定是从初始值y(0+)变化到稳态值y(∞)E、响应变化的快慢与时间常数τ有关√√√测试1电路如图所示，开关在t=0时闭合，闭合前电路已处于稳态，则i(0+)为1.5A-1.5A-2A2AABCD提交答案：D1Ω1F＋3V－1ΩK1Ω单选题1分此题未设置答案，请点击右侧设置按钮测试1电路如图所示，开关在t=0时闭合，闭合前电路已处于稳态，则i(0+)为1Ω1F＋3V－1ΩK1Ω解：t=0-时，电容开路有(1)求初始状态uC(0-）(2)求uC(0+）根据换路定理uC(0+)

=uC(0-)=3V＋

uc－(3)求i(0+）1Ω＋3V－1Ω1Ω＋3V－t=0+得：i(0+)=2A测试2电路如图所示，电路的时间常数τ为3S4.5S6S1.5SABCD提交2Ω6Ω4Ω0.5F＋US－A多选题1分此题未设置答案，请点击右侧设置按钮测试2电路如图所示，电路的时间常数τ为2Ω6Ω4Ω0.5F＋US－解：(1)求等效电阻R02Ω6Ω4ΩR0有(2)求τ一阶电路三要素法应用举例例1解已知图中C=3F

，t<0时电路已处于稳态。t=0时开关由3V电源打到6V电源，求t≥0时的uC(t)，并画出变化曲线。

1KΩ＋SuC－（t=0）＋－3VC

2KΩ＋－6V1、确定初始值uC(0+)：画t=0-等效电路（t=0-）

1KΩ＋SuC－＋－3V

2KΩ有故一阶电路三要素法应用举例例1解已知图中C=3F

，t<0时电路已处于稳态。t=0时开关由3V电源打到6V电源，求t≥0时的uC(t)，并画出变化曲线。1、确定初始值uC(0+)：2、确定稳态值uC(

)：

1KΩ＋SuC－（t=0）＋－3VC

2KΩ＋－6V画t=∞等效电路，有

1KΩ＋uC－（t=∞）

2KΩ＋－6V一阶电路三要素法应用举例例1解已知图中C=3F

，t<0时电路已处于稳态。t=0时开关由3V电源打到6V电源，求t≥0时的uC(t)，并画出变化曲线。1、确定初始值uC(0+)：2、确定稳态值uC(

)：3、确定时间常数τ：

1KΩ＋SuC－（t=0）＋－3VC

2KΩ＋－6V

1KΩR

2KΩ求R，有电容电压的变化曲线uC/VuC(t)0τ2V4V2τ3τ4τ5τ4、代入三要素法公式电容电压由初始值2V按指数规律过度到稳态值4V例2电路如图，已知iL(0-)=2A，求t>0的iL(t)、uL(t)、

i(t)。10

10V+－10

+－iLi+－uL2H0.5uL解：1、求初始值由t=0+等效电路（电感元件用2A电流源代替）10

10V+－10

+－2A+－uL0.5uLi解得：（t=0+）由

iL(0+)=iL(0-)=2A由节点法有：un3un1un2例2电路如图，已知iL(0-)=2A，求t>0的iL(t)、uL(t)、

i(t)。10

10V+－10

+－iLi+－uL2H0.5uL解：1、求初始值2、求稳态值由t=

等效电路，电感等效为短路（t=∞）iL(0+)=2A10

10V+－10

+－+－uL0.5uLiiL有(3)求时间常数u+－10

+－0.5u10

i外加激励法求R，有：故(4)代入三要素公式R10

10V+－10

+－iLi+－uL2H0.5uL10

10

+－+－uL0.5uL外加激励例3电路如图，原处于稳态,t=0时开关闭合，求t>0的i(t)。解：15V+－i3F6

3

1

3

0.5H开关闭和后15V+－i16

3

0.5Hi23F1

电感和电容的放电过程相互独立，故电路可分解为两个独立的一阶电路。如图所示：故电流i为两个一阶电路电流的叠加：分别用三要素法求两个一阶电路的电流。注意：两个一阶电路的时间常数不一样！！！例3电路如图，原处于稳态,t=0时开关闭合，求t>0的i(t)。解：15V+－i3F6

3

1

3

0.5H1、求初始值i1(0+)、i2(0+)（1）求iL(0-)、uC(0-)画t=0-等效电路（电容开路，电感短路）设iL

、uC如图有15V+－6

3

1

3

iL+－uC（t=0-）根据换路定理得（2）画t=0+等效电路，（电感用2A电流源代替，电容用6V电压源代替）i15V+－3F6

3

1

3

iL+－uC0.5H15V+－i16

3

0.5Hi23F1

例3电路如图，原处于稳态,t=0时开关闭合，求t>0的i(t)。解：1、求初始值i1(0+)、i2(0+)有15V+－i16

3

2Ai26V1

+－（t=0+）15V+－i16

3

0.5Hi23F1

+－uC

2、求稳态值i1(

)、i2(

)3、求时间常数τ1、τ2RC：RL:例3电路如图，原处于稳态,t=0时开关闭合，求t>0的i(t)。解：

画t=∞等效电路，（电感等效短路，电容等效开路）有15V+－i16

3

1

（t=∞）6

3

R1R2i21

(4)代入三要素公式(5)叠加0.02F_+u1_+4ii6

_+1.5V3

1、求u1（0+）解：例4图示电路原处于稳定，t=0时开关断开，求t>0时u1(t)。（1）求uC(0-)（2）求u1（0+）t=0-时，电容等效为开路，t=0+时，电容等效为1.5V电压源t=0-＋uC－i6

_+1.5V3

故i=0，受控电压源电压为零画t=0-电路，如图有画t=0+电路，如图有_+u1_+4ii6

_+1.5V3

t=0+得0.02F_+u1_+4ii6

_+1.5V3

u1(0+)=1.8V解：例4图示电路原处于稳定，t=0时开关断开，求t>0时u1(t)。2、求u1(∞)t=∞时，电容等效为开路u1_+_+4ii6

3

t=∞u1(∞)=01、求u1(0+)画t=0-电路，如图有3、求τ_+4ii6

_+u3

由外加激励法求R，R外加激励故如图，有4、代入公式得测试1下列有关一阶电路在恒定激励下的响应的叙述正确的是响应一定是按指数变化的响应一定是衰减的响应一定是增长的响应一定是从初始值y(0+)变化到稳态值y(∞)ABCD提交响应变化的快慢与时间常数τ有关E√√√多选题1分此题未设置答案，请点击右侧设置按钮作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂测试2电路原处稳态，时开关闭合，试求和主观题10分解：t=0-时，电容等效为开路如图有t=0-测试2电路原处稳态，时开关闭合，试求和由于故先求uc1、求uc(0+)根据换路定理，有解：t=

时，电容等效为开路t=

如图有测试2电路原处稳态，时开关闭合，试求和2、求uc(∞)ii1得

解：求R0，将激励源置零，由动态元件看入，如图有测试2电路原处稳态，时开关闭合，试求和3、求τABCB接BC:两个2Ω（并联）接CA:1Ω接AB:1Ω（串联）

故4、代入公式作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂测试3电路如图，已知，时开关闭合，求-+u11Ω2Ω10A

1250

F0.25u1i1

-+uc主观题10分7.5阶跃函数与阶跃响应1、单位阶跃函数的基本概念U(t)波形在(0-，0+)时域内发生了单位阶跃。U(t)在t=0处不连续，函数值由0跃变到1。定义思考：通过开关给RC或RL电路突然施加一个直流源作用是否可用一个函数来进行描述?U(t)=0t<01t>0

U(t)

01tU(t-t0)=0t<t0

U(t-t0)

01t1t>t0t0性质阶跃发生在t=t0>0时刻，则可认为是U(t)在时间上延迟了t0后得到的结果，此时的阶跃称为延时单位阶跃。反之超前。（1）时移特性0t任意的无始无终波形f(t)与U(t)相乘为一有始波形——因果信号×﹦0tf(t)0t如

y(t)=10e-2t+8(1-e-2t)t>=0可写成：y(t)=[10e-2t+8(1-e-2t)]U(t)U(t)f(t)U(t)（2）截取特性

（1）用于信号的接入：既可以表示电压，也可以表示电流，通常在电路中用来表示开关在t=0时的动作。

单位阶跃U(t)激励实质上反映了电路在t=0时刻把一个电路与一个1V或1A的独立源相接通的开关动作。＋－U(t)电路1AS（t=0）电路U(t)电路应用＋－1VS（t=0）电路

（2）用于信号的分解：把某些信号分解为具有不同幅度、不同时延的阶跃信号的叠加。

f(t)

01tt1t2

f(t)

01tt0

U(t)

01t－U(t-t0)

0－1tt0即：f(t)=U(t)－U(t-t0)

U(t-t1)

01tt1

－U(t-t2)

0－1tt2即：f(t)=U(t-t1)－U(t-t2)2

单位阶跃响应

当激励为单位阶跃函数U(t)时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用g(t)表示。“0”U(t)g(t)U(t-t0)所产生的的响应为g(t-t0)，只有时间的延迟，没有波形的变化。g(t)0tt0t0g(t-t0)

U(t)

01tt0

U(t-t0)

01t时不变性例1电路及信号f(t)分别如图(a)、(b)。若uc(0-)=0，求t≧0的uc(t)。f(t)5A50t/s(b)解：f(t)=5U(t)-5U(t-5)=f1(t)+f2(t)y1(t)=5R(1-e-t/RC)U(t)因零状态响应:Uc(t)=Uc()(1-e-t/)阶跃响应举例＝f(t)Ruc(t)＋－(a)C信号分解：Uc()=5Rf1(t)→τ=RCy2(t)=-5R(1-e-t-5/RC)U(t-5)f2(t)→5R0ty1(t)充电放电5RUc(t)05t5y2(t)0t-5Rf(t)5t00t＝f(t)Ruc(t)＋－Cy1(t)=5R(1-e-t/RC)U(t)y2(t)=5R(1-e-t-5/RC)U(t-5)

5U(t)

05t－5U(t-5)

0－5t5例2如图示电路，已知N内部仅含电阻，当a、b端接2F电容时，输出u2(t)的单位阶跃响应为u2C(t)=(1/2+1/8e-t/4)U(t)；若电容换成2H的电感，求相应的单位阶跃响应响应u2L(t)。2F2H解：τC=R0C=4由三要素公式:y(t)=y(∞)+[y(0+)-y(∞)]e-t/τ

u2C(t)=1/2+1/8e-t/4=1/2+(5/8-1/2)e-t/4即u2C(∞)=1/2电容（ab端）开路时输出电压

u2C(0+)=5/8电容（ab端）短路时输出电压N﹢﹣U(t)﹢﹣u2(t)abN内部仅含电阻，故电路为一阶电路单位阶跃响应=激励为U(t)时的零状态响应