2024-2025学年高中数学第三章函数的应用章末总结教案新人教A版必修1

PAGEPAGE1本章总结eq\a\vs4\al(专题一函数的零点与方程的根)依据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，推断一个函数是否有零点，有几个零点，就是推断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决函数、方程与不等式的问题．确定函数零点的个数有两个基本方法：一是利用图象探讨与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性推断．二是利用零点存在性定理推断，但还需结合函数的图象和单调性，特殊是二重根简单漏掉．[例1]设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥0，,－x，x<0.))(1)f(x)有零点吗？(2)设g(x)＝f(x)＋k，为了使方程g(x)＝0有且只有一个根，k应当怎样限制？(3)当k＝－1时，g(x)有零点吗？假如有，把它求出来，假如没有，请说明理由；(4)请给k规定一个范围，使得方程g(x)＝0总有两个根．[解](1)画出f(x)的图象，如图1，从图象可以看出，图象与x轴没有交点，f(x)没有零点．(2)从图1可以看出f(x)>0.对于g(x)＝f(x)＋k，为了使方程g(x)＝0有且只有一个根，f(x)的图象必需向下移动，但移动的幅度要小于1，否则g(x)＝0就有两个根了．k应当限制为－1<k<0.几何说明如图2.(3)有，x＝0，它来源于2x－1＝0；x＝－1，它来源于－x－1＝0.(4)规定k的范围是{k|k≤－1}．[例2]已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a<b)，m，n是f(x)的零点，且m<n，则实数a，b，m，n的大小关系是()A．m<a<b<n B．a<m<n<bC．a<m<b<n D．m<a<n<b[分析]由m，n是f(x)的零点知f(m)＝f(n)＝0，采纳数形结合法知，f(x)的零点事实上就是(x－a)(x－b)＝1的根，即y＝(x－a)(x－b)与y＝1交点的横坐标．[解析]作出y＝1与y＝(x－a)(x－b)的图象如图．由图得知m<a<b<n.[答案]Aeq\a\vs4\al(专题二函数模型及应用)把握函数模型的应用实例类型的分类，娴熟驾驭不同类型应用题的解题步骤，比较例题的类型．通过体会实例来驾驭各类应用题的解法．函数模型的应用实例主要包含三个方面：1.利用给定的函数模型解决实际问题；2.建立确定性函数模型解决问题；3.建立拟合函数模型解决实际问题．[例3]2008年北京奥运火炬传递跨越了世界最高峰——珠穆朗玛峰，火炬传递经验低温、缺氧、风速大、攀登难的挑战．设海拔xm处的大气压是yPa，y与x之间的函数关系式是y＝cekx，(其中c，k为常数)，若某火炬手从大气压为1.01×105Pa的海平面地区，到了海拔1000m的高原地区，测得大气压为0.90×105Pa，感觉没有明显的高原反应，于是向海拔8000m进军，从身体需氧的角度讲，当大气压低于0.775×105Pa时就会比较危急，请你分析这位火炬手是否有危急？[解]因为y＝c·ekx，当海拔为0m时，大气压为1.01×105Pa，当海拔为1000m时，大气压为0.90×105Pa，把两组数据代入解析式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1.01×105＝c·e0，,0.90×105＝c·e1000k.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1.01×105，,k＝\f(1,1000)ln\f(90,101)≈－1.153×10－4，))可得y＝1.01×105·e－1.153×10－4·x，当x＝8000时，y＝1.01×105·e－1.153×10－4×8000≈0.402×105<0.775×105，因此，这位火炬手有危急．[点评]用待定系数法求出函数解析式后，要会利用所得函数模型解决问题．[例4]阅读下列材料：“父亲和儿子同时出去晨练．如图①，实线表示父亲离家的路程(m)与时间(min)的函数关系，虚线表示儿子离家的路程(m)与时间(min)的函数关系．由图象可知，他们在动身10min时相遇一次，此时离家400m；晨练了30min，他们同时到家．”依据阅读材料给你的启示，利用指定的直角坐标系(图②)，求解下列问题：一巡逻艇和一货轮同时从A港口前往相距100km的B港口，巡逻艇和货轮的速度分别为100km/h和20km/h，巡逻艇不停地来回于A，B两港口巡逻(巡逻艇掉头的时间忽视不计)．(1)货轮从A港口动身以后直到B港口与巡逻艇一共相遇了几次(起先动身时相遇不计入相遇次数)?(2)动身多长时间巡逻艇与货轮第三次相遇？此时距A港口多少千米？[解]如图所示，在坐标系中画出巡逻艇距离A港口的路程(km)与时间(h)的图象照实线所示，画出货轮距离A港口的路程(km)与时间(h)的图象如虚线所示．(1)从图象可知，货轮从A港口动身以后直到B港口与巡逻艇一共相遇了4次．(2)从图象看出，巡逻艇与货轮第三次相遇是在动身后的3～4h内，设OC所在直线为y1＝mx(m≠0)，∵过点C(5,100)，∴100＝5m，m＝20，∴y1＝20x设EF所在直线为y2＝kx＋b(k≠0)，∵过E(3,100)，F(4,0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3k＋b＝100，,4k＋b＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－100，,b＝400，))∴y2＝－100x＋400.由－100x＋400＝20x，解得x＝eq\f(10,3)，即动身eq\f(10,3)h时巡逻艇与货轮第三次相遇，此时距A港口20×eq\f(10,3)＝eq\f(200,3)(km)．[点评]本题中，图象交点的个数就意味着货轮与巡逻艇相遇的次数，留意二者之间的这种“对应”关系，正是实际问题与数学问题之间关系的反映，留意细致体会图象法解题的优越性．eq\a\vs4\al(专题三函数与方程思想的应用)函数思想，是用运动的和改变的观点，集合与对应的思想，去分析和探讨数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，利用函数的图象和性质去分析问题和解决问题，使问题获得解决．方程思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，使问题获得解决．本章函数与方程思想的应用，主要体现在：求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的零点，就是求函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；其次，在应用题中利用函数建模，解决实际问题．[例5]设a∈R，试探讨关于x的方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)的实根的个数．[解]原方程⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,3－x>0，,a－x>0，,x－13－x＝a－x.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,3－x>0，,x－13－x＝a－x.))整理，得－x2＋5x－3＝a(1<x<3)．在同一坐标系中分别作出函数y＝a及y＝－x2＋5x－3，x∈(1,3)的图象，如图所示：当x＝1时，y＝1；当x＝3时，y＝3；当