2024-2025学年高中数学第3章导数及其应用3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数学案新人教B版选修1-1

PAGE1-3.1.1函数的平均变更率学习目标核心素养1.了解导数概念的实际背景，理解平均变更率和瞬时速度．(易混点)2.会求函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x)．(重点)3.会利用导数的定义求函数在f(x)的导函数f′(x)．(难点)1.由实际背景变更率到导数的概念，培育学生的数学抽象素养.2.通过利用定义求函数在某点处导数的学习提升学生的数学运算素养.1．函数的平均变更率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变更率(1)定义式：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变更的快慢．(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示割线P1P2的斜率．思索1：视察函数y＝f(x)的图象，平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示什么？[提示]eq\f(Δy,Δx)表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．2．瞬时变更率(1)物体运动的瞬时速度设物体运动的路程与时间的关系是s＝f(t)，当t0到t0＋Δt时，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变更率为eq\f(ft0＋Δt－ft0,Δt)趋近于常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度．(2)函数的瞬时变更率设函数y＝f(x)在x0旁边有定义，当自变量在x＝x0旁边变更Δx时，函数值相应地变更Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，假如当Δx趋近于0时，平均变更率eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)趋近于一个常数l，则常数l称为函数f(x)在点x0处的瞬时变更率．3．函数在某一点处的导数与导函数(1)函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变更率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|eq\s\do5(x＝x0)，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(2)导函数定义假如f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记为f′(x)(或y′x、y′)．(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.思索2：f′(x0)与f′(x)表示的意义一样吗？[提示]f′(x0)表示f(x)在x＝x0处的导数，是一个确定的值．f′(x)是f(x)的导函数，它是一个函数．f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．1．已知函数f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40 B．0.41C．0.43 D．0.44B[由Δy＝f(Δx＋2)－f(2)＝(0.1＋2)2－4＝0.41，知选B.]2．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)等于()A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2C[eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(21＋Δx2－2,Δx)＝4＋2Δx.]3．质点按规律s(t)＝at＋1运动，若t＝2时刻的瞬时速度为eq\f(1,2)，则a的值为________．eq\f(1,2)[eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝a＝eq\f(1,2)]函数的平均变更率【例1】(1)已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.①求：当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变更率eq\f(Δy,Δx)；②求：当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变更率eq\f(Δy,Δx).(2)求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3旁边的平均变更率，取Δx都为eq\f(1,3)，哪一点旁边的平均变更率最大？[解](1)因为f(x)＝2x2＋3x－5，所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2xeq\o\al(2,1)＋3x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx2＋4x1＋3Δx,Δx)＝2Δx＋4x1＋3.①当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1，Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19＝21，eq\f(Δy,Δx)＝21.②当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1，Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝0.02＋1.9＝1.92.eq\f(Δy,Δx)＝2Δx＋4x1＋3＝19.2.(2)在x＝1旁边的平均变更率为k1＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2－1,Δx)＝2＋Δx；在x＝2旁边的平均变更率为k2＝eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\f(2＋Δx2－22,Δx)＝4＋Δx；在x＝3旁边的平均变更率为k3＝eq\f(f3＋Δx－f3,Δx)＝eq\f(3＋Δx2－32,Δx)＝6＋Δx.当Δx＝eq\f(1,3)时，k1＝2＋eq\f(1,3)＝eq\f(7,3)，k2＝4＋eq\f(1,3)＝eq\f(13,3)，k3＝6＋eq\f(1,3)＝eq\f(19,3).由于k1<k2<k3，所以在x＝3旁边的平均变更率最大．求平均变更率的主要步骤1先计算函数值的变更量Δy＝fx2－fx1；2再计算自变量的变更量Δx＝x2－x1；3得平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).1．(1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)＝________.(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变更率为________；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变更率为________．(1)Δx(2)eq\f(1,2)eq\f(3,4)[(1)eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f－1＋Δx－f－1,Δx)＝eq\f(－1＋Δx2＋2－1＋Δx－5－－6,Δx)＝Δx.(2)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变更率为eq\f(f1－f－1,1－－1)＝eq\f(2－1,2)＝eq\f(1,2).由函数f(x)的图象知，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)，－1≤x≤1，,x＋1，1＜x≤3.))所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变更率为eq\f(f2－f0,2－0)＝eq\f(3－\f(3,2),2)＝eq\f(3,4).]导数的定义及求函数在某点处的导数【例2】(1)若eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝k，则eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)等于()A．2kB．kC．eq\f(1,2)kD．以上都不是(2)求函数y＝eq\r(x)在x＝1处的导数．[思路探究](1)严格根据导数定义推导求解．(2)(1)A[∵eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝k，∴eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\f(fx0＋2Δx－fx0,2Δx)))，＝2eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,2Δx)＝2k.](2)法一：(定义法)Δy＝eq\r(1＋Δx)－1，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)，∴当Δx无限趋近于0时，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)趋近于eq\f(1,2)，即y＝eq\r(x)在x＝1处的导数是eq\f(1,2).∴y′|x＝1＝eq\f(1,2).法二：(求导函数的函数值法)Δy＝eq\r(x＋Δx)－eq\r(x)＝eq\f(Δx,\r(x＋Δx)＋\r(x))，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,\r(x＋Δx)＋\r(x))，∴当Δx无限趋近于0时，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,\r(x＋Δx)＋\r(x))趋近于eq\f(1,2\r(x))，∴当x＝1时导函数值为eq\f(1,2)，即y′|x＝1＝eq\f(1,2).1用导数定义求函数y＝fx在点x0处的导数的步骤：①求函数的增量Δy＝fx0＋Δx－fx0；②求平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；,③取极限，得导数f′x0＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).2求函数在某点处的导数，还可以先求出函数的导数，再计算此点处的导数值.提示：可以简记为：一差、二比、三极限.2．已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0.[解]∵f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(3x0＋Δx2－3x\o\al(2,0),Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(6x0＋3Δx)＝6x0，又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1.求物体运动的瞬时速度[探究问题]1．平均变更率与瞬时变更率有什么联系？[提示]①区分：平均变更率刻画函数值在区间x1到x2这一段上变更的快慢，瞬时变更率刻画函数值在x0点处变更的快慢．②联系：当Δx趋于0时，平均变更率eq\f(Δy,Δx)趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变更率，它是一个固定值．2．Δx趋近于0的含义是什么？[提示]Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的随意小的正数，且始终Δx≠0.3．导数与瞬时变更率有什么关系？提示：导数是函数在x0及其旁边函数的变更量Δy与自变量的变更量Δx之比的极限，它是一个局部性的概念，若eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)存在，则函数y＝f(x)在x0处有导数，否则不存在导数．【例3】某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1s时的瞬时速度．[思路探究]eq\x(求函数增量Δs)→eq\x(求\f(Δs,Δt))→eq\x(求极限)[解]∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)＝eq\f(1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1,Δt)＝3＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(3＋Δt)＝3.∴物体在t＝1s处的瞬时变更率为3，即物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s.1．(变结论)若本例条件不变，试求物体的初速度．[解]∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq\f(0＋Δt2＋0＋Δt＋1－1,Δt)＝1＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(1＋Δt)＝1.∴物体在t＝0处的瞬时变更率为1，即物体的初速度为1m/s.2．(变结论)若本例的条件不变，试问物体在哪一时刻瞬时速度为9m/s.[解]设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s，∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt)＝2t0＋1＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.则2t0＋1＝9，∴t0＝4.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.1不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变更率是导致无从下手解答本题的常见问题.2求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间变更量Δt和位移变更量Δs＝st0＋Δt－st0.②求平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt).③求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝s′t0.1．思索辨析(1)函数在某一点的导数与Δx的正、负无关． ()(2)瞬时变更率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变更快慢的物理量． ()(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不行能为零． ()[提示](1)√(2)×(3)×2．一质点的运动方程是s＝4－2t2，则在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为()A．2Δt＋4 B．－2Δt－4C．4 D．－2Δt2－4ΔtB[eq\x\to(v)＝e